II Risposte 137

(1)

Indice

I Testi 5

1 Precorso 7

Frazioni . . . 8

Preliminari 1 . . . 9

Radicali . . . 12

Polinomi 1 . . . 13

Polinomi 2 . . . 14

Equazioni 1 . . . 15

Disequazioni 1 . . . 17

Potenze e logaritmi . . . 24

Trigonometria . . . 28

Uso della calcolatrice . . . 31

Risoluzione di triangoli . . . 32

Proposizioni . . . 33

Geometria analitica . . . 35

Insiemi del piano 1 . . . 36

Insiemi del piano 2 . . . 37

Dimostrazioni 1 . . . 38

(2)

Precorso 2000 – Test finale . . . 42

Precorso 2002 – Test finale . . . 44

Recupero OFA 2004 – Test 1 . . . 48

Recupero OFA 2004 – Test 2 . . . 52

2 Test di allenamento 57 Funzioni 1 . . . 58

Funzioni 2 . . . 59

Funzioni 3 . . . 60

Parametriche 1 . . . 61

Limiti 1 . . . 62

Limiti 2 . . . 63

Limiti 3 . . . 64

Limiti 4 . . . 65

Limiti 5 . . . 66

Limiti 6 . . . 67

Limiti 7 . . . 68

Limiti 8 . . . 69

Limiti 9 . . . 70

Limiti 10 . . . 71

Limiti 11 . . . 72

Serie 1 . . . 73

Serie 2 . . . 74

Serie 3 . . . 75

Serie 4 . . . 76

Serie 5 . . . 77

Serie parametriche 1 . . . 78

Funzioni 4 . . . 82

Funzioni 5 . . . 83

Inf - Sup - Max - Min 1 . . . 86

Inf - Sup - Max - Min 2 . . . 87

Inf - Sup - Max - Min 3 . . . 88

Successioni per ricorrenza 1 . . . 89

Inf - Sup - Max - Min 4 . . . 93

Inf - Sup - Max - Min 5 . . . 94

Inf - Sup - Max - Min 6 . . . 95

Inf - Sup - Max - Min 7 . . . 96

Inf - Sup - Max - Min 8 . . . 97

(3)

Inf - Sup - Max - Min 9 . . . 98

Inf - Sup - Max - Min 10 . . . 99

Inf - Sup - Max - Min 11 . . . 100

Punti stazionari 1 . . . 101

Punti stazionari 2 . . . 102

Integrali 1 . . . 103

Serie di potenze . . . 109

Integrali impropri 1 . . . 110

Domini due dimensionali . . . 113

Equazioni differenziali 1 . . . 114

3 Esercitazioni scritte 119 Esercitazione scritta 1999 1 . . . 120

Esercitazione scritta 1999 2 . . . 122

II Risposte 137

4 Precorso – Risposte 139

5 Test di allenamento – Risposte 159

6 Esercitazioni scritte – Risposte 181

(4)

Capitolo 1 Precorso

Contenuto Questo capitolo contiene 34 test, dedicati ad argomenti che gli studenti dovrebbero aver svolto alle scuole superiori, e che per ragioni di tempo non possono essere ripresi nei corsi universitari di base. La raccolta si conclude con due test finali di ricapitolazione.

Indicazioni fornite Per ogni test vengono fornite varie informazioni.

• Un titolo indicativo ed un numero progressivo (in fondo alla pagina) utili per rintracciare pi`u agevolmente il corrispondente foglio con le risposte.

• Una indicazione sommaria degli argomenti trattati, che lo studente dovrebbe aver ripassato prima di affrontare il test. `E sottinteso che prima di iniziare “Equazioni n”, sarebbe opportuno aver superato con successo le difficolt`a contenute in “Equazioni n− 1”.

• Una indicazione presunta del livello di difficolt`a.

• Una indicazione presunta del tempo necessario per completare il test. Una possibile traduzione delle stelline in minuti `e la seguente: 10 minuti moltiplicato il numero di stelle aumentato di uno.

Istruzioni per l’uso Per ciascun test si consigliano tre tipi di utilizzo.

• La prima volta. Affrontare il test lavorando singolarmente, senza utilizzare calcolatrici (tranne che per i test 24 e 25), libri o appunti, tenendo conto del tempo indicato. In questa fase si supponga che venga assegnato un punteggio positivo per ogni risposta giusta, e negativo per ogni risposta sbagliata. Solo in questo modo lo studente `e portato a riflettere sul grado di sicurezza con cui possiede un determinato argomento.

• La seconda volta. Affrontare il test senza limiti di tempo, possibilmente insieme a dei colleghi, utilizzando se necessario libri e appunti, con l’obiettivo di rispondere a tutte le domande, mettendo per iscritto i passaggi necessari per la risoluzione dei quesiti pi`u difficili (quelli a cui non si `e riusciti a dare la risposta giusta lavorando da soli la prima volta).

• Dalla terza volta in poi. Affrontare i vari test a rotazione come la prima volta, riguardando poi se necessario le spiegazioni scritte a suo tempo, finch´e non si raggiungono risultati soddisfacenti.

(5)

Capitolo 2

Test di allenamento

Contenuto Questo capitolo contiene 52 test, dedicati ad argomenti di Analisi Matematica solitamente svolti nei corsi di base.

Indicazioni fornite Per ogni test vengono fornite varie informazioni.

• Un titolo indicativo ed un numero progressivo (in fondo alla pagina) utili per rintracciare pi`u agevolmente il corrispondente foglio con le risposte.

• Una indicazione sommaria degli argomenti trattati in quel test, e dei prerequisiti essenziali che lo studente dovrebbe aver studiato o ripassato prima di affrontare il test stesso. `E sottinteso che prima di iniziare “Funzioni n”, sarebbe opportuno aver superato con successo le difficolt`a contenute in “Funzioni n− 1”.

• Una indicazione presunta del livello di difficoltà. Tale livello è riferito soltanto ai primi 12 – 14 esercizi del test; gli ultimi sono talvolta molto più difficili.

Istruzioni per l’uso Per ciascun test si consigliano due tipi di utilizzo.

• La prima volta. Affrontare il test senza limiti di tempo, possibilmente insieme a dei colleghi, utilizzando se necessario libri e appunti, con l’obiettivo di rispondere a tutte le domande, mettendo per iscritto i passaggi necessari per la risoluzione dei quesiti pi`u difficili.

• Dalla seconda volta in poi. Affrontare i vari test lavorando singolarmente, riguardando poi se necessario le spiegazioni scritte a suo tempo, finch´e non si raggiungono risultati soddisfacenti.

(6)

Capitolo 2: Test di Allenamento – Testi

Limiti 6

Argomenti: Limiti di funzioni Difficolt`a: ⋆ ⋆

Prerequisiti: Limiti notevoli

Calcolare i seguenti limiti (indicare “N.E.” se il limite non esiste):

Limite Risposta Limite Risposta

x→0lim

sin 3x

4x lim

x→0

sin²5x 3x²

x→0lim

sin 8x²

tan²3x lim

x→0

cos 3x− 1 arcsin 3x

x→0lim

arctan²2x²

tan 4x⁴ lim

x→0

40^x− cos x 2x

x→0lim(cos x)^{sin x}¹ lim

x→0

e^2x + cos 3x +√

1 + x− 3 arctan x + arcsin x

x→0lim(1 + tan x)^log²^x lim

x→0

sin 3x x⁴

x→0lim

sin 3x

x³ lim

x→0

log(1 + x⁴) x

x→0lim

log⁴(1 + x)

x lim

x→0⁺

x√

x + cos x− 1 sin x⁵+ sin⁵x +√

arctan 2x³

x→0lim

1− cos²x³ 1− cos³x² cos1

x lim

x→0⁺

x

r4^x+ 9^x 2

Test di allenamento n. 10

(7)

Esercizi di Analisi Matematica – Versione 2006

Serie 2

Argomenti: Serie a termini di segno costante Difficolt`a: ⋆ ⋆ ⋆ Prerequisiti: Serie armonica generalizzata, criterio del confronto asintotico

Stabilire se le seguenti serie sono convergenti:

Converge? Converge?

Serie Si No Serie Si No

X∞ n=0

n + 3

n²+ 2 2 2

X∞ n=0

n²+ 3

n⁴+ 5 2 2

X∞ n=0

n³+ 2n²+ 1

n⁴+ 3 2 2

X∞ n=0

n³+ 2n²+ 1 n⁴√

n + 3 2 2

X∞ n=0

n²+ 3n− 6

√n⁷+ 9− 1 2 2

X∞ n=0

√3

n²+ 2 + 3

√4

9 + n⁷− 8 2 2

X∞ n=0

|2n²− n³| − |n³− 1000|

n⁴− 8 2 2

X∞ n=1

sin 1

n 2 2

X∞ n=1

1 nsin 1

n 2 2

X∞ n=1

1 nsin 1

√n 2 2

X∞ n=1

√n arctan 1

n² 2 2

X∞ n=1

1− cos 1 n

2 2

X∞ n=1

1−

1 + 1

n²

n

2 2

X∞ n=2

1

(log n)ⁿ 2 2

X∞ n=2

1

n^{log n} 2 2

X∞ n=11

1

(log n)^{log n} 2 2

(8)

Inf - Sup - Max - Min 6

Argomenti: Funzioni di due variabili Difficolt`a: ⋆ ⋆ ⋆

Prerequisiti: Punti stazionari, moltiplicatori di Lagrange

Determinare massimo e minimo delle funzioni date sugli insiemi costituiti dai punti (x, y) del piano che verificano la relazione o le relazioni indicate, precisando anche il numero dei punti di massimo e dei punti di minimo.

Funzione Relazioni Max P.ti Max Min P.ti Min

xy x²+ 2y² ≤ 4 xy x²+ 2y² = 4 x²y² x²+ 2y² = 4

xy x²+ y⁴ = 1

x²+ 2y² x⁴+ y⁴ ≤ 1 x²+ 2y² x⁴+ y⁴ = 1 x²− 2y² x⁴+ y⁴ ≤ 1 2x⁴− 3y² x² + y²− 2y ≤ 0

x + xy² x²+ y² = 1 3x + xy² x²+ y² = 1 x² + y²− x²y² x²+ 2y² ≤ 4 x² + y²− x²y² x²+ 2y² = 4

x²+ y² x²+ y² ≤ 3 − xy x²+ y² x²+ y² = 3− xy x²+ y²− xy x²+ 2y² ≤ 4

x²y + y² (x² + y²− 3)² ≤ 4

(9)

Integrali 1

Argomenti: Integrali in una variabile Difficolt`a: ⋆ ⋆ ⋆

Prerequisiti: Tutte le tecniche di integrazione

Calcolare l’integrale delle seguenti funzioni sugli insiemi indicati:

Funzione Insieme Integrale

|x| + 3 [−2, 3]

x +|x| [−2, 3]

√1− x² [0, 1]

x³

1 + x² [2, 4]

x log x [1/2, e]

|x log x| [1/2, e]

8^x+ 1

2^x− 1 [1, 2]

1

x²− 1 [2, 4]

1

(x + 1)² [2, 4]

1

(x²− 1)² [2, 3]

1

x⁴− 1 [0, 1/2]

e^2xsin 3x [0, π]

|e^3xsin x cos x| [0, π]

cos²x [0, 2π]

|4 cos²x− 1| [0, 2π]

sin⁴x [0, π]

(10)

Equazioni differenziali 1

Argomenti: Risoluzione di equazioni differenziali Difficolt`a: ⋆ ⋆ Prerequisiti: Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili autonome

Per ciascuno dei seguenti problemi di Cauchy indicare la soluzione nella casella “soluzione” ed il tempo di vita della soluzione (per t ≥ 0) nella casella “L.S.” (life-span). Nella casella C.A.

(comportamento asintotico) indicare il limite della soluzione per t → +∞ se il tempo di vita `e +∞, in caso contrario indicare “B.U.” se la soluzione ha un blow-up, “B.D.” se la soluzione ha un break-down.

Equazione Dato Soluzione L.S. C.A.

y^′ = y y(0) = 2 y^′ = y y(0) =−2 y^′ = y y(0) = 0 y^′ =−y y(0) = 18 y^′ = y² y(0) = 2 y^′ = y² y(0) =−2 y^′ =−y² y(0) = 2 y^′ = y³ y(0) = 2 y^′ =−y⁴ y(0) = 2 y^′ = y⁵ y(0) = 0 y^′ = y²+ 1 y(0) = 1 y^′ = y²− 4 y(0) = 4 y^′ = y²− 4 y(0) = 1 y^′ = y²− 4 y(0) = −2 y^′ = y²− 4 y(0) = −4 y^′ = e^y y(0) =−20

(11)

Capitolo 3

Esercitazioni scritte

Contenuto Questo capitolo contiene 8 esercitazioni scritte, dedicate ad argomenti di Analisi Ma- tematica solitamente svolti nei corsi di base. Ogni esercitazione scritta si compone di diversi esercizi su vari argomenti, anche se nessuna copre la totalit`a del programma trattato nei test di allenamento.

Istruzioni per l’uso Per la loro composizione eterogenea, le esercitazioni scritte si prestano ad essere affrontate al termine della preparazione.

Per ciascuna si consigliano due tipi di utilizzo.

• La prima volta. Affrontare l’esercitazione lavorando singolarmente per 90 minuti, senza usare libri, appunti, calcolatrici, supponendo che venga assegnato un punteggio positivo per ogni risposta giusta, e negativo per ogni risposta sbagliata.

• Dalla seconda volta in poi. Nel caso in cui i risultati della prima volta non fossero stati soddisfacenti, ripetere l’esercitazione senza limiti di tempo, e consultando eventualmente libri, appunti, colleghi.

(12)

Esercizi di Analisi Matematica – Versione 2006 Universit`a di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Esercitazione scritta 2001 2

Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

Esiste n∈ N tale che (n − 8)²(n + 8)⁸ ≤ 1 2 2 Esiste n∈ N tale che (n − 8000)(n + 8)⁸ ≥ 10²⁰⁰ 2 2

n²+ (−2)⁻ⁿ≥ 2000 definitivamente 2 2

n²+ (−2)ⁿ≥ 2000 definitivamente 2 2

Per ogni M ∈ R esiste x ∈ R tale che 2^x+ cos x > M 2 2 Per ogni M ∈ R esiste n ∈ N tale che 9ⁿ− n⁹ ≤ M 2 2 Per ogni n∈ N esiste M ∈ R tale che 9ⁿ− n⁹ ≤ M 2 2 log(1 + 3ⁿ)− n ≤ 2000 definitivamente 2 2

Calcolare i seguenti limiti (indicare “N.E.” se il limite non esiste):

Limite Risposta Limite Risposta

x→0lim

log(x + 1)− sin x

x² lim

x→0

cos x + e^x²− 2 cosh x tan x²

x→0lim

arctan(x + x³)− sin(x + x³)

x³ lim

x→0

3 sinh x− 3 sin x − arctan x³ x⁵+ 2x⁶

x→0lim

e^x² −√

1 + 2x²

log(1 + x⁴) lim

x→0

2x²⁰+ 3 sin x³⁰+ 4 arctan x⁴⁰ sin x¹⁰− log(1 + x¹⁰)

x→+∞lim

x²sin 1

x − x² x + 1

n→+∞lim

n sin 1

n

n²

Esercitazione scritta 2001 2

(13)

Capitolo 3: Esercitazioni scritte – Testi

Determinare estremo inferiore, minimo, estremo superiore, massimo dei seguenti insiemi (indicare

“N.E.” se le quantit`a richieste non esistono):

Insieme Inf Min Sup Max

{x ∈ [0, π] : sin x > 1/2}

{sin x : x ∈]π/6, π]}

{n ∈ N : 100n − n⁴− 1 ≥ 0}

{100n − n⁴− 1 : n ∈ N}

{x − arctan 2x : x ∈ [0, 2]}

{|x²− 4x| : x ∈] − 1, 3[}

{λ ∈ [0, 9] : xe^−x ≤ λ per ogni x ≥ 0}

{λ ∈ R : esiste max {xe^−x : x∈]λ, λ + 1[}}

Calcolare i limiti delle seguenti successioni definite per ricorrenza (indicare “N.E.” se il limite non esiste):

Successione Dato Limite Successione Dato Limite

an+1 = a²_n+ an a0 = 2 an+1 = a²_n+ an a0 =−2

an+1 = a²_n+ an a0 =−1/2 an+1 = a²_n+ 1

n a1 = 1

an+1 = anlog(1 + an) a0 = 1 an+1 = anlog(1 + an) a0 = 2

a_n+1 = n

2n + 1+ a_n

√n a₀ = 2000 a_n+1 = 4− |an|

3 a₀ = 2000

Esercitazione scritta 2001 2

(14)

Test n. 5 – . . . – 15

Limiti 1

+∞ +∞

−∞ +∞

1/2 +∞

0 2

1/5 1/5

+∞ 0

2 −∞

+∞ 0

Limiti 2

+∞ +∞

−∞ −∞

0 +∞

3 1/2

+∞ 0

1 0

0 +∞

0 1

Limiti 3

+∞ +∞

0 +∞

1/e +∞

0 +∞

+∞ −∞

27/4 +∞ 64/27 4/e²

Limiti 4

0 +∞

0 3/4

2 1/2

2√³

2 1

3 1/2

1 1/6

1 8/3

1/2 0

Limiti 5

+∞ +∞

2/3 1/2

+∞ +∞

−∞ +∞

N.E. N.E.

+∞ N.E.

+∞ +∞

N.E. 1

Limiti 6 3/4 25/3

8/9 0

1 log√ 40

1 5/4

1 N.E.

+∞ 0

0 √

2/2

0 6

Limiti 7

1 −1

2 −1/2

0 0

1 2/3

1/4 −2

2 0

+∞ 0

N.E. N.E.

Limiti 8

1 0

+∞ log(3/2)

− log 2 0 π/2 1/√

e

0 +∞

√e 1

+∞ +∞

e 1/2

Limiti 9

0 1/12

N.E. +∞

1 −4/9

−4/9 −5/6

0 −8/3

−1/3 1/24 1/6 −1/6 2/3 −1/45

Limiti 10

1 1

0 1/2

−1/2 1

−√

3 −1/2

−3 cos 1 1

1/3 +∞

0 1/√

e 1/6 1/√

2π

Limiti 11

0 0

1 0

0 +∞

−1/2 −1

+∞ 0

5/3 √⁴ 2/8 1/e −25/64

− sin 1 sinh 1

27 4 log 2

Risposte Test Allenamento n. 5 – . . . – 15