EstensioninoncentralidelladistribuzioneedelprocessodiDirichlet Universit`adegliStudidiMilano-Bicocca

(1)

Dottorato di Ricerca in Statistica - XXVII ciclo

Tesi di Dottorato

Estensioni non centrali della

distribuzione e del processo di Dirichlet

Carlo Orsi

Tutore:

Prof. Andrea Ongaro

(2)

Indice

1 La v.c. Chi Quadrato non centrale 9

1.1 Definizione e rappresentazioni . . . 9

1.2 Grafici della densit`a . . . 18

1.3 Approssimazione di Patnaik . . . 21

1.4 Momenti . . . 25

1.5 Propriet`a riproduttiva . . . 29

2 La v.c. Beta doppiamente non centrale 31 2.1 Definizione e rappresentazioni . . . 32

2.3 Approssimazione alla Patnaik . . . 49

2.4 Momenti . . . 56

2.5 Lo studio della coniugatezza in ambito bayesiano . . . 64

3 Una nuova v.c. Beta doppiamente non centrale 65 3.1 Definizione . . . 67

3.2 Le v.c. peso univariata e bivariata . . . 75

3.3 Rappresentazioni . . . 82

3.5 Approssimazione alla Patnaik . . . 100

3.6 Momenti . . . 108

3.7 Lo studio della coniugatezza in ambito bayesiano . . . 114

4 La v.c. di Dirichlet non centrale 121 4.1 Definizione e rappresentazioni . . . 122

4.2 Caratteristiche marginali . . . 131

4.3 Grafici della densit`a congiunta . . . 140

5 Una nuova v.c. di Dirichlet non centrale 145 5.1 Definizione . . . 148

5.2 La v.c. peso (k + 1)-variata . . . 158

5.4 Caratteristiche marginali . . . 170

5.5 Grafici della densit`a congiunta . . . 181

6 Estensioni non centrali del processo di Dirichlet 185 6.1 Il contesto di riferimento . . . 187

6.2 Definizioni . . . 188

6.3 Caratteristiche marginali finito-dimensionali . . . 192

7 Conclusioni e sviluppi futuri 199

(3)

A Funzioni ipergeometriche 203

A.1 La funzione ipergeometrica generalizzata . . . 203

A.2 Le forme di Appell e di Humbert . . . 205

A.3 La funzione di Kamp´e de F´eriet . . . 206

(4)

Introduzione

Nella presente tesi vengono discusse alcune variabili casuali (v.c.) caratterizzate da distri-buzioni date da miscugli di distridistri-buzioni Beta e di Dirichlet. In particolare, l’attenzione `

e rivolta alle v.c. Beta e di Dirichlet non centrali, di cui viene definita una variante mag-giormente trattabile. Vengono studiate le principali proprietà e caratteristiche sia delle nuove distribuzioni Beta e di Dirichlet non centrali sia di quelle standard. Più precisa-mente, vengono proposte varie rappresentazioni, vengono analizzate le differenti forme assunte dalle densità, vengono ricavate approssimazioni delle stesse, vengono derivate formule generali per i momenti e, in ambito bayesiano, viene studiata la coniugatez-za ai modelli Binomiale e Multinomiale. Infine, in ambito bayesiano non parametrico, vengono introdotte due estensioni non centrali del processo di Dirichlet. Di tali processi vengono fornite le caratteristiche marginali finito-dimensionali e la rappresentazione delle traiettorie discrete.

Ciò premesso, in §1 viene proposto uno studio della v.c. Chi Quadrato non centrale finalizzato all’illustrazione delle relative principali caratteristiche. Essa riveste infatti un ruolo preponderante in tutto il presente lavoro di tesi poiché principale ingrediente alla base della definizione di oggetti aleatori noti e nuovi che nel seguito verranno rispettiva-mente ricordati ed introdotti. Più precisamente, in §1.1 ne viene fornita la definizione, ne viene determinata la funzione di densità di probabilità e ne vengono illustrate varie rappresentazioni, tra cui una, di notevole importanza per il prosieguo, nei termini di somma di una parte centrale e di una parte puramente non centrale. In particolare, la relativa densità, rappresentata in generale dalla somma infinita delle densità di opportu-ne v.c. Chi Quadrato pesate dalle probabilità di un’opportuna v.c. di Poisson, presenta una formulazione esplicita nel caso in cui il numero dei gradi di libertà g sia dispari. Un’analisi dell’andamento della funzione di densità di probabilità in questione al variare dei valori dei parametri è oggetto di §1.2. In particolare, si noti che l’introduzione della non centralità determina rispetto al caso centrale una flessibilità nel valore assunto dal limite in zero della densità per g = 2, limite pari a 1₂ nel caso centrale. Una nota appros-simazione della densità in questione, dovuta a Patnaik [16], è oggetto di interesse in §1.3, ove viene proposto un confronto grafico tra i comportamenti della densità e della relativa approssimazione in questione per alcune combinazioni di valori dei parametri. Una nuova formula generale per i momenti della v.c. Chi Quadrato non centrale viene derivata in §1.4 sulla base della relativa rappresentazione in termini di miscuglio. A tal proposito, si sottolinea l’inesistenza in letteratura di una formula alternativa alla presente per il cal-colo diretto dei momenti, i quali vengono comunemente determinati in maniera indiretta a partire dalla formula generale dei cumulanti della v.c. in questione [16]. Infine, in §1.5 viene ricordata la proprietà riproduttiva di tale v.c. rispetto ad ambedue i parametri che la caratterizzano, essenziale per il prosieguo della trattazione e mostrata a partire dalla relativa funzione generatrice dei momenti.

In §2, è oggetto di interesse la v.c. Beta doppiamente non centrale [10]. Essa si iden-tifica nella composizione generata da una base costituita da due v.c. Chi Quadrato non centrali indipendenti. In §2.1 viene fornita la definizione della v.c. all’oggetto, ne viene determinata la funzione di densità di probabilità e ne vengono illustrate varie rappre-sentazioni, di cui una innovativa nei termini di combinazione lineare convessa con pesi

(5)

aleatori di una parte centrale e di una parte puramente non centrale. L’analisi dell’anda-mento della relativa funzione di densità di probabilità al variare dei valori dei parametri, oggetto di §2.2, mostra, rispetto al caso centrale, la maggiore varietà di forme da essa assumibili, nonché la relativa maggiore flessibilità. Tra l’altro, qualora indicizzata da parametri di forma ambedue unitari, in virtù di quanto notato con riferimento al com-portamento in zero della densità di tipo Chi Quadrato non centrale con 2 gradi di libertà, la densità in questione mostra l’interessante caratteristica di assumere qualsivoglia limiti finiti agli estremi del relativo supporto. In §2.3 viene mostrato che la distribuzione Beta generalizzata a tre parametri [10] rappresenta un’approssimazione della distribuzione in questione ottenibile approssimando alla Patnaik le distribuzioni delle v.c. Chi Quadrato non centrali coinvolte nella relativa definizione. Una formula generale per i momenti della v.c. Beta doppiamente non centrale viene derivata in §2.4 a partire dalla relativa rappresentazione in termini di miscuglio. A tal proposito, si sottolinea l’inesistenza in letteratura di una formula alternativa ad essa per i momenti della v.c. all’oggetto. La derivazione di tale formula è altres`ı basata su un’innovativa forma di indipendenza con-dizionata tra la v.c. in questione e la somma delle componenti della base da cui essa trae origine. Infine, in §2.5 viene brevemente analizzato il comportamento della distribuzione Beta doppiamente non centrale e della relativa approssimazione alla Patnaik in ambito bayesiano. In particolare, esse vengono assunte come distribuzioni a priori per l’ignota probabilità di successo del modello probabilistico Binomiale in alternativa alla distri-buzione Beta, di cui è noto l’essere ad esso coniugata. Né la distribuzione all’oggetto, né la relativa approssimazione alla Patnaik, però, godono della suddetta proprietà della distribuzione Beta.

In §2 si è più volte sottolineato che, in virtù di una proprietà caratterizzante le v.c. Gamma indipendenti, la v.c. Beta, composizione traente origine da una base costituita da due v.c. Chi Quadrato indipendenti, risulta indipendente dalla somma delle componenti della relativa base. In altri termini, la v.c. Beta può equivalentemente essere definita nei termini della medesima composizione in questione, condizionata, però, alla somma delle componenti della relativa base. La validità della proprietà caratterizzante le v.c. Gamma indipendenti appena citata non risulta tuttavia preservata qualora si legittimi la presenza di non centralità nelle v.c. Chi Quadrato in questione. In altri termini, non può esservi indipendenza tra la v.c. Beta doppiamente non centrale e la somma delle com-ponenti della relativa base, per l’appunto rappresentate da due v.c. Chi Quadrato non centrali indipendenti. In §2.4 si è infatti mostrato che tra la composizione in questione e la somma delle componenti della relativa base sussiste indipendenza solo in un’opportuna forma condizionata. Tali considerazioni possono dunque essere assunte come punto di partenza per l’introduzione di una nuova v.c. Beta doppiamente non centrale, nel prosie-guo indicata come v.c. Beta doppiamente non centrale condizionata, definita nei termini della medesima composizione caratterizzante il caso non centrale standard, condizionata, però, alla somma delle componenti della relativa base. In virtù delle argomentazioni pri-ma proposte, infatti, una v.c. definita nel modo appena esplicitato deve necessariamente avere una distribuzione di probabilità differente da quella di tipo Beta doppiamente non centrale. In §3.1 viene dunque fornita la definizione della nuova v.c. in questione e ne viene determinata la densità di probabilità. Tale densità è rappresentata dalla doppia somma infinita delle densità di probabilità di opportune v.c. Beta con pesi dati dalle probabilità congiunte di una nuova v.c. discreta bivariata, nel prosieguo denominata v.c. peso bivariata, le cui caratteristiche sono oggetto di trattazione in §3.2. Inoltre, della densità in questione viene altres`ı derivata una formulazione esplicita nel caso in cui le v.c. Chi Quadrato non centrali coinvolte nella relativa definizione siano caratterizzate da gradi di libertà dati da numeri dispari.

(6)

trattabile ed interpretabile della v.c. Beta doppiamente non centrale. Nel presente caso, infatti, il fattore di perturbazione della distribuzione Beta si identifica, anziché in una serie di potenze a due variabili come nel caso della Beta doppiamente non centrale, nel prodotto di due serie di potenze ad una variabile, rappresentate da funzioni estremamente regolari e caratterizzate da strutture perfettamente simmetriche. La prima causa infatti il conferimento di maggior peso alla coda di destra della densità di probabilità della v.c. Beta, mentre la seconda alla coda di sinistra della densità Beta.

In §3.4 viene proposta un’analisi grafica dell’andamento della funzione di densità di probabilità all’oggetto al variare dei valori dei parametri. Da tale analisi trae evidenza che l’effetto della perturbazione esercitata sull’andamento della densità di probabilità della v.c. Beta al variare dei valori assunti dai parametri di forma e di non centralità `

e assolutamente comparabile a quello riscontrato nel caso non centrale standard. Nel presente caso, però, per poter apprezzare la varietà di forme assumibili dalla densità di probabilità in questione, nonché la relativa flessibilità, si sono dovuti attribuire ai parametri di non centralità valori di gran lunga superiori a quelli considerati nel caso non centrale standard.

In §3.5 viene mostrato che la distribuzione di Kummer-Beta [14] rappresenta un’ap-prossimazione della distribuzione in questione ottenibile approssimando alla Patnaik le distribuzioni delle v.c. Chi Quadrato non centrali coinvolte nella relativa definizione. Tra l’altro, nella dimostrazione di tale risultato, emerge una nuova rappresentazione della v.c. di Kummer-Beta nei termini di composizione traente origine da una base costituita da due v.c. Gamma indipendenti indicizzate da parametri di scala differenti, condizionata al fatto che la somma delle componenti della relativa base sia pari a 1. La capacità di riproduzione della densità all’oggetto da parte della corrispondente approssimazione alla Patnaik, pressoché scarsa, viene mostrata tramite un confronto grafico dei relativi andamenti al variare dei valori assunti dai parametri. Evidentemente, l’approssimazione della distribuzione di probabilità della v.c. Beta doppiamente non centrale condizionata rimane una questione ancora aperta e da analizzare maggiormente.

Una formula generale per i momenti della v.c. Beta doppiamente non centrale con-dizionata viene derivata in §3.6 a partire dalla relativa rappresentazione in termini di composizione non condizionata. La derivazione di tale formula `e altres`ı basata su una forma di indipendenza condizionata, analoga a quella mostrata nel caso non centrale standard, tra la v.c. in questione e la somma delle componenti della base da cui essa trae origine.

Infine, in §3.7 viene analizzato il comportamento mostrato in ambito bayesiano dalla distribuzione Beta doppiamente non centrale condizionata e dalla relativa approssimazio-ne alla Patnaik qualora le stesse vengano elicitate come distribuzioni a priori per l’ignota probabilità di successo del modello probabilistico Binomiale. Contrariamente alla distri-buzione in esame, la distridistri-buzione di Kummer-Beta risulta coniugata al modello Bino-miale. Un confronto grafico tra i comportamenti delle funzioni di densità di probabilità a posteriori corrispondenti alla distribuzione Beta doppiamente non centrale condizionata e alla relativa approssimazione alla Patnaik mostra, però, un’insoddisfacente capacità della seconda di riprodurre la prima anche in un siffatto ambito.

In §4 viene trattata la generalizzazione multivariata della v.c. Beta doppiamente non centrale, ossia la v.c. di Dirichlet non centrale. Essa si identifica nel vettore delle composizioni generate da una base costituita da una collezione finita di v.c. Chi Quadrato non centrali indipendenti [17].

In §4.1 viene fornita la definizione della v.c. all’oggetto, ne viene determinata la funzione di densit`a di probabilit`a e ne vengono illustrate varie rappresentazioni, di cui una innovativa data dalla generalizzazione multivariata della rappresentazione della v.c. Beta doppiamente non centrale in termini di combinazione lineare convessa con pesi aleatori di una parte centrale e di una parte puramente non centrale (§2.1).

(7)

con la v.c. di Dirichlet, ossia l’aggregazione [3]. Tale proprietà, oggetto di trattazione in §4.2, sancisce che la v.c. avente come componenti qualsivoglia aggregazioni additive delle componenti di una v.c. di Dirichlet non centrale risulta anch’essa di tipo Dirichlet non centrale con vettori di parametri di forma e di non centralità aventi come elementi le corrispondenti aggregazioni additive dei parametri di forma e di non centralità della v.c. di partenza. In particolare, le v.c. marginali univariate di una Dirichlet non centrale risultano di tipo Beta doppiamente non centrale con vettori di parametri di forma e di non centralità aventi come elementi il corrispettivo parametro della marginale in que-stione e la somma dei restanti parametri indicizzanti la v.c. di partenza. Tale risultato giustifica per l’appunto la considerazione della v.c. di Dirichlet non centrale nei termini di generalizzazione multivariata della v.c. Beta doppiamente non centrale.

Alla luce di tali considerazioni si è determinata l’espressione del momento misto di ordine 1+1 della generica marginale bivariata della v.c. in questione. A tal proposito, si sottolinea l’inesistenza in letteratura di una formula alternativa alla presente per il mo-mento all’oggetto. La derivazione della presente formula è basata su un’innovativa forma di indipendenza condizionata tra la v.c. in questione e la somma delle componenti della base da cui essa trae origine. Tale forma di indipendenza rappresenta la generalizzazione multivariata dell’analogo risultato proposto con riferimento alla v.c. Beta doppiamente non centrale in §2.4; essa rappresenta altres`ı l’analogo, nel caso non centrale multivariato, dell’indipendenza tra la v.c. di Dirichlet e la somma delle componenti della relativa base, quest’ultima garantita da una proprietà caratterizzante le v.c. Gamma indipendenti.

In virtù di una proprietà caratterizzante le v.c. Gamma indipendenti, la v.c. di Di-richlet, vettore di composizioni traenti origine da una base costituita da una collezione finita di v.c. Chi Quadrato indipendenti, risulta indipendente dalla somma delle compo-nenti della relativa base. In altri termini, la v.c. di Dirichlet può equivalentemente essere definita nei termini del medesimo vettore di composizioni in questione, condizionato, però, alla somma delle componenti della relativa base. Nel capitolo §3 si è sottolineato che la validità della proprietà caratterizzante le v.c. Gamma indipendenti appena citata non risulta preservata qualora si legittimi la presenza di non centralità nelle v.c. Chi Quadrato in questione. In altri termini, non può esservi indipendenza tra la v.c. di Dirichlet non centrale e la somma delle componenti della relativa base, per l’appunto rappresentata da una collezione finita di v.c. Chi Quadrato non centrali indipendenti. In §4.2 si è infatti mostrato che tra il vettore di composizioni in questione e la somma delle componenti della relativa base sussiste indipendenza solo in un’opportuna forma condizionata. Tali considerazioni possono dunque essere assunte come punto di partenza per l’introduzione di una nuova v.c. di Dirichlet non centrale, nel prosieguo indicata co-me v.c. di Dirichlet non centrale condizionata, definita nei termini del co-medesimo vettore di composizioni caratterizzante il caso non centrale multivariato standard, condizionato, però, alla somma delle componenti della relativa base. In virtù delle argomentazioni pri-ma proposte, infatti, una v.c. definita nel modo appena esplicitato deve necessariamente avere una distribuzione di probabilità congiunta differente da quella di tipo Dirichlet non centrale.

In §5.1 viene fornita la definizione della nuova v.c. in questione e ne viene deter-minata la densità di probabilità congiunta. Nel generico caso k-variato tale densità è rappresentata dalla somma infinita a (k + 1) indici delle densità di probabilità congiunte di opportune v.c. di Dirichlet con pesi dati dalle probabilità congiunte della v.c. peso (k + 1)-variata, generalizzazione (k + 1)-variata della v.c. peso bivariata discussa in §3.2, le cui caratteristiche sono oggetto di trattazione in §5.2. Inoltre, della densità in questio-ne viequestio-ne altres`ı derivata una formulazioquestio-ne esplicita questio-nel caso in cui le v.c. Chi Quadrato non centrali coinvolte nella relativa definizione siano caratterizzate da gradi di libertà dati da numeri dispari.

(8)

distribuzio-ne congiunta in questiodistribuzio-ne mostra come tale v.c. possa essere considerata una variante maggiormente trattabile ed interpretabile della v.c. di Dirichlet non centrale. Nel pre-sente caso, infatti, il fattore di perturbazione della distribuzione di Dirichlet si identifica, anzich´e in una serie di potenze a (k + 1) variabili come nel caso della Dirichlet non cen-trale, nel prodotto di (k + 1) serie di potenze ad una variabile, rappresentate da funzioni estremamente regolari e caratterizzate da strutture assolutamente comparabili.

La natura delle marginali di qualsivoglia dimensione della v.c. di Dirichlet non centra-le condizionata può essere agevolmente studiata sulla base della proprietà di aggregazione, che tale v.c. condivide con la v.c. di Dirichlet e con la v.c. di Dirichlet non centrale. In particolare, le v.c. marginali univariate di una Dirichlet non centrale condizionata risultano di tipo Beta doppiamente non centrale condizionata con vettori di parametri di forma e di non centralità aventi come elementi il corrispettivo parametro della marginale in questione e la somma dei restanti parametri indicizzanti la v.c. di partenza. Tale risul-tato decreta la v.c. di Dirichlet non centrale condizionata nei termini di generalizzazione multivariata della v.c. Beta doppiamente non centrale condizionata.

Alla luce di tali considerazioni si `e determinata l’espressione del momento misto di ordine 1+1 della generica marginale bivariata della v.c. in questione. La derivazione della presente formula `e basata su una forma di indipendenza condizionata tra la v.c. in questione e la somma delle componenti della base da cui essa trae origine. Tale forma di indipendenza rappresenta la generalizzazione multivariata dell’analogo risultato proposto con riferimento alla v.c. Beta doppiamente non centrale condizionata in §3.6.

Inoltre, la v.c. di Dirichlet non centrale condizionata condivide con la v.c. di Di-richlet un interessante risultato inerente la natura delle distribuzioni delle relative v.c. condizionate [11]. Sottoposte ad un’opportuna trasformazione, infatti, tali distribuzioni risultano anch’esse di tipo Dirichlet non centrale condizionato. Al contrario, un risultato di tal genere non sussiste con riferimento alla v.c. di Dirichlet non centrale.

Il processo di Dirichlet è la prima distribuzione a priori non parametrica storicamente introdotta in letteratura [3]. Esso è tuttora uno dei principali strumenti adottati ai fini dell’inferenza non parametrica in ambito bayesiano nei confronti dell’ignota distribuzione di probabilità P avente generato i risultati sperimentali osservati. Ciò premesso, in §6 vengono introdotte due estensioni non centrali del processo di Dirichlet aventi distribu-zioni marginali finito-dimensionali rispettivamente di tipo Dirichlet non centrale e di tipo Dirichlet non centrale condizionata. Tali nuovi classi di distribuzioni a priori verranno nel seguito indicate nei termini di processo di Dirichlet non centrale e processo di Dirichlet non centrale condizionato.

Più precisamente, in §6.1 viene fornita una breve introduzione al contesto a cui ne-cessariamente ci si deve riferire qualora il ricorso ad un procedimento inferenziale di tipo parametrico venga ritenuto poco opportuno e si debba ricorrere ad un approccio inferenziale di tipo non parametrico. Un tale approccio identifica il “parametro” di inte-resse nella distribuzione di probabilità P avente generato i dati osservati. In particolare, l’approccio bayesiano prevede di conferire a P natura aleatoria; più precisamente, P è assunta determinazione di una misura di probabilità aleatoria P. In §6.2 vengono defi-nite le due nuove classi di distribuzioni a priori non parametriche in questione. In §6.3 vengono analizzate le principali caratteristiche marginali finito-dimensionali di misure di probabilità aleatorie aventi distribuzioni a priori di tipo processo di Dirichlet non centrale e di tipo processo di Dirichlet non centrale condizionato.

(9)

può essere rappresentata nei termini di processo ad incrementi indipendenti di tipo Chi Quadrato non centrale normalizzato rispetto la somma dei relativi incrementi (Teorema 6.1). Inoltre, si ricordi che una misura di probabilità aleatoria di distribuzione a priori di tipo processo di Dirichlet è rappresentabile, in virtù della relativa rappresentazione introdotta da Sethuraman [18], come somma di salti aleatori occorrenti in corrisponden-za di altrettante locazioni aleatorie. Da tale rappresentazione emerge in particolare la natura quasi certamente discreta di una siffatta misura di probabilità aleatoria, che è tale da selezionare con probabilità uno le misure di probabilità discrete. Ciò premesso, per una misura di probabilità aleatoria avente distribuzione a priori di tipo processo di Dirichlet non centrale può essere fornita una rappresentazione analoga, in termini di somma di salti aleatori occorrenti in corrispondenza di altrettante locazioni aleatorie, tramite estensione non centrale della rappresentazione di Sethuraman del processo di Dirichlet. Da tale rappresentazione emerge dunque la natura quasi certamente discreta di una siffatta misura di probabilità aleatoria (Teorema 6.2), nonché un risultato molto interessante dal punto di vista della simulazione delle relative traiettorie. Infine, si sot-tolinea che, stante la profonda analogia intercorrente la definizione della v.c. di Dirichlet non centrale e la rappresentazione in termini di vettore di composizioni non condizionato della v.c. di Dirichlet non centrale condizionata, è facilmente immaginabile l’ottenimen-to di rappresentazioni per una misura di probabilità aleatoria di distribuzione a priori di tipo processo di Dirichlet non centrale condizionato analoghe a quelle proposte con riferimento al caso non centrale.

(10)

Capitolo 1

La v.c. Chi Quadrato non

centrale

La v.c. Chi Quadrato non centrale riveste un ruolo preponderante in tutto il presente lavoro di tesi; essa rappresenta infatti il principale ingrediente alla base della definizione di oggetti aleatori noti e nuovi che nel seguito verranno rispettivamente ricordati ed introdotti. Pertanto, le viene riservato un capitolo a s´e stante finalizzato all’illustrazione delle relative principali caratteristiche.

In §1.1 viene fornita la definizione della v.c. all’oggetto, ne viene determinata la funzione di densità di probabilità e ne vengono illustrate varie rappresentazioni, tra cui una, di notevole importanza per il prosieguo, nei termini di somma di una parte centrale e di una parte puramente non centrale. In particolare, la relativa densità, rappresentata in generale dalla somma infinita delle densità di opportune v.c. Chi Quadrato pesate dalle probabilità di un’opportuna v.c. di Poisson, presenta una formulazione esplicita nel caso in cui il numero dei gradi di libertà g sia dispari.

Un’analisi dell’andamento della funzione di densità di probabilità in questione al variare dei valori dei parametri è oggetto di §1.2. In particolare, si noti che l’introduzione della non centralità determina rispetto al caso centrale una flessibilità nel valore assunto dal limite in zero della densità per g = 2, limite pari a 1₂ nel caso centrale.

Una nota approssimazione della densità in questione, dovuta a Patnaik [16], è oggetto di interesse in §1.3, ove viene proposto un confronto grafico tra i comportamenti della densità e della relativa approssimazione in questione per alcune combinazioni di valori dei parametri.

Una nuova formula generale per i momenti della v.c. Chi Quadrato non centrale viene derivata in §1.4 sulla base della relativa rappresentazione in termini di miscuglio. A tal proposito, si sottolinea l’inesistenza in letteratura di una formula alternativa alla presente per il calcolo diretto dei momenti, i quali vengono comunemente determinati in maniera indiretta a partire dalla formula generale dei cumulanti della v.c. in questione [16].

Infine, in §1.5 viene ricordata la propriet`a riproduttiva di tale v.c. rispetto ad am-bedue i parametri che la caratterizzano, essenziale per il prosieguo della trattazione e mostrata a partire dalla relativa funzione generatrice dei momenti.

1.1 Definizione e rappresentazioni

La v.c. Chi Quadrato non centrale viene inizialmente definita con riferimento al semplice caso in cui il numero dei gradi di libertà sia pari a 1; per tale caso, viene altres`ı propo-sta una modalità di derivazione della relativa funzione di densità di probabilità basata sull’intuizione avuta da Patnaik [16]. La considerazione di tale semplice caso è infatti

(11)

indispensabile ai fini della presentazione della modalità di derivazione della funzione di densità di probabilit`_{a in questione nel caso generale di un qualsivoglia numero g ∈ N di} gradi di libertà.

Definizione 1.1 (V.c. Chi Quadrato non centrale con 1 grado di libert`a e parametro di non centralit`a λ).

Sia W ∼ N (µ, 1) una v.c. Normale di media µ ∈ R e varianza unitaria. Allora, la trasformazione Y0 = f (W ) = W2 _{di W `}_{e detta v.c. Chi Quadrato non centrale con 1}

grado di libert`a e parametro di non centralit`a λ = µ2_{≥ 0.}

Nel prosieguo, per tale v.c. si utilizzer`a la notazione Y0 ∼ χ02

1 (λ). Inoltre, si noti che

qualora µ = 0, dunque λ = 0, la v.c. in questione si riduce nella v.c. Chi Quadrato con 1 grado di libert`a; infatti, sotto tale ipotesi, si ha che W ∼ N (0, 1), quindi Y0= W2∼ χ2

1.

La funzione di densit`a di probabilit`a della v.c. appena definita risulta come segue.

Proprietà 1.1 (Funzione di densità di probabilità della v.c. Chi Quadrato non centrale con 1 grado di libertà e parametro di non centralità λ).

Sia Y0 ∼ χ02

1 (λ). Allora, la funzione di densit`a di probabilit`a di Y0 presenta la seguente

espressione esplicita: ϕY0(y; 1, λ) = e−λ+y2 √ 2π e √ λy_{+ e}−√λy 2√y , y > 0, (1.1)

equivalentemente data da:

ϕY0(y; 1, λ) = +∞ X i=0 e−λ2 λ 2 i i! y1+2i2 −1e− y 2 21+2i2 Γ 1+2i 2 , y > 0. (1.2)

Si noti che la formulazione (1.1) della densità in questione è di tipo esplicito e risul-ta espressa in termini di funzioni elemenrisul-tari. La (1.2), invece, è rappresentata dalla somma infinita delle funzioni di densità di probabilità delle v.c. Chi Quadrato con (1 + 2i) gradi di libert`_{a, ∀i ∈ N ∪ {0}, rispettivamente pesate dalle probabilità della} v.c. M ∼ Poisson (λ/2), degenere in 0 qualora λ = 0.

Ai fini della determinazione della funzione di densità di probabilità oggetto della Pro-prietà 1.1, alla luce delle notazioni utilizzate nella Definizione 1.1, si noti che ∀y > 0 la funzione di ripartizione di Y0 è legata a quella di W dalla seguente relazione:

ΦY0(y) = Pr (Y0 ≤ y) = Pr W2≤ y = Pr (− √ y ≤ W ≤√y) = ΦW( √ y) − ΦW(− √ y),

da cui, derivando ambedue i membri per y ed in virtù del Teorema di derivazione delle funzioni composte, discende la seguente relazione tra le funzioni di densità di probabilità di Y0 e di W : ϕY0(y) = d dy[ΦY0(y)] = d dy[ΦW( √ y) − ΦW(− √ y)] = = d dwΦW(w) _w=√_y ·dw dy − d dwΦW(w) _w=−√_y ·dw dy = = 1 2√y[ϕW( √ y) + ϕW(− √ y)] .

Essendo W ∼ N (µ, 1), per y > 0 la funzione di densit`a di probabilit`a di Y0 risulta dunque avere espressione:

(12)

da cui, posto λ = µ2_{, discende la (1.1).}

Si noti poi che, essendo:

cosh x = e x_{+ e}−x 2 = +∞ X i=0 x2i (2i)!, x ∈ R ed inoltre Γ(n+1) = n!, ∀n ∈ N e Γ 12 = √

π, la densit`a all’oggetto pu`o equivalentemente riscriversi come segue:

ϕY0(y; µ2) = y12−1e− µ2 +y 2 Γ 1 2 2 1 2 cosh (µ√y) = y 1 2−1e− µ2 +y 2 Γ 1 2 2 1 2 +∞ X i=0 µ2_yi (2i)! = = y 1 2−1e− µ2 +y 2 Γ 1 2 2 1 2 +∞ X i=0 _µ2 2 i i! 2i_yi_i! (2i)! = = +∞ X i=0 e−µ2₂ µ2 2 i i! 2i_i! Γ 1₂ (2i)! y12+i−1e− y 2 212 = = +∞ X i=0 e−µ22 _µ2 2 i i! 2i_{Γ (1 + i)} Γ 1₂ Γ (1 + 2i) y12+i−1e− y 2 212 ;

moltiplicando e dividendo il generico i-esimo termine della serie per 2i_Γ 1

2+ i, si ha che: ϕY0(y; µ2) = +∞ X i=0 e−µ22 _µ2 2 i i! 22i_Γ 1 2+ i Γ (1 + i) Γ 1 2 Γ (1 + 2i) y12+i−1e− y 2 212+iΓ 1 2+ i . (1.3)

A questo punto, si ricordi la “formula di duplicazione” di Legendre [11]:

Γ(2θ) = 2 2θ−1_{Γ(θ)Γ θ +}1 2 Γ 1 2 , ∀θ > 0; (1.4) posto θ = 1 2+ i in (1.4), risulta: Γ(1 + 2i) = 2 2i_Γ 1 2+ i Γ (1 + i) Γ 1 2 ⇔ 22i_Γ 1 2+ i Γ (1 + i) Γ 1 2 Γ(1 + 2i) = 1,

che, sostituito in (1.3) e ivi posto λ = µ2_{, d`}_{a luogo alla (1.2).}

In maniera del tutto naturale, la Definizione 1.1 pu`o essere generalizzata come segue.

Definizione 1.2 (V.c. Chi Quadrato non centrale con g ∈ N gradi di libert`a e parametro di non centralit`a λ).

Sia W = (W1, . . . , Wg) T

∼ Ng µ, Ig una v.c. g-variata di tipo Normale multivariato a

componenti indipendenti di medie µr ∈ R, ∀r = 1 . . . , g e varianze unitarie. Allora, la

trasformazione univariata Y0= f (W ) =Pg

r=1W 2

r di W `e detta v.c. Chi Quadrato non

centrale con g gradi di libert`a e parametro di non centralit`a λ =Pg

r=1µ 2 r≥ 0.

Nel prosieguo, per tale v.c., si utilizzer`a la notazione Y0 ∼ χ02

g (λ). Si noti che qualora

µr = 0, ∀r = 1, . . . , g, dunque λ = 0, la v.c. in questione si riduce nella v.c. Chi

Quadrato con g gradi di libert`a; infatti, sotto tale ipotesi, si ha che W ∼ Ng(0, Ig),

quindi Y = Pg

r=1W 2

r ∼ χ2g. Inoltre, qualora g = 1, la Definizione 1.2 si riduce nella

Definizione 1.1.

(13)

Proprietà 1.2 (Funzione di densità di probabilità della v.c. Chi Quadrato non centrale con g ∈ N gradi di libertà e parametro di non centralità λ).

Sia Y0 ∼ χ02

g (λ). Allora, la funzione di densit`a di probabilit`a di Y0 presenta espressione:

ϕY0(y; g, λ) = +∞ X i=0 e−λ2 λ 2 i i! yg+2i2 −1e− y 2 Γ g+2i₂ 2g+2i 2 , y > 0. (1.5)

Si noti che la (1.5) è rappresentata dalla somma infinita delle funzioni di densità di probabilità delle v.c. Chi Quadrato con (g + 2i) gradi di libert`_{a, ∀i ∈ N ∪ {0}, pesate} dalle probabilità della v.c. M ∼ Poisson (λ/2), degenere in 0 qualora λ = 0.

Ai fini della determinazione della funzione di densit`a di probabilit`a di Y0 ∼ χ02 g (λ),

viene nuovamente proposta la relativa modalit`a di derivazione basata sull’intuizione avuta da Patnaik [16]. A tal proposito, alla luce delle notazioni utilizzate nella Definizione 1.2, si consideri la trasformazione Z = AW di W individuata dalla matrice ortogonale g-dimensionale A = (αjr)_j,r=1,...,g avente come prima riga il versore:

αT1 = [α11. . . α1r. . . α1g] =

1 q

µT _{· µ}

[µ1. . . µr. . . µg]

e come generica j−esima riga, ∀j = 2, . . . , g, il versore:

αT_j = [αj1. . . αjr. . . αjg] ,

che, stante l’ortogonalit´a di A, ´e tale che:

αT_j · α₁=

g

X

r=1

αjrα1r= 0.

La v.c. g-variata Z cos`ı definita, stante la linearit`a della trasformazione di W che la individua, ha dunque anch’essa distribuzione congiunta di tipo Normale multivariato con vettore delle medie:

E (Z) = Aµ =           Pg r=1α1rµr Pg r=1α2rµr .. . Pg r=1αjrµr .. . Pg r=1αgrµr           =               µT_{· µ /}q_µT_{· µ} q µT _{· µ}Pg r=1α2rα1r .. . q µT _{· µ}Pg r=1αjrα1r .. . q µT _{· µ}Pg r=1αgrα1r               =           pPg r=1µ2r 0 .. . 0 .. . 0          

e matrice di varianze e covarianze:

V (Z) = A V (W ) AT = A IgA−1= Ig,

da cui risulta evidente l’indipendenza altres`ı delle componenti di Z, garantita dal fatto che trasformazioni ortogonali di v.c. a componenti indipendenti risultano esse stesse caratterizzate da componenti indipendenti.

Stante la normalit`a congiunta di Z e l’indipendenza delle relative componenti, si ha che Z1 ∼ N (pP

g

r=1µ2r, 1) e, in virt`u della Definizione 1.1, Z 2 1 ∼ χ021 Pg r=1µ 2 r; inoltre, essendo Zj ∼ N (0, 1), ∀j = 2, . . . , g, si ha che Zj2 ∼ χ 2 1 e V = Pg j=2Z 2 j ∼ χ 2 g−1, indipendente da Z2

(14)

densit`a di probabilit`a congiunta della v.c. bivariata (Z2 1, V ) risulta: ϕ(Z2 1,V) z₁2, v; g, g X r=1 µ2_r ! = ϕ_Z2 1 z 2 1; g X r=1 µ2_r ! · ϕV (v; g) = = +∞ X i=0 e−12 Pg r=1µ 2 r 1 2 Pg r=1µ 2 r i i! z2 1 1+2i2 −1_e−z2₂1 21+2i2 Γ 1+2i 2 · vg−12 −1e−v2 2g−12 Γ g−1 2 , (z 2 1, v) ∈ R 2+_.

Si consideri dunque il diffeomorfismo h : (0, +∞)2→ (0, +∞)2tale che: h z₁2, v = z2

1+ v, v = (y, u) ,

con inverso:

h−1(y, u) = (y − u, u) = z12, v

(0 < u < y) caratterizzato da matrice jacobiana avente determinante pari a

J = det Jac h−1(y, u) = 1 −1 0 1 = 1;

effettuando la trasformazione di variabili cos`ı definita, si ottiene:

ϕ(Y0_{,U )} y, u; g, g X r=1 µ2_r ! = = _ϕ(_Z2 1,V) y − u, u; g, g X r=1 µ2_r ! |J | = = +∞ X i=0 e−12 Pg r=1µ 2 r 1 2 Pg r=1µ 2 r i i! (y − u)1+2i2 −1_e−y−u2 21+2i2 Γ 1+2i 2 · ug−12 −1e−u2 2g−12 Γ g−1 2 = = +∞ X i=0 e−12 Pg r=1µ 2 r 1 2 Pg r=1µ 2 r i i! ug−12 −1(y − u) 1+2i 2 −1_e−y2 Γ 1+2i₂ Γ g−1 2 2 g+2i 2 .

Integrando quanto ottenuto rispetto alla variabile u e moltiplicando e dividendo il ge-nerico i−esimo termine della serie per yg+2i2 −2 = y

g−1 2 −1· y 1+2i 2 −1, ∀i ∈ N ∪ {0}, posto λ =Pg r=1µ 2

r, si ha che la funzione di densit`a di probabilit`a marginale di Y0 risulta:

ϕY0(y; g, λ) = = +∞ X i=0 e−λ2 λ 2 i i! e−y2 Γ 1+2i₂ Γ g−1₂ 2g+2i2 Z y 0 ug−12 −1(y − u) 1+2i 2 −1_{du =} = +∞ X i=0 e−λ2 λ 2 i i! e−y2y g+2i 2 −2 Γ 1+2i₂ Γ g−1₂ 2g+2i2 Z y 0 u y g−12 −1 1 − u y 1+2i2 −1 du.

Effettuando il cambiamento di variabile di integrazione:

t = u

y ⇔ u = y t, du = y dt,

(15)

da cui discende, in definitiva, la (1.5).

Storicamente, fu Fisher [4] il primo ad aver derivato, indirettamente, la distribuzione in questione come limite della distribuzione del coefficiente di correlazione lineare multiplo campionario. A tal proposito, si noti che, essendo g+2i₂ − 1 = g−2₂ _{+ i, ∀i ∈ N ∪ {0}, la} (1.5) pu`o essere equivalentemente espressa come segue:

ϕY0(y; g, λ) = +∞ X i=0 e−λ2 λ 2 i i! yg+2i2 −1e− y 2 Γ g+2i₂ 2g+2i2 = e−λ+y2 +∞ X i=0 λ 2 i i! yg−22 +i Γ g₂+ i 2g2+i = = e −λ+y 2 y g−2 2 2g2 +∞ X i=0 λ 2 i i! yi Γ g₂ + i 2i = e−λ+y2 y g−2 2 2g2 +∞ X i=0 λy 4 i i! Γ g₂+ i = = e−λ+y2 1 2 y λ g−24 √ λy 2 g−22 +∞ X i=0 √ λy 2 2i i! Γ g−2₂ + i + 1 .

Si consideri ora la restrizione su (ν, x) ∈ R+× R+ _{della funzione di Bessel modificata di}

primo tipo [9]: Iν(x) = x 2 ν +∞X i=0 x 2 2i i! Γ (ν + i + 1); (1.6)

posti in (1.6) ν = g−2₂ e x =√λy, si ottiene: ϕY0(y; g, λ) = e− λ+y 2 1 2 y λ g−24 Ig−2 2 p λy, y > 0, (1.7)

che per l’appunto rappresenta l’espressione della funzione di densit`a di probabilit`a di interesse derivata in origine da Fisher.

Si noti che, a partire dalla (1.7), `e possibile derivare una formulazione della densit`a di Y0∼ χ02

g (λ), con g > 1 dispari, di tipo esplicito, espressa in termini di funzioni elementari

e che generalizza la (1.1). Essa risulta come segue.

Proprietà 1.3 (Formulazione esplicita della funzione di densità di probabilità della v.c. Chi Quadrato non centrale con g > 1 dispari gradi di libertà e parametro di non centralità λ > 0).

Sia Y0∼ χ02

g (λ), con g > 1 dispari e λ > 0. Allora, la funzione di densit`a di probabilit`a

di Y0 `e equivalentemente data da:

ϕY0(y; g, λ) = e−λ+y2 √ 2π yg−14 λg−34 " d d √λy #g−32 " sinh √λy √ λy # , y > 0, (1.8)

ove sinh x = ex−e₂−x_{, x ∈ R.}

Si noti che l’ipotesi secondo cui g sia dispari e maggiore di 1 rende ammissibile l’ordine di derivazione della funzione riportata in (1.8).

Come preannunciato, la (1.8) pu`o essere derivata a partire dalla (1.7) alla luce della considerazione della seguente rappresentazione [10] della funzione di Bessel modificata di primo tipo: Im+1 2 (x) = r 2 πx m+1 2 1 x d dx m_{sinh x} x , _{m ∈ N.} (1.9)

(16)

Posto dunque nella (1.8) g = 3, la funzione di densit`a di probabilit`a di Y0 ∼ χ023 (λ)

pu`o essere equivalentemente espressa in termini espliciti come segue:

ϕY0(y; 3, λ) = e−λ+y₂ √ 2π e√λy_{− e}−√λy 2√λ , y > 0. (1.10)

A tal proposito, si noti che la (1.10) pu`o essere alternativamente determinata a partire dalla (1.1) come segue. Siano Y0

g1∼ χ 02 1 (λ) e Yg2∼ χ 2 2indipendenti e Yg03 ∼ χ 02 3 (λ). Ci`o

premesso, si preannuncia che nella sezione §1.5 verr`a mostrato che la v.c. Chi Quadrato non centrale gode della propriet`a riproduttiva rispetto ad ambedue i parametri che la indicizzano; pertanto, vale che:

Y_g0

3 = Y

0 g1+ Yg2.

Allora, la densità di probabilità di Y_g0₃ può essere determinata tramite convoluzione delle densità di Yg01 e Yg2 come segue:

ϕY0 g3(y3; 3, λ) = Z y3 0 ϕY0 g1(y1; 1, λ) · ϕYg2(y3− y1; 2) dy1= = Z y3 0 e−λ+y12 √ 2π e √ λy1_{+ e}− √ λy1 2√y1 ·1 2e −y3−y1₂ _dy 1= = e −λ+y3₂ 2√2π Z y3 0 e √ λy1_{+ e}− √ λy1 2√y1 dy1;

effettuando dunque il cambiamento di variabile di integrazione:

t =√y1, dt = 1 2√y1 dy1, risulta: ϕY0 g3(y3; 3, λ) = e−λ+y32 2√2π Z √y3 0 e √ λ t_{+ e}−√λ t_{dt =} = e −λ+y3₂ 2√2π 1 √ λ e √ λy3_{− 1}₋_√1 λ e− √ λy3_{− 1} ,

da cui, dopo semplici semplificazioni, discende la (1.10).

Analogamente, posto nella (1.8) g = 5, la funzione di densità di probabilità di Y0∼ χ02₅ (λ) può essere equivalentemente espressa in termini espliciti come segue:

ϕY0(y; 5, λ) = e−λ+y2 √ 2π √ λye √

λy_{+ e}−√λy₋_e√λy_{− e}−√λy

2 λ32

, y > 0. (1.11)

A tal proposito, la (1.11) pu`o essere alternativamente determinata a partire dalla (1.1) in maniera assolutamente analoga a quanto appena proposto con riferimento alla (1.10). Sia-no dunque Y_g0₃∼ χ02

3 (λ) e Yg2 ∼ χ

2

2indipendenti e Yg05∼ χ

02

5 (λ). Per quanto sottolineato

vale che:

Y_g0₅ = Y_g0₃+ Yg2

e la densit`a di probabilit`a di Y_g0

5pu`o essere determinata tramite convoluzione delle densit`a

(17)

effettuando dunque il cambiamento di variabile di integrazione: t =√y3, dy3= 2t dt, risulta: ϕY0 g5(y5; 5, λ) = e−λ+y52 2√2π√λ Z √ y5 0 te √ λ t_{− e}−√λ t_{dt =} = e −λ+y5₂ 2√2π√λ Z √y5 0 t e √ λ t_{dt −} Z √y5 0 t e− √ λ t_dt ! ,

da cui, integrando per parti e dopo semplici semplificazioni, discende la (1.11).

In definitiva, procedendo iterativamente tramite l’opportuna ripetizione dei passi appena proposti, `e possibile pervenire in maniera alternativa alla (1.8).

Si propongono ora alcune rappresentazioni della v.c. Chi Quadrato non centrale. In particolare, si noti che, stante la (1.5), vale la seguente rappresentazione in termini di miscuglio.

Propriet`a 1.4 (Rappresentazione in termini di miscuglio). Sia M ∼ Poisson (λ/2). Allora, Y0 ∼ χ02

g (λ) se, condizionatamente a M , Y0 ha

distri-buzione di tipo χ2 g+2M.

Inoltre, alla luce della rappresentazione appena proposta e della propriet`a riproduttiva della v.c. Chi Quadrato rispetto al numero dei gradi di libert`a, sussiste altres`ı la seguente rappresentazione della v.c. all’oggetto.

Propriet`a 1.5 (Rappresentazione in termini di decomposizione additiva in una parte centrale e in una parte puramente non centrale indipendenti).

Sia Y0 ∼ χ02 g (λ). Siano inoltre Y ∼ χ2g, {Fj} +∞ j=1 i.i.d. ∼ χ 2 2 e M ∼ Poisson (λ/2) fra

loro indipendenti. Allora:

Y0= Y + M X j=1 Fj. (1.12) Si noti chePM

j=1Fj `e conosciuta in letteratura come v.c. Chi Quadrato non centrale con

zero gradi di libertà o “puramente” non centrale o puramente “eccentrica” ([8], [19]) ed è indicata con la notazione χ02₀ (λ). A tal proposito, si anticipa che in §1.5 si perverrà equivalentemente alla (1.12) manipolando opportunamente la funzione generatrice dei momenti della v.c. Chi Quadrato non centrale.

Infine, la (1.5) può essere equivalentemente riscritta nei termini di perturbazione della funzione di densità di probabilità di tipo Chi Quadrato con g gradi di libertà, ossia il relativo corrispondente caso centrale; posto infatti:

ChiQuadrato (y; g) =y g 2−1e− y 2 2g2Γ g 2 , y > 0, (1.13)

si ha la seguente rappresentazione per la distribuzione in questione. Propriet`a 1.6 (Rappresentazione in termini di perturbazione). Sia Y0 ∼ χ02

g (λ). Allora, la funzione di densità di probabilità di Y0 può essere riscritta

come segue:

(18)

la restrizione su (x, a) ∈ R+

∪ {0} × R+ _{della funzione ipergeometrica generalizzata} pFq

con p = 0 e q = 1 coefficienti rispettivamente a numeratore e a denominatore (A.5) e (a)_i_{, ∀i ∈ N ∪ {0}, il fattoriale ascendente o simbolo di Pochhammer di a (A.1).}

Dimostrazione. `E possibile pervenire alla (1.14) a partire dalla (1.5) tramite le seguenti manipolazioni: ϕY0(y; g, λ) = +∞ X i=0 e−λ2 λ 2 i i! yg+2i2 −1e− y 2 Γ g+2i₂ 2g+2i2 = y g 2−1e− y 2 2g2Γ g 2 e −λ 2 +∞ X i=0 Γ g₂ Γ g₂+ i λ 4y i i! = = y g 2−1e− y 2 2g2Γ g 2 e −λ 2 +∞ X i=0 1 g 2 i λ 4y i i! = ChiQuadrato (y; g) · e −λ 2 ₀F₁ g 2; λ 4y .

Equivalentemente, `e possibile determinare la (1.14) a partire dalla (1.7) alla luce della restrizione sul campo reale della seguente relazione [9] intercorrente la funzione di Bessel modificata di primo tipo e la funzione ipergeometrica generalizzata0F1:

Iν(x) = x 2 ν Γ (ν + 1)0F1 ν + 1;x 2 4 . (1.16)

Posti in (1.16) ν = g−2₂ e x =√λy, risulta dunque: ϕY0(y; g, λ) = e− λ+y 2 1 2 y λ g−24 Ig−2 2 p λy= = e−λ+y2 1 2 y λ g−24 √_λy 2 g−22 Γ g−2₂ + 10F1 g − 2 2 + 1; λ 4y = = y g 2−1e− y 2 2g2Γ g 2 e −λ 2 0F1 g 2; λ 4y = = ChiQuadrato (y; g) · e−λ2 ₀F₁ g 2; λ 4y .

Infine, con un maggior onere di conti, la (1.14) pu`o essere alternativamente determinata a partire dalla (1.1) come segue. Siano Y₁0 ∼ χ02

1 (λ) e Yg−1∼ χ2g−1indipendenti, ∀g > 1.

In virtù della proprietà riproduttiva della v.c. Chi Quadrato non centrale rispetto ad ambedue i parametri che la indicizzano che verrà mostrata in §1.5, essendo Y0 ∼ χ02

g (λ),

vale che:

Y0 = Y₁0+ Yg−1.

Allora, la (1.14) pu`o essere determinata tramite convoluzione delle densit`a di Y₁0 e Yg−1

come segue: ϕY0(y; g, λ) = Z y 0 ϕY0 1(y1; 1, λ) · ϕYg−1(y − y1; g − 1) dy1= = Z y 0 e−λ+y1₂ √ 2π e√λy1_{+ e}− √ λy1 2√y1 ·(y − y1) g−1 2 −1 _e−12(y−y1) Γ g−1₂ 2g−12 dy1= = e −y 2e−λ2 Γ 1₂ Γ g−1 2 2 g+2 2 Z y 0 y− 1 2 1 (y − y1) g−2 2 −12 e √ λy1_{+ e}− √ λy1_dy 1= = y g−2 2 −1e− y 2 e−λ2 Γ 1₂ Γ g−1₂ 2g+22 Z y 0 y1 y −12 1 −y1 y g−22 − 1 2 e √ λy1_{+ e}− √ λy1 dy1;

effettuando dunque il cambiamento di variabile di integrazione:

z = y1

(19)

risulta: ϕY0(y; g, λ) = yg2−1e− y 2 e−λ2 Γ 1 2 Γ g−1 2 2 g+2 2 Z 1 0 z−12 (1 − z) g−2 2 −12 e √ λyz_{+ e}−√λyz_dz.

Effettuando poi il seguente cambiamento di variabile di integrazione:

t =√z, dz = 2t dt, risulta: ϕY0(y; g, λ) = yg2−1e− y 2 e−λ2 Γ 1₂ Γ g−1 2 2 g 2 Z 1 0 1 − t2g−22 − 1 2_e √ λy t_{+ e}−√λy t_{dt =} = y g 2−1e− y 2e− λ 2 Γ 1₂ Γ g−1₂ 2g2−1 Z 1 0 1 − t2g−22 −12 _coshp_{λy t}_dt. (1.17)

Si consideri ora la restrizione sul campo reale della seguente rappresentazione integrale della funzione di Bessel modificata di primo tipo [7]:

Iν(x) = x 2 ν Γ ν + 1₂ Γ 1₂ Z 1 −1 1 − t2ν−12 _{cosh (xt) dt,} _{ν > −}1 2. (1.18)

Si noti che, stante la natura pari della funzione integranda in (1.18), la (1.18) pu`o essere equivalentemente riscritta come segue:

Iν(x) = 21−ν_xν Γ ν +1₂ Γ 1 2 Z 1 0 1 − t2ν−12 _{cosh (xt) dt,} _{ν > −}1 2; (1.19)

posti allora in (1.19) ν = g−2₂ , maggiore di −1₂ poich´e g > 1 e x =√λy, si ha che: Z 1 0 1 − t2g−22 − 1 2 _coshp_{λy t}_{dt =} Γ g−2 2 + 1 2 Γ 1 2 21−g−2₂ √_λyg−22 Ig−2 2 p λy. (1.20)

Considerata infine la (1.16) ove siano posti ν = g−2₂ e x = √λy, la (1.20) pu`o essere equivalentemente esplicitata nei seguenti termini:

Z 1 0 1 − t2g−22 −12 _coshp_{λy t}_{dt =} Γ g−1 2 Γ 1 2 2 Γ g₂ 0F1 g 2; λ 4y ; (1.21)

sostituita dunque la (1.21) nella (1.17), discende la (1.14).

1.2 Grafici della densit`

a

Si propone ora un’analisi grafica del comportamento della funzione di densit`a di pro-babilit`a di Y0 ∼ χ02

g(λ) per valori del numero di gradi di libert`a g ∈ {1, 2, 3, 5, 7} e del

parametro di non centralità λ ∈ {0.5, 1, 2, 4, 7}. Tale analisi è evidentemente finalizzata a cogliere rispetto al caso centrale, contraddistinto da λ = 0 e rappresentato in Figura 1.1, l’effetto di perturbazione esercitato da intensità crescenti della non centralità sul com-portamento della densità relativa al caso centrale per differenti valori assunti dal numero di gradi di libertà1.

(20)

0 5 10 15 20 y 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 jY'Hy;g,ΛL Λ=0 g=7 g=5 g=3 g=2 g=1

Figura 1.1: Andamento della funzione di densità di probabilità della v.c. Chi Quadrato con g ∈ {1, 2, 3, 5, 7} gradi di libertà 0 5 10 15 20 y 0.1 0.2 0.3 0.4 jY'Hy;g,ΛL Λ=0.5 g=7 g=5 g=3 g=2 g=1

Figura 1.2: Andamento della funzione di densità di probabilità della v.c. Chi Quadrato non centrale (Y0) con g ∈ {1, 2, 3, 5, 7} gradi di libertà e parametro di non centralità λ = 0.5

0 5 10 15 20 y 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 jY'Hy;g,ΛL Λ=1 g=7 g=5 g=3 g=2 g=1

(21)

5 10 15 20 y 0.05 0.10 0.15 0.20 jY'Hy;g,ΛL Λ=2 g=7 g=5 g=3 g=2 g=1

Figura 1.4: Andamento della funzione di densità di probabilità della v.c. Chi Quadrato non centrale (Y0) con g ∈ {1, 2, 3, 5, 7} gradi di libertà e parametro di non centralità λ = 2

5 10 15 20 y 0.05 0.10 0.15 jY'Hy;g,ΛL Λ=4 g=7 g=5 g=3 g=2 g=1

Figura 1.5: Andamento della funzione di densità di probabilità della v.c. Chi Quadrato non centrale (Y0) con g ∈ {1, 2, 3, 5, 7} gradi di libertà e parametro di non centralità λ = 4

5 10 15 20 y 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 jY'Hy;g,ΛL Λ=7 g=7 g=5 g=3 g=2 g=1

(22)

Dall’osservazione delle rappresentazioni grafiche appena proposte trae evidenza come il progressivo distanziamento da zero del valore del parametro di non centralità comporti, per i valori di g più elevati (g ≥ 3), uno spostamento verso destra dei valori di Y0 caratterizzati da maggior densità di probabilità; tali valori risultano altres`ı concentrati in intervalli di maggior ampiezza. In altri termini, al crescere dell’intensità della non centralità introdotta, si osserva una minor tendenza della distribuzione all’asimmetria verso sinistra e gli indici di posizione (media, mediana, moda) e di variabilità di Y0 tendono ad aumentare in valore (a tal proposito, si vedano (1.40) e (1.42)).

Inoltre, per valori di g meno elevati (g = 1, 2), si noti che l’aumento dell’intensit`a della non centralit`a introdotta tende a lenire la natura monotona strettamente decrescente di ϕY0(y; g, λ) rendendone l’andamento gradualmente simile a quello corrispondente ai casi

in cui g > 2. Per tali casi, dunque, contemplando valori di λ ancor più elevati di quelli in questa sede considerati, al relativo crescere si riscontrerebbe un comportamento della densità assolutamente analogo a quello ravvisato nei casi di g più elevati.

Infine, si noti che l’introduzione della non centralità determina rispetto al caso centrale una flessibilità nel valore assunto dal limite in zero della densità in questione qualora indicizzata da g = 2, limite pari a 1

2 nel caso centrale. Quanto riscontrato dai grafici

trova dunque conferma nel seguente risultato.

Proprietà 1.7 (Limite in zero della funzione di densità di probabilità per g = 2). Sia Y0∼ χ02

2(λ). Allora:

ϕY0(0; 2, λ) =

e−λ2

2 . (1.22)

Dimostrazione. Posto g = 2 nella (1.5), si ha che:

ϕY0(y; 2, λ) = +∞ X i=0 e−λ2 λ 2 i i! yie−y2 Γ (1 + i) 21+i, y > 0. (1.23)

Per y → 0+, si noti che l’unico termine della serie in (1.23) a risultare non nullo `e quello indicizzato da i = 0; pertanto, segue la (1.22).

1.3 Approssimazione di Patnaik

Una semplice approssimazione della distribuzione di tipo Chi Quadrato non centrale `e dovuta a Patnaik [16].

Propriet`a 1.8 (Approssimazione di Patnaik). Siano Y0∼ χ02 g (λ) e Y ∼ χ2ν ove: ν = (g + λ) 2 g + 2λ = g + λ2 g + 2λ. (1.24)

Allora, la distribuzione di Y0 `e approssimabile tramite la distribuzione di

Y_P0 = ρ Y ∼ Gamma ν 2, 1 2ρ , (1.25) ove: ρ = g + 2λ g + λ = 1 + λ g + λ. (1.26)

Nel seguito viene proposto un confronto grafico tra i comportamenti della funzione di densit`a di probabilit`a di Y0 ∼ χ02

g(λ) e della relativa approssimazione di Patnaik per

(23)

piccoli; `e infatti evidente che al tendere di λ a zero la (1.24) tende a g e la (1.26) tende a 1, ossia la v.c. definita in (1.25) e Y0 convergono in distribuzione a W ∼ χ2

g. In tali casi,

dunque, per qualunque valore di g considerato, le due densit`a in questione risulterebbero caratterizzate da andamenti pressoch´e coincidenti.

Per valori di λ più elevati e, nella fattispecie, maggiori di 1, invece, si riscontrano lievi differenze nel comportamento delle due densità con particolare riferimento agli intervalli di valori maggiormente densi di probabilità. Tali differenze, fisso restando g, risultano sempre più evidenti al crescere di λ; a tal proposito si vedano le Figure (1.7), (1.10), (1.13) o (1.8), (1.11), (1.14) o (1.9), (1.12), (1.15). Al contrario, fisso restando λ e all’aumentare del numero dei gradi di libertà, le differenze in questione risultano affievolirsi; le figure riportate nel seguito sono proprio proposte in un ordine tale da far cogliere tale aspetto.2

5 10 15 20 25 30 y 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 jHyL g=3, Λ=2 Y 'P Y '

Figura 1.7: Andamento della funzione di densità di probabilità della v.c. Chi Quadrato non centrale (Y0) con g = 3 gradi di libertà e parametro di non centralità λ = 2 e della relativa approssimazione di Patnaik (YP0) 5 10 15 20 25 30 y 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 j g=5, Λ=2 Y 'P Y '

Figura 1.8: Andamento della funzione di densità di probabilità della v.c. Chi Quadrato non centrale (Y0) con g = 5 gradi di libertà e parametro di non centralità λ = 2 e della relativa approssimazione di Patnaik (YP0)

(24)

5 10 15 20 25 30 y 0.02 0.04 0.06 0.08 j g=7, Λ=2 Y 'P Y '

Figura 1.9: Andamento della funzione di densità di probabilità della v.c. Chi Quadrato non centrale (Y0) con g = 7 gradi di libertà e parametro di non centralità λ = 2 e della relativa approssimazione di Patnaik (YP0) 5 10 15 20 25 30 y 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 jHyL g=3, Λ=4 Y 'P Y '

Figura 1.10: Andamento della funzione di densità di probabilità della v.c. Chi Quadrato non centrale (Y0) con g = 3 gradi di libertà e parametro di non centralità λ = 4 e della relativa approssimazione di Patnaik (YP0) 5 10 15 20 25 30 y 0.02 0.04 0.06 0.08 j g=5, Λ=4 Y 'P Y '

(25)

5 10 15 20 25 30 y 0.02 0.04 0.06 0.08 j g=7, Λ=4 Y 'P Y '

Figura 1.12: Andamento della funzione di densità di probabilità della v.c. Chi Quadrato non centrale (Y0) con g = 7 gradi di libertà e parametro di non centralità λ = 4 e della relativa approssimazione di Patnaik (YP0) 5 10 15 20 25 30 y 0.02 0.04 0.06 0.08 jHyL g=3, Λ=7 Y 'P Y '

Figura 1.13: Andamento della funzione di densità di probabilità della v.c. Chi Quadrato non centrale (Y0) con g = 3 gradi di libertà e parametro di non centralità λ = 7 e della relativa approssimazione di Patnaik (YP0) 5 10 15 20 25 30 y 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 j g=5, Λ=7 Y 'P Y '

(26)

5 10 15 20 25 30 y 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 j g=7, Λ=7 Y 'P Y '

Figura 1.15: Andamento della funzione di densità di probabilità della v.c. Chi Quadrato non centrale (Y0) con g = 7 gradi di libertà e parametro di non centralità λ = 7 e della relativa approssimazione di Patnaik (YP0)

1.4 Momenti

In questa sede una formula generale per i momenti della v.c. all’oggetto viene derivata sulla base della relativa rappresentazione in termini di miscuglio. Tale formula coinvolge i numeri di Stirling di seconda specie, per la cui definizione si rimanda a [9]. A tal proposito, si sottolinea l’inesistenza in letteratura di una formula alternativa alla presente per il calcolo diretto dei momenti, i quali vengono comunemente determinati in maniera indiretta a partire dalla formula generale dei cumulanti della v.c. in questione [16].

Propriet`a 1.9 (Formula generale dei momenti). Sia Y0∼ χ02 g (λ). Allora, ∀r ∈ N, risulta: E(Y0)r = 2r r X i=0 i X j=0 S (i, j) 1 i! di dhi(h)r λ 2 j , (1.27)

ove S (i, j) sia numero di Stirling di seconda specie e h = g/2.

Dimostrazione. Essendo M ∼ Poisson (λ/2), in virt`u della rappresentazione in termini di miscuglio di Y0 e della regola del valore atteso iterato risulta:

E(Y0)r = EM

E (Y0)rM . (1.28) Si noti inoltre che se X ∼ Gamma (α, β), ∀r ∈ N, si ha che :

E (Xr) = (α)_r

βr (1.29)

[11]; essendo Y0, condizionatamente a M , di tipo χ2

g+2M, ossia di tipo Gamma g 2+ M, 1 2, posti in (1.29) α = g₂+ M e β = 1₂, risulta: E (Y0)rM = 2r g 2 + M r . (1.30)

Sostituita allora la (1.30) nella (1.28), si ha in definitiva:

(27)

Posta h = g/2, alla luce di (A.2), risulta: (h + M )_r = (h + M )_1+(r−1)= (h + M ) (h + 1 + M )_r−1= step 1 = h (h + 1 + M )_r−1+ M (h + 1 + M )_r−1= = h (h + 1 + M )_1+(r−2)+ M (h + 1 + M )_1+(r−2)= = h (h + 1 + M ) (h + 2 + M )_r−2+ (h + 1 + M ) M (h + 2 + M )_r−2= = h (h + 1) (h + 2 + M )_r−2+ hM (h + 2 + M )_r−2+ + (h + 1) M (h + 2 + M )_r−2+ M2(h + 2 + M )_r−2= step 2 = h (h + 1) (h + 2 + M )_r−2+ [h + (h + 1)] M (h + 2 + M )_r−2+ + M2(h + 2 + M )_r−2= = h (h + 1) (h + 2 + M )_1+(r−3)+ [h + (h + 1)] M (h + 2 + M )_1+(r−3)+ + M2(h + 2 + M )_1+(r−3)= = h (h + 1) (h + 2 + M ) (h + 3 + M )_r−3+ + [h + (h + 1)] M (h + 2 + M ) (h + 3 + M )_r−3+ + M2(h + 2 + M ) (h + 3 + M )_r−3= = h (h + 1) (h + 2) (h + 3 + M )_r−3+ h (h + 1) M (h + 3 + M )_r−3+ + [h (h + 2) + (h + 1) (h + 2)] M (h + 3 + M )_r−3+ + [h + (h + 1)] M2(h + 3 + M )_r−3+ (h + 2) M2(h + 3 + M )_r−3+ + M3(h + 3 + M )_r−3= step 3 = h (h + 1) (h + 2) (h + 3 + M )_r−3+ + [h (h + 1) + h (h + 2) + (h + 1) (h + 2)] M (h + 3 + M )_r−3+ + [h + (h + 1) + (h + 2)] M2(h + 3 + M )_r−3+ M3(h + 3 + M )_r−3. . . (1.32)

Si noti che se nello “step 3” della (1.32) si ponesse r = 3, dopo aver notato che i polinomi in h, coefficienti dei relativi termini, si identificano a meno di una costante di proporzionalit`a nelle derivate di ordini i = 0, . . . , 3 di (h)₃, si perverrebbe alla seguente formula: (h + M )₃= 3 X i=0 1 i! di dhi(h)3 Mi;

al di là della presente anticipazione, è di interesse ricavare la (1.32) nella sua versione più generale con r ∈ N generico. A tal proposito, ∀i = 1, . . . , r, si ponga:

(h)_{i, −{j} 1}= (h)_i h + j1 , ∀j1= 0, . . . , i − 1; analogamente, si ponga: (h)_{i, −{j} 1,j2}= (h)_i (h + j1) (h + j2) ,

∀j1 = 1, . . . , i − 1, j1 > j2 e cos`ı via fino al caso di i indici j1, . . . , ji, con j1> . . . > ji,

che banalmente devono essere tali che j1 = i − 1, j2 = i − 2,..., ji = 0, per il quale si

ponga:

(h)_{i, −{j}

(28)

Premesse le presenti posizioni, si ha che al generico i-esimo step, ∀i = 1, . . . , r, la (1.32) assume la seguente espressione:

(h + M )_r = (h)_i(h + i + M )_r−i+ +   i−1 X j1=0 (h)_{i, −{j} 1}  M (h + i + M )_r−i+ +   i−1 X j1=1 j1−1 X j2=0 (h)_{i, −{j} 1,j2}  M 2_{(h + i + M )} r−i+ +   i−1 X j1=2 j1−1 X j2=1 j2−1 X j3=0 (h)_{i, −{j} 1,j2,j3}  M3(h + i + M )_r−i+ . . . + +   i−1 X j1=i−2 j1−1 X j2=i−3 j2−1 X j3=i−4 . . . ji−2−1 X ji−1=0 (h)_{i, −{j} 1,...,ji−1}  M i−1 (h + i + M )_r−i+ +   i−1 X j1=i−1 j1−1 X j2=i−2 j2−1 X j3=i−3 . . . ji−1−1 X ji=0 (h)_{i, −{j} 1,...,ji}  M i_{(h + i + M )} r−i, (1.34) ove il coefficiente di Mi_{(h + i + M )}

r−i, pur avendo valore 1 in virt`u di (1.33), viene

esplicitato in termini di sommatoria multipla solo per esigenza di uniformit`a alla nota-zione adottata per i coefficienti dei restanti termini.

Posto allora i = r nella (1.34), alla luce di (A.1), si ottiene:

(h + M )_r = (h)_r+   r−1 X j1=0 (h)_{r, −{j} 1}  M +   r−1 X j1=1 j1−1 X j2=0 (h)_{r, −{j} 1,j2}  M 2₊ +   r−1 X j1=2 j1−1 X j2=1 j2−1 X j3=0 (h)_{r, −{j} 1,j2,j3}  M 3_{+ . . . +} +   r−1 X j1=r−2 j1−1 X j2=r−3 j2−1 X j3=r−4 . . . jr−2−1 X jr−1=0 (h)_{r, −{j} 1,...,jr−1}  M r−1₊ +   r−1 X j1=r−1 j1−1 X j2=r−2 j2−1 X j3=r−3 . . . jr−1−1 X jr=0 (h)_{r, −{j} 1,...,jr}  Mr, (1.35)

ove per il coefficiente di Mr _{valgono considerazioni analoghe a quelle appena esplicitate}

con riferimento al coefficiente di Mi_{(h + i + M )}

r−i in (1.34).

Si noti ora che ∀k = 0, . . . , r − 1:

(29)

sostituita dunque la (1.36) nella (1.35), si ha che: (h + M )_r = (h)_r+ r−1 X k=0 1 (k + 1)! dk+1 dhk+1(h)r Mk+1= i=k+1 = (h)_r+ r X i=1 1 i! di dhi(h)r Mi= = r X i=0 1 i! di dhi(h)r Mi, (1.37)

avendo posto (h)_r= _0!1_dhd00(h)r. Alla luce di (1.37), si ha dunque che:

E [(h + M )r] = r X i=0 1 i! di dhi (h)r E Mi , (1.38) ove: E Mi = i X j=0 S (i, j) λ 2 j , (1.39)

[9], essendo S (i, j) numero di Stirling di seconda specie. Sostituita la (1.39) nella (1.38) e la (1.38) cos`ı risultante nella (1.31) ove h = g/2, segue dunque la (1.27).

Ponendo r = 1 nella (1.27) e ricordando che h = g/2, si ottiene dunque il valore atteso di Y0 ∼ χ02 g (λ), che risulta: E (Y0) = 2 1 X i=0 i X j=0 S (i, j) 1 i! di dhih λ 2 j = 2h + λh=g/2= g + λ. (1.40)

Ponendo invece r = 2 nella (1.27) e ricordando che h = g/2, si ottiene il momento secondo di Y0_{, avente espressione:}

E h (Y0)2i = 4 2 X i=0 i X j=0 S (i, j) 1 i! di dhi [h (h + 1)] λ 2 j = = 4 h (h + 1) + (2h + 1)λ 2 + λ 2 + λ2 4 = = 4 h (h + 1) + 2 (h + 1)λ 2 + λ2 4 = h=g/2 = 4 g 2 g 2+ 1 + 2g 2 + 1 λ 2 + λ2 4 = = 2gg 2 + 1 + 4g 2 + 1 λ + λ2= = g (g + 2) + 2 (g + 2) λ + λ2. (1.41)

Pertanto, la varianza di Y0 risulta:

V (Y0) = E h

(Y0)2i−[E (Y0)]2= g(g+2)+2 (g + 2) λ+λ2−(g + λ)2= 2 (g + 2λ) . (1.42) Si noti che, in virt`u della decomposizione additiva della varianza di una v.c. in varianza delle medie condizionate e media delle varianze condizionate, la varianza di Y0pu`o altres`ı ottenersi direttamente come segue:

(30)

ossia la (1.42). `

E evidente che le espressioni (1.40) e (1.42), poiché funzioni crescenti (e lineari) di λ, confermano le conclusioni tratte in sede di commento dell’andamento della funzione di densità di probabilità di Y0 al crescere di λ per differenti valori di g (§1.2).

Con un onere maggiore di calcoli, i momenti di Y0 possono altres`ı determinarsi a partire dalla relativa funzione generatrice dei momenti. Tale strada alternativa viene in questa sede evitata, anche se la determinazione della funzione generatrice in questione `

e comunque oggetto della prossima sezione poiché strumento usato ai fini della verifica della validità della proprietà riproduttiva della v.c. all’oggetto rispetto ad ambedue i parametri che la caratterizzano.

1.5 Propriet`

a riproduttiva

La funzione generatrice dei momenti della variabile casuale Chi-Quadrato non centrale presenta la seguente espressione, dovuta a van der Vaart [21].

Propriet`a 1.10 (Funzione generatrice dei momenti). La funzione generatrice dei momenti di Y0 ∼ χ02

g(λ) ha espressione: GY0(t) = (1 − 2t)− g 2_e1−2tt λ_, _{t ∈} −1 2, 1 2 . (1.43)

A tal proposito, sia W = (W1, . . . , Wg)T ∼ Ng µ, Ig e, ∀r = 1, . . . , g, si noti che

Wr = Zr + µr, ove Z = (Z1, . . . , Zg)T ∼ Ng(0, Ig); pertanto, Y0 = Pg_r=1Wr2 = Pg r=1(Zr+ µr) 2 ∼ χ02g (λ), ove λ = Pg r=1µ 2 r.

Ci´o premesso, essendo t variabile reale, la funzione generatrice dei momenti di Y0risulta:

(31)

ove l’ultimo integrale riportato ha valore unitario poiché relativo alla funzione di densità di probabilità di una v.c. di tipo N_1−2t2t µr,_1−2t1

, t 6= 1₂ e definito sul rispettivo supporto. In definitiva, risulta:

GY0(t) = g Y r=1 h (1 − 2t)−12_e1−2tt µ 2 r i = (1 − 2t)−g2_e1−2tt Pg r=1µ 2 r ₌ = (1 − 2t)−g2_e1−2tt λ_, _{t ∈} −1 2, 1 2 .

Evidentemente, qualora λ = 0, la (1.43) si riduce nella funzione generatrice dei mo-menti di Y ∼ χ2

g. Si noti poi che, essendo t 1−2t = − 1 2 + 1 2(1−2t), la (1.43) pu´o essere

equivalentemente riscritta come segue:

GY0(t) = (1 − 2t)− g 2 _e−λ2e λ 2(1−2t) _{= (1 − 2t)}− g 2_e−λ2 +∞ X i=0 h λ 2(1−2t) ii i! , = +∞ X i=0 e−λ2 λ 2 i i! (1 − 2t) −g+2i 2 _, _{t ∈} −1 2, 1 2 , (1.44)

ossia come somma infinita delle funzioni generatrici dei momenti delle v.c. Chi Quadrato con (g + 2i) gradi di libert`_{a, ∀i ∈ N ∪ {0}, rispettivamente pesate dalle probabilit`a della} v.c. M ∼ Poisson (λ/2), degenere in 0 qualora λ = 0.

In particolare, si noti che la (1.44) presenta la seguente espressione equivalente:

GY0(t) = (1 − 2t)− g 2 +∞ X i=0 e−λ 2 λ 2 i i! (1 − 2t) −2i 2 _, _(1.45)

data dal prodotto di:

GY(t) = (1 − 2t) −g

2_,

funzione generatrice dei momenti di Y ∼ χ2 g e: GY0 pnc(t) = +∞ X i=0 e−λ2 λ 2 i i! (1 − 2t) −2i 2 _,

funzione generatrice dei momenti di Y_pnc0 ∼ χ02

0(λ). Stanti le propriet`a della funzione

generatrice dei momenti [11], la v.c. bivariata Y, Y_pnc0

ha componenti fra loro indi-pendenti e Y0 si identifica nella relativa somma. In definitiva, da (1.45) trae evidenza un’ulteriore prova della rappresentazione di Y0∼ χ02

g(λ) oggetto della Propriet`a 1.5.

Si `e ora pronti a provare la propriet`a riproduttiva della v.c. all’oggetto.

Proprietà 1.11 (Riproduttività rispetto al numero di gradi di libertà e al parametro di non centralità).

Siano Y10, . . . , Ym0 v.c. indipendenti tali che Yj0 ∼ χ02gj(λj), ∀j = 1, . . . , m. Sia inoltre

Y0+=Pm j=1Y 0 j. Allora, posti g = Pm j=1gj e λ = Pm j=1λj, si ha che Y 0+_{∼ χ}02 g(λ).

A tal proposito, si noti infatti che la funzione generatrice dei momenti di Y0+risulta:

(32)

Capitolo 2

La v.c. Beta doppiamente non

centrale

La v.c. Beta doppiamente non centrale `e il primo modello probabilistico ad essere propria-mente oggetto di interesse del presente lavoro [10]. Essa si identifica nella composizione generata da una base costituita da due v.c. Chi Quadrato non centrali indipendenti.

In §2.1 viene fornita la definizione della v.c. all’oggetto, ne viene determinata la funzione di densit`a di probabilit`a e ne vengono illustrate varie rappresentazioni, di cui una innovativa nei termini di combinazione lineare convessa con pesi aleatori di una parte centrale e di una parte puramente non centrale, basata sulle v.c. Beta non centrali di tipi 1 e 2, ossia due casi particolari della v.c. in questione [10], [13].

L’analisi dell’andamento della relativa funzione di densità di probabilità al variare dei valori dei parametri, oggetto di §2.2, mostra, rispetto al caso centrale, la maggiore varietà di forme da essa assumibili, nonché la relativa maggiore flessibilità. Tra l’altro, qualora indicizzata da parametri di forma ambedue unitari, in virtù di quanto notato con riferimento al comportamento in zero della densità di tipo Chi Quadrato non centrale con 2 gradi di libertà, la densità in questione mostra l’interessante caratteristica di assumere qualsivoglia limiti finiti agli estremi del relativo supporto.

In §2.3 viene mostrato che la distribuzione Beta generalizzata a tre parametri [10] rappresenta un’approssimazione della distribuzione in questione ottenibile approssiman-do alla Patnaik le distribuzioni delle v.c. Chi Quadrato non centrali coinvolte nella relativa definizione. La pressoché buona capacità di riproduzione della densità all’ogget-to da parte della corrispondente approssimazione alla Patnaik viene mostrata tramite un confronto grafico dei relativi andamenti al variare dei valori assunti dai parametri.

Una formula generale per i momenti della v.c. Beta doppiamente non centrale vie-ne derivata in §2.4 a partire dalla relativa rappresentaziovie-ne in termini di miscuglio. A tal proposito, si sottolinea l’inesistenza in letteratura di una formula alternativa ad essa per i momenti della v.c. all’oggetto. La derivazione di tale formula è altres`ı basata su un’innovativa forma di indipendenza condizionata tra la v.c. in questione e la somma delle componenti della base da cui essa trae origine. Tale forma di indipendenza può considerarsi l’analogo nel caso non centrale dell’indipendenza tra la v.c. Beta e la som-ma delle componenti della relativa base nel caso centrale, indipendenza, quest’ultisom-ma, garantita da una proprietà caratterizzante le v.c. Gamma indipendenti. Si noti che, sebbene la funzione di densità di probabilità della v.c. Beta doppiamente non centrale abbia espressione data da una doppia serie, il corrispettivo momento di generico ordine r, ottenuto tramite la procedura appena accennata, ha invece espressione data da una som-ma pesata di serie di potenze ad una variabile. Inoltre, sulla base della rappresentazione prima citata nei termini di combinazione lineare convessa, viene derivata un’interessante forma alternativa del valore atteso della v.c. all’oggetto data dalla combinazione lineare