3. Modello matematico per la descrizione della dinamica di un attuatore tandem
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3. Modello matematico per la descrizione della dinamica di un attuatore tandem
In questo capitolo verrà esposto il modello matematico utilizzato per descrivere la dinamica di un attuatore tandem. È importante notare che, anche se la DDV oggetto di studio è rotante e non lineare, l’attuatore è invece lineare.
3.1 Equazioni del moto dell’attuatore
In riferimento alla figura 3.1 che illustra il classico schema di un attuatore tandem a doppio effetto; se j=1, 2 è l’indice della singola unità dell’attuatore è possibile scrivere le seguenti relazioni [15]:
1 4
2 3
bilancio di massa sulla servovalvola
aj j j
bj j j
Q Q Q
Q Q Q
= −
⎧⎪⎨ = −
⎪⎩ (3.1)
( )
( ) bilancio di massa nelle camere dell'attuatore
aj aj pr
aj
aj
bj bj pr
bj
bj
Q S x
P V
Q S x
P V
β β
⎧ − ⋅
=
⎪⎪
⎨ + ⋅
⎪ =
⎪⎩
(3.2)
0 0
variazione del volume della camera nel tempo
aj ajt aj pr
bj bj t bj pr
V V S x
V V S x
=
=
⎧ = + ⋅
⎪⎨
= + ⋅
⎪⎩ (3.3)
( )
2 1
bilancio della quantità di moto
p pr aj aj bj bj ext fr
j
m x P S P S F F
=
⋅ =∑ ⋅ − ⋅ + + (3.4)
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Figura 3.1: schema di un attuatore tandem a doppio effetto.
3.1.1 Modello per il calcolo della forza di attrito
In generale nella modellazione degli attriti sull’attuatore la forza dovuta agli attriti viene descritta attraverso un modello di tipo elasto-plastico, che riproduce il fenomeno dello stick - slip tipico del movimento di un corpo rigido su una superficie liscia.
Quando un corpo inizia a muoversi inizialmente subisce una deformazione locale dovuta al fatto che, tra corpo e superficie, si verificano delle microsaldature (fase di stick) che devono essere rotte affinché il movimento abbia inizio; dopodiché il corpo scivola sulla superficie (fase di slip). Nella fase di stick lo spostamento del corpo è dovuto alla locale deformazione dello stesso, mentre nella fase di slip la deformazione locale è costante ed è pari a zslip.
Analiticamente il modello consiste nel considerare la forza di attrito F come una fr reazione vincolare la cui rigidezza dipende dalla deformazione della zona di contatto z attraverso un’opportuna costante, cioè si ha che:
fr fr
F = −K z (3.5) Sostanzialmente si tratta di un modello di LuGre [16,17] in cui la dinamica della deformazione della zona di contatto (vedi equazione 3.6) è regolata da una quantità αtr (vedi equazione 3.7) che permette di gestire la transizione tra i tre diversi stati di deformazione [13]:
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• La fase elastica o di blocco ( z ≤zstick).
• La fase plastica o di strisciamento ( z ≥zslip).
• La fase di passaggio tra le due condizioni precedenti (zstick < z <zslip).
pr tr pr
slip
z x x z α z
= −
(3.6)
2
0 se
sin se
2
1 se
stick
stick
tr stick slip
slip stick
slip
z z z z
z z z
z z
z z α π
⎧ ≤
⎪⎪⎛ − ⎞
=⎪⎨⎜⎪⎝⎜ ⋅ − ⎟⎟⎠ < <
⎪ ≥
⎪⎩
(3.7)
dove z è la deformazione, assunta costante, subita dal corpo durante la fase di slip ed slip x è pr la velocità di strisciamento del corpo rigido (in questo caso il pistone dell’attuatore).
La deformazione della zona di contatto in regime di slip (z ) è legata alla velocità di slip strisciamento del corpo rigido (x ) attraverso la seguente relazione [13]: pr
( )
2
*
xpr
v
D S D
slip
fr
F F F e
z K
⎛ ⎞
−⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠
+ −
=
(3.8)
dove F è la forza di attrito dinamico, D F la forza di attrito statico e S v è la deviazione * standard della gaussiana.
La relazione 3.8 assume quindi l’andamento di una gaussiana traslata ( di cui in figura 3.2 è riportato un esempio indicativo) in modo che il valore asintotico della curva generi una deformazione z che comporta una forza di attrito pari a slip F . D
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40
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
x 10-3 1.2
1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8x 10-6
zslip(1)
zslip(2)
dxpr/dt [m/s]
z slip [m]
Figura 3.2: distribuzione gaussiana zslip vs xpr.
Osservando la curva di figura precedente si nota come per avere movimento del corpo è necessario superrare un certo livello di deformazione locale (zslip( )1 ), o ciò che è lo stesso un determinato livello di forza (vedi equazione 3.5) per vincere l’attrito statico, dopodiché tale livello di deformazione diminuisce fino al valore asintotico (zslip( )2 ).
L’implementazione di un modello stick - slip richiede la definizione di numerosi parametri di simulazione (vedi equazioni 3.5 – 3.8) che possono essere definiti soltanto comparando le onde generate dall’Hardware con quelle generate dal Modello DIA.
In primissima approssimazione l’attrito può essere modellato, come già fatto per la DDV, attraverso un modello di attrito coulombiano:
( )
fr fr sgn p
F = − F x (3.9)
dove F è una percentuale, la cui entità verrà definita attraverso delle simulazioni, della fr forza premente.
