Descrizione tramite il moto Browniano riesso di un modello matematico del carcinoma duttale

Descrizione tramite il moto Browniano riesso di un modello matematico del carcinoma duttale

Chiara Carmignani

Sommario

L'obiettivo di questo lavoro è sviluppare un modello per descrivere l'evoluzione del carcinoma duttale. Il carcinoma duttale è un carcinoma che si origina all'interno del dotto del seno femminile. Possiamo immaginare il dotto con un cilindro. Le sue pareti sono costituite di cellule epiteliali e il suo interno, in condizioni normali, è vuoto. Chiamiamo le pareti del dotto membrana basale. Se, durante la normale proliferazione delle cellule epiteliali, viene generata una cellula anomala, chiamata cellula tumorale, si origina il carcinoma duttale. La cellula tumorale può proliferare generando altre cellule tumorali, libere di muoversi. Inizialmente le cellule sono obbligate a rimanere all'interno del dotto, questa fase si chiama carcinoma in situ.

Esiste un'altra fase successiva, chiamata carcinoma invasivo, in cui le cellule tumorali riescono ad uscire dal dotto e danno origine alle metastasi. Per descrivere un modello di questo carcinoma studiamo il moto Browniano riesso. Supponiamo, infatti, che il movimento delle cellule tumorali sia modellizzato dal moto Browniano. Nel momento in cui le cellule incontrano la membrana basale il moto Browniano viene respinto, cioè si riette.

Nel primo capitolo deniamo il moto Browniano riesso. Analizziamo in dettaglio la teoria relativa al Local Time e alla formula di Itô Tanaka in dimensione 1 e la generalizziamo al caso in dimensione d arbitraria. Il moto Browniano riesso ˜ B è a valori in un dominio D ⊂ R ^d limitato con ∂D liscio e lo possiamo scrivere nel seguente modo

B ˜ t = ˜ B 0 + W t + L t ,

|L| t = Z t

0

1 { ˜ B

∈∂D} d|L| s , L t = Z t

0

n( ˜ B s )d|L| s ,

dove W è un moto Browniano a valori in R ^d , n(x) è il versore normale interno a

∂D nel punto x ∈ ∂D e |L| t è la variazione totale di L al tempo t. Deniamo il moto Browniano con potenziale. A tale scopo, consideriamo una funzione f n :=

exp((nδ(x)) ⁻¹ ) , con δ(x) che indica la distanza tra un punto x ∈ D e ∂D, e una successione di processi stocastici 

X ⁽ⁿ⁾ 

n∈N tali che dX _t ⁽ⁿ⁾ = − 1

2 ∇f n

 X _t ⁽ⁿ⁾ 

dt + dW _t ,

con W moto Browniano. Questa successione di processi è a valori in D e il suo limite debole è il moto Browniano riesso ˜ B . Vogliamo simulare il moto Browniano

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riesso e possiamo supporre che, per n abbastanza grande, il processo X ⁽ⁿ⁾ si com- porti in modo molto simile al moto Browniano riesso. Questa analogia tra il moto Browniano riesso e la successione X ⁽ⁿ⁾ ci permette di avere un processo a valori in un dominio limitato più facile da simulare.

Nel secondo capitolo studiamo il legame che c'è tra il moto Browniano riesso e l'equazione del calore con condizione di Neumann al contorno. Vediamo che il moto Browniano riesso ha densità e che la densità è soluzione dell'equazione del calore con condizione di Neumann al contorno. Inoltre studiamo il limite macroscopico per capire il comportamento di un insieme molto grande di cellule tumorali e il legame tra il moto di queste cellule e l'equazione del calore.

Nel terzo capitolo diamo una breve introduzione biologica del carcinoma duttale e deniamo un modello matematico. Inoltre facciamo alcune simulazioni del modello attraverso il software Matlab. Consideriamo inizialmente il moto Browniano con potenziale e deniamo una funzione che regoli le interazioni tra cellule, l'interazio- ne repulsiva che impedisce la loro sovrapposizione e l'interazione attrattiva che le cellule hanno tra loro. Successivamente sostituiamo la funzione potenziale con una funzione che regoli la repulsione esercitata dalle cellule epiteliali sulle cellule tumorali per mantenere quest'ultime all'interno del dotto. Iniziamo denendo un modello del carcinoma duttale in situ no ad arrivare a denire un modello completo, in cui le cellule tumorali possono rompere la membrana basale e uscire dal dotto. Il modello che arriviamo a denire è il seguente

dX _t ⁱ = 1 N

N

X

j=1

K X _t ⁱ − X _t ^j
dt + 1 Z

Z

X

j=1

H X _t ⁱ − E _t ^j
dt + σdB _t ⁱ ,

dE _t ^j = 1 Z

Z

X

k=1

Q E _t ^j − E _t ^k
dt + 1 N

N

X

k=1

P E _t ^j − X _t ^k
dt,

in cui X t ⁱ rappresenta la posizione della i-esima cellula tumorale al tempo t e E t ^j

la posizione della j-esima cellula epiteliale al tempo t. Simuliamo il modello col software Matlab e generiamo a tempi diversi le congurazioni delle cellule del tu- more. Osserviamo che le congurazioni generate a tempi diversi sono quelle che ci aspettavamo osservando le immagini biologiche delle diverse fasi del carcinoma duttale.

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