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1. f ` e continua in (0, 0); ∂f ∂y (0, 0) = 0, ma ∂f ∂x (0, 0) non esiste, quindi non ` e differenziabile in (0, 0).

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(1)

ANALISI MATEMATICA II- 3 SETTEMBRE 2014 - C.d.L.: EDIQQ, EDILMU.

Il numero del compito ` e dato dall’intero sottratto a β nell’esercizio 6.

COMPITO 1

1. f ` e continua in (0, 0); ∂f ∂y (0, 0) = 0, ma ∂f ∂x (0, 0) non esiste, quindi non ` e differenziabile in (0, 0).

2. (0, 0), ( −1, 0), (1, 0) sono gli unici punti stazionari e sono tutti punti di sella.

3. 1/2 4. 2

5. Per α < 0 f n converge puntualmente ed uniformemente a f (x) = 0 in I = [0, 7]; per α = 0 f n converge (solo) puntualmente in I = [0, 7] a f (x) = 0 per 0 ≤ x < 7, f(7) = 1 e converge uniformemente in ogni intervallo [0, b] con 0 < b < 7; per α > 0 f n converge (solo) puntualmente in I = [0, 7[ a f (x) = 0 e converge uniformemente in ogni intervallo [0, b] con 0 < b < 7.

6. raggio 7 se β = 1 (e converge uniformemente in [0, b] con 0 < b < 14), ∞ se β > 1, 0 se β < 1.

Ponendo t = x −7 7 , applicando, ad esempio, il teorema di integrazione per serie s(t) = e t − 1.

7. a 0 = 3 ( 1 − π 2 )

, a 1 = 3( π 2 − 1 2 ), b 1 = 0, S( 5 2 π) = 3 2 .

8. f (t, y) = y

2

1 +2 ` e C 1 (R 2 ) e sublineare, quindi esistenza ed unicit` a locali e globali. Non ci sono soluzioni stazionarie. Le soluzioni u sono sempre monotone crescenti, concave per t > t ∗ (con u(t ∗ ) = 0) convesse per t < t ∗ . Poich´ e l’intervallo massimale di esistenza ` e tutto R, non ci sono asintoti verticali. Poich´ e lim t →±∞ u(t) = ±∞ non ci sono asintoti orizzontali. Non ci sono nemmeno asintoti obliqui, perch´ e lim t →±∞ u(t)/t = lim t →±∞ u ′ (t) = 0 (comportamento deducibile anche dalla concavit` a).

COMPITO 2

1. f ` e continua in (0, 0); ∂f ∂y (0, 0) = 0, ma ∂f ∂x (0, 0) non esiste, quindi non ` e differenziabile in (0, 0).

2. (0, 0), ( −1, 0), (1, 0) sono gli unici punti stazionari e sono tutti punti di sella.

3. 1/3 4. 3

5. Per α < 0 f n converge puntualmente ed uniformemente a f (x) = 0 in I = [0, 6]; per α = 0 f n converge (solo) puntualmente in I = [0, 6] a f (x) = 0 per 0 ≤ x < 6, f(6) = 1 e converge uniformemente in ogni intervallo [0, b] con 0 < b < 6; per α > 0 f n converge (solo) puntualmente in I = [0, 6[ a f (x) = 0 e converge uniformemente in ogni intervallo [0, b] con 0 < b < 6.

6. raggio 6 se β = 2 (e converge uniformemente in [0, b] con 0 < b < 12), ∞ se β > 2, 0 se β < 2.

Ponendo t = x −6 6 , applicando, ad esempio, il teorema di integrazione per serie s(t) = e t − 1.

7. a 0 = 5 ( 1 − π 2 )

, a 1 = 5( π 2 − 1 2 ), b 1 = 0, S( 5 2 π) = 5 2 .

8. f (t, y) = y

2

1 +3 ` e C 1 ( R 2 ) e sublineare, quindi esistenza ed unicit` a locali e globali. Non ci sono

soluzioni stazionarie. Le soluzioni u sono sempre monotone crescenti, concave per t > t ∗ (con

u(t ∗ ) = 0) convesse per t < t ∗ . Poich´ e l’intervallo massimale di esistenza ` e tutto R, non ci

sono asintoti verticali. Poich´ e lim t →±∞ u(t) = ±∞ non ci sono asintoti orizzontali. Non ci

sono nemmeno asintoti obliqui, perch´ e lim t →±∞ u(t)/t = lim t →±∞ u ′ (t) = 0 (comportamento

deducibile anche dalla concavit` a).

(2)

COMPITO 3

1. f ` e continua in (0, 0); ∂f ∂y (0, 0) = 0, ma ∂f ∂x (0, 0) non esiste, quindi non ` e differenziabile in (0, 0).

2. (0, 0), (−1, 0), (1, 0) sono gli unici punti stazionari e sono tutti punti di sella.

3. 1/4 4. 4

5. Per α < 0 f n converge puntualmente ed uniformemente a f (x) = 0 in I = [0, 5]; per α = 0 f n converge (solo) puntualmente in I = [0, 5] a f (x) = 0 per 0 ≤ x < 5, f(5) = 1 e converge uniformemente in ogni intervallo [0, b] con 0 < b < 5; per α > 0 f n converge (solo) puntualmente in I = [0, 5[ a f (x) = 0 e converge uniformemente in ogni intervallo [0, b] con 0 < b < 5.

6. raggio 5 se β = 3 (e converge uniformemente in [0, b] con 0 < b < 10), ∞ se β > 3, 0 se β < 3.

Ponendo t = x −5 5 , applicando, ad esempio, il teorema di integrazione per serie s(t) = e t − 1.

7. a 0 = 7 ( 1 − π 2 )

, a 1 = 7( π 2 − 1 2 ), b 1 = 0, S( 5 2 π) = 7 2 .

8. f (t, y) = y

2

1 +4 ` e C 1 ( R 2 ) e sublineare, quindi esistenza ed unicit` a locali e globali. Non ci sono soluzioni stazionarie. Le soluzioni u sono sempre monotone crescenti, concave per t > t ∗ (con u(t ∗ ) = 0) convesse per t < t ∗ . Poich´ e l’intervallo massimale di esistenza ` e tutto R, non ci sono asintoti verticali. Poich´ e lim t→±∞ u(t) = ±∞ non ci sono asintoti orizzontali. Non ci sono nemmeno asintoti obliqui, perch´ e lim t →±∞ u(t)/t = lim t →±∞ u ′ (t) = 0 (comportamento deducibile anche dalla concavit` a).

COMPITO 4

1. f ` e continua in (0, 0); ∂f ∂y (0, 0) = 0, ma ∂f ∂x (0, 0) non esiste, quindi non ` e differenziabile in (0, 0).

2. (0, 0), ( −1, 0), (1, 0) sono gli unici punti stazionari e sono tutti punti di sella.

3. 1/5 4. 5

5. Per α < 0 f n converge puntualmente ed uniformemente a f (x) = 0 in I = [0, 4]; per α = 0 f n converge (solo) puntualmente in I = [0, 4] a f (x) = 0 per 0 ≤ x < 4, f(4) = 1 e converge uniformemente in ogni intervallo [0, b] con 0 < b < 4; per α > 0 f n converge (solo) puntualmente in I = [0, 4[ a f (x) = 0 e converge uniformemente in ogni intervallo [0, b] con 0 < b < 4.

6. raggio 4 se β = 4 (e converge uniformemente in [0, b] con 0 < b < 8), ∞ se β > 4, 0 se β < 4.

Ponendo t = x −4 4 , applicando, ad esempio, il teorema di integrazione per serie s(t) = e t − 1.

7. a 0 = 9 ( 1 − π 2 )

, a 1 = 9( π 2 − 1 2 ), b 1 = 0, S( 5 2 π) = 9 2 .

8. f (t, y) = y

2

1 +5 ` e C 1 ( R 2 ) e sublineare, quindi esistenza ed unicit` a locali e globali. Non ci sono soluzioni stazionarie. Le soluzioni u sono sempre monotone crescenti, concave per t > t ∗ (con u(t ∗ ) = 0) convesse per t < t ∗ . Poich´ e l’intervallo massimale di esistenza ` e tutto R, non ci sono asintoti verticali. Poich´ e lim t →±∞ u(t) = ±∞ non ci sono asintoti orizzontali. Non ci sono nemmeno asintoti obliqui, perch´ e lim t →±∞ u(t)/t = lim t →±∞ u ′ (t) = 0 (comportamento deducibile anche dalla concavit` a).

COMPITO 5

(3)

1. f ` e continua in (0, 0); ∂f ∂y (0, 0) = 0, ma ∂f ∂x (0, 0) non esiste, quindi non ` e differenziabile in (0, 0).

2. (0, 0), ( −1, 0), (1, 0) sono gli unici punti stazionari e sono tutti punti di sella.

3. 1/6 4. 6

5. Per α < 0 f n converge puntualmente ed uniformemente a f (x) = 0 in I = [0, 3]; per α = 0 f n converge (solo) puntualmente in I = [0, 3] a f (x) = 0 per 0 ≤ x < 3, f(3) = 1 e converge uniformemente in ogni intervallo [0, b] con 0 < b < 3; per α > 0 f n converge (solo) puntualmente in I = [0, 3[ a f (x) = 0 e converge uniformemente in ogni intervallo [0, b] con 0 < b < 3.

6. raggio 3 se β = 5 (e converge uniformemente in [0, b] con 0 < b < 6), ∞ se β > 5, 0 se β < 5.

Ponendo t = x −3 3 , applicando, ad esempio, il teorema di integrazione per serie s(t) = e t − 1.

7. a 0 = 11 ( 1 − π 2 )

, a 1 = 11( π 2 − 1 2 ), b 1 = 0, S( 5 2 π) = 11 2 .

8. f (t, y) = y

2

1 +6 ` e C 1 ( R 2 ) e sublineare, quindi esistenza ed unicit` a locali e globali. Non ci sono soluzioni stazionarie. Le soluzioni u sono sempre monotone crescenti, concave per t > t ∗ (con u(t ∗ ) = 0) convesse per t < t ∗ . Poich´ e l’intervallo massimale di esistenza ` e tutto R, non ci sono asintoti verticali. Poich´ e lim t →±∞ u(t) = ±∞ non ci sono asintoti orizzontali. Non ci sono nemmeno asintoti obliqui, perch´ e lim t →±∞ u(t)/t = lim t →±∞ u ′ (t) = 0 (comportamento deducibile anche dalla concavit` a).

COMPITO 6

1. f ` e continua in (0, 0); ∂f ∂y (0, 0) = 0, ma ∂f ∂x (0, 0) non esiste, quindi non ` e differenziabile in (0, 0).

2. (0, 0), ( −1, 0), (1, 0) sono gli unici punti stazionari e sono tutti punti di sella.

3. 1/7 4. 7

5. Per α < 0 f n converge puntualmente ed uniformemente a f (x) = 0 in I = [0, 2]; per α = 0 f n converge (solo) puntualmente in I = [0, 2] a f (x) = 0 per 0 ≤ x < 2, f(2) = 1 e converge uniformemente in ogni intervallo [0, b] con 0 < b < 2; per α > 0 f n converge (solo) puntualmente in I = [0, 2[ a f (x) = 0 e converge uniformemente in ogni intervallo [0, b] con 0 < b < 2.

6. raggio 2 se β = 6 (e converge uniformemente in [0, b] con 0 < b < 4), ∞ se β > 6, 0 se β < 6.

Ponendo t = x −2 2 , applicando, ad esempio, il teorema di integrazione per serie s(t) = e t − 1.

7. a 0 = 13 ( 1 − π 2 )

, a 1 = 13( π 2 − 1 2 ), b 1 = 0, S( 5 2 π) = 13 2 .

8. f (t, y) = y

2

1 +7 ` e C 1 ( R 2 ) e sublineare, quindi esistenza ed unicit` a locali e globali. Non ci sono

soluzioni stazionarie. Le soluzioni u sono sempre monotone crescenti, concave per t > t ∗ (con

u(t ∗ ) = 0) convesse per t < t ∗ . Poich´ e l’intervallo massimale di esistenza ` e tutto R, non ci

sono asintoti verticali. Poich´ e lim t →±∞ u(t) = ±∞ non ci sono asintoti orizzontali. Non ci

sono nemmeno asintoti obliqui, perch´ e lim t →±∞ u(t)/t = lim t →±∞ u ′ (t) = 0 (comportamento

deducibile anche dalla concavit` a).

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