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1. Continua se β < 52 ; ∂f ∂x (0, 0) = ∂f ∂y (0, 0) = 0 se β < 2; ∂f ∂x (0, 0) = ∂f ∂y (0, 0) = 1 se β = 2.

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(1)

ANALISI MATEMATICA II- 2 luglio 2010 . Il numero del compito ` e dato dall’intero sottratto a β nell’esponente di x 2 + y 2 nell’esercizio 1

COMPITO 1

1. Continua se β < 5 2 ; ∂f ∂x (0, 0) = ∂f ∂y (0, 0) = 0 se β < 2; ∂f ∂x (0, 0) = ∂f ∂y (0, 0) = 1 se β = 2.

2. ((2k + 1)π, 0) stazionari; tutti punti di sella.

3. − 3 4 π.

4. 2π

5. raggio e 7 indipendente da α, converge anche in −e 7 se α < 1.

6. t(1 − e −y

2

)(y − 2) `e C 1 e sublineare, esistenza ed unicit` a globali; y = 2 e y = 0 stazionarie. Le soluzioni sono pari. Se y 0 > 2 crescente per t > 0; se 0 < y 0 < 2 o y 0 < 0 decrescente per t > 0.

Non ci sono asintoti verticali; se 0 < y 0 < 2 asintoto orizzontale y = 0, non ci sono asintoti obliqui.

7. y(t) = 2t 7 .

8. a 0 = 1 2 , S(2m) = 0, S(2m + 1 2 ) = − 1 2 , S(2m + 1) = 1.

COMPITO 2

1. Continua se β < 7 2 ; ∂f ∂x (0, 0) = ∂f ∂y (0, 0) = 0 se β < 3; ∂f ∂x (0, 0) = ∂f ∂y (0, 0) = 1 se β = 3.

2. ((2k + 1)π, 0) stazionari; tutti punti di sella.

3. − 5 4 π.

4. 3π

5. raggio e 6 indipendente da α, converge anche in −e 6 se α < 2.

6. t(1 − e −y

2

)(y − 3) `e C 1 e sublineare, esistenza ed unicit` a globali; y = 3 e y = 0 stazionarie. Le soluzioni sono pari. Se y 0 > 3 crescente per t > 0; se 0 < y 0 < 3 o y 0 < 0 decrescente per t > 0.

Non ci sono asintoti verticali; se 0 < y 0 < 3 asintoto orizzontale y = 0, non ci sono asintoti obliqui.

7. y(t) = 2t 6 .

8. a 0 = 3 2 , S(2m) = 0, S(2m + 1 2 ) = − 1 2 , S(2m + 1) = 5 2 .

COMPITO 3

1. Continua se β < 9 2 ; ∂f ∂x (0, 0) = ∂f ∂y (0, 0) = 0 se β < 4; ∂f ∂x (0, 0) = ∂f ∂y (0, 0) = 1 se β = 4.

2. ((2k + 1)π, 0) stazionari; tutti punti di sella.

3. − 7 4 π.

4. 4π

5. raggio e 5 indipendente da α, converge anche in −e 5 se α < 3.

(2)

6. t(1 − e −y

2

)(y − 4) `e C 1 e sublineare, esistenza ed unicit` a globali; y = 4 e y = 0 stazionarie. Le soluzioni sono pari. Se y 0 > 4 crescente per t > 0; se 0 < y 0 < 4 o y 0 < 0 decrescente per t > 0.

Non ci sono asintoti verticali; se 0 < y 0 < 4 asintoto orizzontale y = 0, non ci sono asintoti obliqui.

7. y(t) = 2t 5 .

8. a 0 = 5 2 , S(2m) = 0, S(2m + 1 2 ) = − 1 2 , S(2m + 1) = 4.

COMPITO 4

1. Continua se β < 11 2 ; ∂f ∂x (0, 0) = ∂f ∂y (0, 0) = 0 se β < 5; ∂f ∂x (0, 0) = ∂f ∂y (0, 0) = 1 se β = 5.

2. ((2k + 1)π, 0) stazionari; tutti punti di sella.

3. − 9 4 π.

4. 5π

5. raggio e 4 indipendente da α, converge anche in −e 4 se α < 4.

6. t(1 − e −y

2

)(y − 5) `e C 1 e sublineare, esistenza ed unicit` a globali; y = 5 e y = 0 stazionarie. Le soluzioni sono pari. Se y 0 > 5 crescente per t > 0; se 0 < y 0 < 5 o y 0 < 0 decrescente per t > 0.

Non ci sono asintoti verticali; se 0 < y 0 < 5 asintoto orizzontale y = 0, non ci sono asintoti obliqui.

7. y(t) = 2t 4 .

8. a 0 = 7 2 , S(2m) = 0, S(2m + 1 2 ) = − 1 2 , S(2m + 1) = 11 2 .

COMPITO 5

1. Continua se β < 13 2 ; ∂f ∂x (0, 0) = ∂f ∂y (0, 0) = 0 se β < 6; ∂f ∂x (0, 0) = ∂f ∂y (0, 0) = 1 se β = 6.

2. ((2k + 1)π, 0) stazionari; tutti punti di sella.

3. − 11 4 π.

4. 6π

5. raggio e 3 indipendente da α, converge anche in −e 3 se α < 5.

6. t(1 − e −y

2

)(y − 6) `e C 1 e sublineare, esistenza ed unicit` a globali; y = 6 e y = 0 stazionarie. Le soluzioni sono pari. Se y 0 > 6 crescente per t > 0; se 0 < y 0 < 6 o y 0 < 0 decrescente per t > 0.

Non ci sono asintoti verticali; se 0 < y 0 < 6 asintoto orizzontale y = 0, non ci sono asintoti obliqui.

7. y(t) = 2t 3 .

8. a 0 = 9 2 , S(2m) = 0, S(2m + 1 2 ) = − 1 2 , S(2m + 1) = 7.

COMPITO 6

1. Continua se β < 15 2 ; ∂f ∂x (0, 0) = ∂f ∂y (0, 0) = 0 se β < 7; ∂f ∂x (0, 0) = ∂f ∂y (0, 0) = 1 se β = 7.

2. ((2k + 1)π, 0) stazionari; tutti punti di sella.

(3)

3. − 13 4 π.

4. 7π

5. raggio e 2 indipendente da α, converge anche in −e 2 se α < 6.

6. t(1 − e −y

2

)(y − 7) `e C 1 e sublineare, esistenza ed unicit` a globali; y = 7 e y = 0 stazionarie. Le soluzioni sono pari. Se y 0 > 7 crescente per t > 0; se 0 < y 0 < 7 o y 0 < 0 decrescente per t > 0.

Non ci sono asintoti verticali; se 0 < y 0 < 7 asintoto orizzontale y = 0, non ci sono asintoti obliqui.

7. y(t) = 2t 2 .

8. a 0 = 11 2 , S(2m) = 0, S(2m + 1 2 ) = − 1 2 , S(2m + 1) = 17 2 .

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