7b - Scostamenti medi e scarto quadratico medio

Scostamenti medi

Gli scostamenti medi sono indici basati sulla differenza tra i valori della distribuzione e una media.

Poichè le differenze tra i valori e una media sono positive e negative, tipicamente vengono considerate in valore assoluto o elevate al quadrato.

Si possono calcolare solo se il carattere è quantitativo.

Scostamenti medi

Gli scostamenti medi differiscono a seconda del trattamento delle differenze e a seconda della media utilizzata. I più comuni sono

Tipo di media Mediana Media

aritmetica Trattamento

differenze

valore assoluto scostamento medio assoluto dalla mediana

scostamento medio assoluto dalla media

elevamento al quadrato - scarto

quadratico medio

Scostamento medio dalla mediana

∑ ⁻

= x Me

N

S

1

i i

Me

x Me f

S = ∑ − ⋅

i i

Me

x Me n

N

S = 1 ∑ − ⋅

semplice

ponderato

Scostamento medio dalla mediana

Ricordiamo la tabella relativa agli 11 vini

«Dolcetto» presenti nel dataset Altroconsumo, descritti secondo tre caratteri.

Denominazione Analisi tot Titolo alcolometrico (% vol)

Zuccheri riduttori (g/l)

Den Val_chim Grado Chim1

Dolcetto1 7 ^12.50 3.4

Dolcetto2 9 ^13.00 2.8

Dolcetto3 8 12.5 2.2

Dolcetto4 8 12.5 2.7

Dolcetto5 9 13 2.5

Dolcetto6 9 12.5 2.1

Dolcetto7 8 12.5 2.2

Dolcetto8 9 12 2.3

Dolcetto9 8 12 5.7

Scostamento medio dalla mediana

Nelle lezioni precedenti avevamo calcolato la mediana del carattere Grado, che era risultata pari a Me=12.5

Denominazione Analisi tot Titolo alcolometrico (% vol)

Zuccheri riduttori (g/l)

Den Val_chim Grado Chim1

Dolcetto1 7 ^12.50 3.4

Dolcetto2 9 ^13.00 2.8

Dolcetto3 8 12.5 2.2

Dolcetto4 8 12.5 2.7

Dolcetto5 9 13 2.5

Dolcetto6 9 12.5 2.1

Dolcetto7 8 12.5 2.2

Scostamento medio dalla mediana

Ora calcoliamo lo scostamento medio dalla mediana per il carattere Grado.

Denominazione Titolo alcolometrico (% vol)

Den Grado Grado - Me |Grado - Me|

Dolcetto1 12.5 0 0

Dolcetto2 13 0.5 0.5

Dolcetto3 12.5 0 0

Dolcetto4 12.5 0 0

Dolcetto5 13 0.5 0.5

Dolcetto6 12.5 0 0

Dolcetto7 12.5 0 0

Dolcetto8 12 -0.5 0.5

Dolcetto9 12 -0.5 0.5

Dolcetto10 12.5 0 0

Dolcetto11 13.5 1 1

Scostamento medio dalla mediana

Ora calcoliamo lo scostamento medio dalla mediana per il carattere Grado.

Denominazione Titolo alcolometrico (% vol)

Den Grado Grado - Me |Grado - Me|

Dolcetto1 12.5 0 0

Dolcetto2 13 0.5 0.5

Dolcetto3 12.5 0 0

Dolcetto4 12.5 0 0

Dolcetto5 13 0.5 0.5

Dolcetto6 12.5 0 0

Dolcetto7 12.5 0 0

Dolcetto8 12 -0.5 0.5

Dolcetto9 12 -0.5 0.5

Somma = 3

Denominazione Titolo alcolometrico (% vol)

Den Grado Grado - Me |Grado - Me|

Dolcetto1 12.5 0 0

Dolcetto2 13 0.5 0.5

Dolcetto3 12.5 0 0

Dolcetto4 12.5 0 0

Dolcetto5 13 0.5 0.5

Dolcetto6 12.5 0 0

Dolcetto7 12.5 0 0

Dolcetto8 12 -0.5 0.5

Dolcetto9 12 -0.5 0.5

Dolcetto10 12.5 0 0

Dolcetto11 13.5 1 1

Somma = 3

Scostamento medio dalla mediana

Ora calcoliamo lo scostamento medio dalla mediana per il carattere Grado.

2727 .

11 0 Me 3

N x

S_Me = 1 ∑ _i − = =

Scostamento medio dalla mediana

Se disponiamo della distribuzione di frequenze per un carattere quantitativo raggruppato in classi, lo scostamento medio dalla mediana si calcola facendo riferimento alla formula ponderata.

Scostamento medio dalla mediana

Ricordiamo l’esempio della distribuzione del carattere SO₂ totale in mg/l (Chim5), per il quale la mediana era risultata pari a Me=73.7358

Chim5 ni fi

20 |- 40 mg/l 15 0.053

40 |- 80 mg/l 150 0.530

80 |- 100 mg/l 76 0.269

100 |- 120 mg/l 32 0.113

120 |- 150 mg/l 10 0.035

Totale 283 1.000

Scostamento medio dalla mediana

Ricordiamo l’esempio della distribuzione del carattere SO₂ totale in mg/l (Chim5), per il quale la mediana era risultata pari a Me=73.7358

Chim5 vc |vc - Me| |vc - Me|∙ni |vc - Me|∙fi ni fi

20 |- 40 mg/l 30 43.7358 656.0370 2.3182 15 0.053

40 |- 80 mg/l 60 13.7358 2060.3700 7.2805 150 0.530

80 |- 100 mg/l 90 16.2642 1236.0792 4.3678 76 0.269

100 |- 120 mg/l 100 26.2642 840.4544 2.9698 32 0.113

120 |- 150 mg/l 135 61.2642 612.6420 2.1648 10 0.035

Totale 5405.5826 19.1010 283 1.000

Scostamento medio dalla mediana

Ricordiamo l’esempio della distribuzione del carattere SO₂ totale in mg/l (Chim5), per il quale la mediana era risultata pari a Me=73.7358

Chim5 vc |vc - Me| |vc - Me|∙ni |vc - Me|∙fi ni fi

20 |- 40 mg/l 30 43.7358 656.0370 2.3182 15 0.053

40 |- 80 mg/l 60 13.7358 2060.3700 7.2805 150 0.530

80 |- 100 mg/l 90 16.2642 1236.0792 4.3678 76 0.269

100 |- 120 mg/l 100 26.2642 840.4544 2.9698 32 0.113

120 |- 150 mg/l 135 61.2642 612.6420 2.1648 10 0.035

Totale 5405.5826 19.1010 283 1.000

Scostamento medio dalla mediana

Ricordiamo l’esempio della distribuzione del carattere SO₂ totale in mg/l (Chim5), per il quale la mediana era risultata pari a Me=73.7358

Chim5 vc |vc - Me| |vc - Me|∙ni |vc - Me|∙fi ni fi

20 |- 40 mg/l 30 43.7358 656.0370 2.3182 15 0.053

40 |- 80 mg/l 60 13.7358 2060.3700 7.2805 150 0.530

80 |- 100 mg/l 90 16.2642 1236.0792 4.3678 76 0.269

100 |- 120 mg/l 100 26.2642 840.4544 2.9698 32 0.113

120 |- 150 mg/l 135 61.2642 612.6420 2.1648 10 0.035

Totale 5405.5826 19.1010 283 1.000

Scostamento medio dalla mediana

Chim5 vc |vc - Me| |vc - Me|∙ni |vc - Me|∙fi ni fi

20 |- 40 mg/l 30 43.7358 656.0370 2.3182 15 0.053

40 |- 80 mg/l 60 13.7358 2060.3700 7.2805 150 0.530

80 |- 100 mg/l 90 16.2642 1236.0792 4.3678 76 0.269

100 |- 120 mg/l 100 26.2642 840.4544 2.9698 32 0.113

120 |- 150 mg/l 135 61.2642 612.6420 2.1648 10 0.035

Totale 5405.5826 19.1010 283 1.000

1010 .

19 f

Me x

S_Me =

∑

1010 .

283 19

5826 .

n 5405 Me

N x

S_Me = 1

∑

Scostamento medio dalla media

Lo scostamento medio dalla media (aritmetica) si calcola in modo del tutto analogo.

L’unica differenza è che gli scarti vengono calcolati dalla media aritmetica anzichè dalla mediana.

Scostamento medio dalla media

∑ ⁻

= x M

N

S

1

i i

M

x M f

S = ∑ − ⋅

i i

M

x M n

N

S = 1 ∑ − ⋅

semplice

ponderato

Scostamento medio dalla media

L’idea di base è molto chiara da un punto di vista grafico. Ricordiamo l’esempio delle due aziende proprietarie di terreni.

Azienda 1

terreno 1 4

terreno 2 3

terreno 3 4.2

2.8

Azienda 2

terreno 1 7

terreno 2 6.5

terreno 3 0.3

0.2

Scostamento medio dalla media

media

Scostamento medio dalla media

media

Scostamento medio dalla media

Calcolare lo scostamento medio dalla media equivale a fare la media delle lunghezze dei segmenti tratteggiati.

Scostamento medio dalla media

media=3.5

0.5

0.5

0.7

0.7 6

. 4 0

4 . M 2

N x

S_M = 1

∑

Scostamento medio dalla media

media=3.5

3.5 3

3.2 3.3 25

. 4 3

M 13 N x

S_M = 1

∑

Scarto quadratico medio

Lo scarto quadratico medio (o deviazione standard) è sicuramente il più noto ed utilizzato indice di variabilità per caratteri quantitativi.

Il concetto su cui si basa è analogo allo scostamento medio dalla media, solo che le lunghezze dei segmenti tratteggiati vengono elevate al quadrato.

Scarto quadratico medio o deviazione standard

( )

∑ ⁻

=

σ x

M

N

1

( )

∑ ⁻

=

σ x

M

f

( )

∑ ⁻

=

σ x

M

n

N

1

semplice

ponderato

Scarto quadratico medio o deviazione standard

media=3.5

0.25

0.25 0.49

0.49

( ) 0.37 0.6083

4 48 . M 1

N x

1 2

i − = = =

=

σ ∑

Scarto quadratico medio o deviazione standard

media=3.5

12.25

9

10.24

10.89

( )

2550 .

3 595 .

10

4 38 . M 42

N x

1 ²

i

=

=

=

−

=

σ ∑

Scarto quadratico medio o deviazione standard

Calcoliamo lo scarto quadratico medio della distribuzione dei prezzi dei 283 vini.

Prezzo ni fi

1 |− 3 € 37 0.131

3 |− 5 € 100 0.353

5 |− 7 € 62 0.219

7 |− 9 € 39 0.138

9 |− 11 € 15 0.053

11 |− 13 € 14 0.049

13 |− 15 € 12 0.042

15 |− 17 € 3 0.011

17 |− 19 € 1 0.004

Prezzo vc ni vc∙ni (vc-M)^2∙ni

1 |- 3 € 2 37 74 604.617

3 |- 5 € 4 100 400 417.140

5 |- 7 € 6 62 372 0.111

7 |- 9 € 8 39 312 149.456

9 |- 11 € 10 15 150 234.939

11 |- 13 € 12 14 168 496.902

13 |- 15 € 14 12 168 759.881

15 |- 17 € 16 3 48 297.461

17 |- 19 € 18 1 18 142.984

Totale 283 1710 3103.491

Scarto quadratico medio o deviazione standard

Prima di tutto calcoliamo la media aritmetica.

0424 .

283 6 M= 1710=

Prezzo vc ni vc∙ni (vc-M)^2∙ni

1 |- 3 € 2 37 74 604.617

3 |- 5 € 4 100 400 417.140

5 |- 7 € 6 62 372 0.111

7 |- 9 € 8 39 312 149.456

9 |- 11 € 10 15 150 234.939

11 |- 13 € 12 14 168 496.902

13 |- 15 € 14 12 168 759.881

15 |- 17 € 16 3 48 297.461

17 |- 19 € 18 1 18 142.984

Scarto quadratico medio o deviazione standard

Poi possiamo calcolare lo scarto quadratico medio.

Prezzo vc ni vc∙ni (vc-M)^2∙ni

1 |- 3 € 2 37 74 604.617

3 |- 5 € 4 100 400 417.140

5 |- 7 € 6 62 372 0.111

7 |- 9 € 8 39 312 149.456

9 |- 11 € 10 15 150 234.939

11 |- 13 € 12 14 168 496.902

13 |- 15 € 14 12 168 759.881

15 |- 17 € 16 3 48 297.461

17 |- 19 € 18 1 18 142.984

Totale 283 1710 3103.491

Scarto quadratico medio o deviazione standard

Poi possiamo calcolare lo scarto quadratico medio.

( )

3116 .

3 9664

. 10

283

491 .

n 3103 M

N x 1

i 2 i

=

=

=

−

=

σ

∑

Il dataset: caratteri relativi a giudizi sensoriali

Sat col Rifl viol Rifl Gran Int olf Flor Frutt Spez Veget Strutt Perc sferica Acid Amaro Astring Ricc arom Persist ATTRAENZA FRANCHEZZA OLFATTIVA QUALITA’ OLFATTIVA ARMONIA GUSTATIVA FRANCHEZZA RETROLF QUALITA’ RETROLF GIUDIZIO GLOBALE

V1 V2 V3 O1 O2 O3 O4 O5 G1 G2 G3 G4 G5 GO PAI ATT FO QO AG FRO QRO Val_fin 7 6 2 7 4 5.5 4 3 6.5 5.5 4 2.5 4.5 7 6.5 7.5 6.5 6.5 6.5 7 7 6.5

8 7 1.5 7 4.5 6 4 3 7 6.5 3 2 5 7 7 7.5 7 7 6.5 7 7 7

7 6 4 7 3.5 6 4 3 7 6.5 3 2 4 7 6.5 7 7 7 7 7 7 7

7 6.5 1 7 4.5 5 3 3 6 6.5 4 1.5 3.5 6 6 7 6.5 6.5 7 7 6.5 7 7 6.5 1.5 7 4 6.5 4 4 6.5 6 4 3 3.5 6 6.5 7 7 7 6.5 6 6 6 8 6.5 3 7.5 4 6 4.5 3 7 6 4 2.5 5 6.5 7 8 7 7 6.5 7 6.5 6.5

8 7 2 7 3 5 3 4 6 6 4 3 3 6 6 7 6 7 7 7 7 7

8 7 3 6 4 5 3 5 7 7 4 3 4 6 7 7 6 7 6 7 6 7

8 7 2 7 4 5 5 2 7 6 5 3 4 6 7 7 6 7 7 7 7 7

7 4 4 7 4 5 4 3 7 6 3 3 4 6 6 7 7 7 6 7 7 6

7 3.5 5 7 3.5 5.5 4.5 4 6 6 3 2.5 5 7 7 7 6 6.5 7 6.5 6.5 6.5 6 4.5Giudizi 4visivi 7 2 Giudizi 5 4 olfattivi 4 6.5 6 Giudizi 3 3gustativi 4 6.5Normalmente si 6 6.5 6 6 6 6 6 6

chiede di esprimere un giudizio su una scala con un numero dispari di modalità (ad es. da 1 a 9)

Profilo sensoriale medio

Nelle lezioni precedenti avevamo calcolato le medie dei giudizi sensoriali (leggera forzatura)

Sat col Rifl viol Rifl Gran Int olf Flor Frutt Spez Veget Strutt Perc sferica Acid Amaro Astring

V1 V2 V3 O1 O2 O3 O4 O5 G1 G2 G3 G4 G5

1 8 8 2 7 3 3 6 5 7 5 2 1 4

2 6 6 4 9 6 4 5 5 8 8 1 1 1

3 8 7 3 9 6 3 5 4 6 7 1 1 4

4 7 5 5 8 6 4 5 5 5 6 3 3 1

5 9 5 4 7 3 3 4 2 7 5 1 3 3

6 8 6 2 7 4 2 3 3 6 5 4 1 2

7 6 5 4 9 3 2 6 3 7 6 4 1 1

8 7 9 2 8 2 4 2 3 6 8 3 4 1

9 5 8 3 8 4 4 5 6 7 6 4 2 2

10 7 9 1 9 2 5 5 3 5 6 3 1 3

11 9 5 3 6 5 2 3 2 5 5 3 2 3

12 7 6 5 7 4 4 2 2 5 6 3 3 3

13 6 5 4 9 6 2 2 4 9 6 1 2 1

Profilo sensoriale medio

Quindi utilizzando le medie avevamo tracciato un grafico radiale per rappresentare il profilo sensoriale medio del vino

Sat col Rifl viol Rifl Gran Int olf Flor Frutt Spez Veget Strutt Perc sferica Acid Amaro Astring

media 7.15 6.46 3.23 7.92 4.15 3.23 4.08 3.62 6.38 6.08 2.54 1.92 2.23

Profilo sensoriale medio

Profilo sensoriale medio e sua variabilità

Anche in questo caso ha senso valutare non solo la media dei giudizi, ma anche la loro variabilità. Ancora una volta, trattandosi di caratteri qualitativi ordinali, calcolare lo scarto quadratico medio è una forzatura, ma spesso è ammessa.

Sat col Rifl viol Rifl Gran Int olf Flor Frutt Spez Veget Strutt Perc sferica Acid Amaro Astring

media ^{7.15 6.46 3.23 7.92 4.15 3.23 4.08 3.62 6.38 6.08 2.54 1.92 2.23} sqm ^{1.17 1.50 1.19 1.00 1.46 0.97 1.44 1.27 1.21 1.00 1.15 1.00 1.12}

Profilo sensoriale medio e sua variabilità

Spesso si usa rappresentare le oscillazioni attorno alla media calcolando gli indici

media - σ media + σ

Sat col Rifl viol Rifl Gran Int olf Flor Frutt Spez Veget Strutt Perc sferica Acid Amaro Astring

media ^{7.15 6.46 3.23 7.92 4.15 3.23 4.08 3.62 6.38 6.08 2.54 1.92 2.23} sqm ^{1.17 1.50 1.19 1.00 1.46 0.97 1.44 1.27 1.21 1.00 1.15 1.00 1.12}

media + sqm 8.32 7.96 4.42 8.92 5.61 4.20 5.52 4.89 7.60 7.07 3.69 2.92 3.35

media - sqm 5.99 4.96 2.04 6.93 2.69 2.26 2.64 2.34 5.17 5.08 1.39 0.93 1.11

Profilo sensoriale medio e sua variabilità

Spesso si usa rappresentare le oscillazioni attorno alla media calcolando gli indici

media - σ media + σ

Sat col Rifl viol Rifl Gran Int olf Flor Frutt Spez Veget Strutt Perc sferica Acid Amaro Astring

media ^{7.15 6.46 3.23 7.92 4.15 3.23 4.08 3.62 6.38 6.08 2.54 1.92 2.23} sqm ^{1.17 1.50 1.19 1.00 1.46 0.97 1.44 1.27 1.21 1.00 1.15 1.00 1.12}

media + sqm 8.32 7.96 4.42 8.92 5.61 4.20 5.52 4.89 7.60 7.07 3.69 2.92 3.35

Profilo sensoriale medio e sua variabilità

Il grafico radiale può essere rappresentato sovrapponendo due grafici:

quello relativo ai valori di media - σ quello relativo ai valori di media + σ

La fascia compresa tra i due profili mostra la variabilità dei singoli giudizi.

Profilo sensoriale medio e

sua variabilità