OSCILLAZIONI DEL FLUSSO
MODELLO NUMERICO
Negli esperimenti che si propongono di investigare le instabilità di un campo fluidodinamico ed i suoi eventuali effetti sui componenti strutturali, si fa ampio uso dell’analisi spettrale delle frequenze proprie di tali fenomeni. Poiché tali spettri sono caratterizzati dalla presenza di diversi picchi in corrispondenza dei fenomeni più significativi, diventa importante poterne discernere il tipo associato al particolare picco considerato. In un circuito di prova come quello di Centrospazio è fondamentale riuscire a discriminare tra quali siano le componenti in frequenza dovute ai fenomeni oggetto di indagine (v. Cap. 2) e quali quelle dovute alle caratteristiche intrinseche dell’impianto stesso (frequenze naturali). Il
modello presentato in questo capitolo ha proprio come obiettivo quello di fornire un rapido, semplice e versatile strumento di predizione di queste ultime. Rapido perché tradotto in un algoritmo eseguibile su di un qualsiasi personal computer, semplice perché richiede un esiguo numero di informazioni, per lo più di carattere geometrico; versatile perché facilmente riadattabile sia a nuove configurazioni dell’impianto, sia ad altri impianti dello stesso tipo.
7.1 Formulazione del problema
7.1.1 Generalità
Il modello si basa su di una trattazione quasi-monodimensionale delle oscillazioni periodiche di piccola ampiezza di un fluido incomprimibile all’interno di condotti rigidi. In particolare, in riferimento alla figura 7.1, si possono scrivere le equazioni di continuità e di conservazione della quantità di moto come segue:
Figura 7.1 dt V d V A A A V k dx g p p V V x x x λ ρ 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 − − − − = − =
∫
dove k rappresenta il fattore di perdita, ovvero
2 1 1 2 2 1 − = A V p p k ρ
e λ la lunghezza inerziale, ovvero
∫
= 2 1 1 x x A dx λ (= A lnel caso di un tubo diritto a sezione costante) ( 7.1a ) ( 7.1b )
( 7.2 )
Introducendo la teoria delle piccole perturbazioni, la portata e la pressione si possono scrivere come somma di una componente media stazionaria ed una componente oscillatoria: t i e V V V = + ˆ ω e p= p+ pˆeiωt
in cui (2π/ω) è il periodo delle oscillazioni. Sostituendo ora la (7.4) nelle (7.1), sottraendo la soluzione stazionaria e linearizzando le perturbazioni al primo ordine si ottiene: + − + = − λ ω ρ V i A A A V k Q p p 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 ˆ ˆ ˆ
La (7.5) suggerisce una analogia con il caso elettrico: se infatti si associa la caduta di potenziale alla differenza delle pressioni tra monte e valle e la corrente alla portata volumetrica che fluisce nel condotto, il termine
− + V A A A V k 2 1 2 2 2 1 1 1 ρ
è assimilabile ad una resistenza R, mentre
λ
1
è identificabile con una induttanza L, cosicché la (7.5) diventa
L i R Q p p − = + ω 1 2 1 ˆ ˆ ˆ
Adottando un formalismo più generale (valido anche nel caso comprimibile o per componenti che non siano dei semplici condotti), la (7.6) può essere riscritta nel modo seguente:
= ⇒ = + − = 1 1 2 2 1 2 1 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ V p G V p V V V L i R p p ω ( 7.4 ) ( 7.5 ) ( 7.6 ) ( 7.7 )
dove
(
)
− + = 1 0 1 R i L G ωè la matrice di trasferimento dinamica del condotto (o, in generale, del componente).
7.1.2 Determinazione del coefficiente di perdita k
Il valore del coefficiente di perdita k è una misura della caduta di pressione che si ha in un fluido quando questo attraversa un condotto, o più in generale un elemento, in cui è soggetto ad un’azione da parte delle forze di attrito viscoso alla parete. Per un gran numero di componenti, il calcolo del fattore di perdita è agevolato da una serie di tabelle, grafici ed espressioni empiriche:
Tubi a sezione circolare:
= D l f k
dove l è la lunghezza del condotto, D il diametro della sezione, f il coefficiente di attrito. Quest’ultimo è funzione del numero di Reynolds all’interno del condotto:
ν
uD
D =
Re
dove ν è la viscosità cinematica del fluido e della rugosità relativa eD :
D
e S
D
ε
=
dove εS è la rugosità della superficie
interna del tubo ( 7.8 )
( 7.9 )
( 7.10 )
Figura 7.2 – Diagramma di Moody per tubi a sezione circolare
Il valore di f viene solitamente determinato attraverso l’uso di diagrammi come quello di Moody rappresentato in figura 7.2 , oppure tramite delle espressioni empiriche come quella di Churchill:
12 1 2 3 12 1 Re 8 8 + + ⋅ = B A f con 16 9 . 0 27 . 0 Re 7 1 ln 457 . 2 ⋅ + ⋅ = D e A ( 7.12a ) ( 7.12b )
16 Re 37530 = B Raccordi e curve: eq D l f k =
Dove f è calcolato come nel caso precedente, mentre il termine (l/D)eq è
ricavato da tabelle.
Entrate e sbocchi:
Il valore di k viene di solito ricavato direttamente da tabelle in funzione del rapporto tra le aree a monte e valle.
7.1.3 Matrice di trasferimento dinamica di una pompa non
cavitante
Nel caso di una pompa non cavitante, si procede in maniera del tutto analoga a quanto visto al par. 7.1.1 . Infatti, assumendo che la pompa funzioni in regime stazionario, ovvero che i tempi caratteristici dei fenomeni naturali del sistema siano superiori ai tempi di residenza del fluido nella pompa, a partire dalle (2.11) e (2.12), introducendo la teoria delle piccole perturbazioni, si ottiene:
1 1 1 ˆ 1 ˆ V R AΩ T = φ φ φ ψ ρ ˆ ˆ ˆ 2 1 2 1 2 d d R p pt − t = Ω T
A questo punto, dalla definizione di pt (2.7) e ricordando che la velocità può
essere espressa come rapporto tra la portata volumetrica e l’area del condotto, e sostituendo la (7.14a) nella (7.14b) si ottiene:
1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 ˆ 1 1 ˆ ˆ ˆ V A A V V d d A R p p T − − Ω = − ρ φ ψ ρ ( 7.12c ) ( 7.13 ) ( 7.14a ) ( 7.14b ) ( 7.15 )
Facendo uso della (7.15), la matrice di trasferimento dinamica per una pompa non cavitante diventa: − − Ω = 1 0 1 1 1 2 1 2 2 1 1 A A V d d A R G T φ ρ ψ ρ
Come si vede, la matrice è costituita dal solo termine resistivo.
7.2 Modello numerico dell’impianto
Il circuito di prova è stato schematizzato come nella figura (7.3).
Figura 7.3 – Schema del circuito. S = aspirazione; D = mandata; V = silent throttle valve. Come si evince dalla figura, si è scelto di “aprire” il circuito in corrispondenza del serbatoio di pressurizzazione, questo a causa della sua ininfluenza nel calcolo che segue. Il circuito risulta pertanto costituito da quattro elementi principali: il condotto di aspirazione, quello di mandata, la pompa e la silent throttle valve. I primi due elementi contengono al loro interno tutte le informazioni relative alla resistenza e all’induttanza dei singoli componenti che li costituiscono, in particolare i tubi, le curve ed i raddrizzatori di flusso (figura 7.4). Questi ultimi sono stati schematizzati come una serie di tubicini posti in parallelo e da soli costituiscono la maggior parte del termine resistivo associato ai due condotti.
Figura 7.4 – Il raddrizzatore di flusso.
Per il calcolo dei termini relativi alla pompa si è fatto uso dei dati geometrici ad essa riferiti e si è approssimata la curva caratteristica φ-ψ facendo uso dei dati sperimentali ricavati dalla relativa caratterizzazione delle prestazioni nel caso non cavitante, come mostrato in figura 7.5 per l’induttore AVIO della turbopompa dell’ossigeno liquido del motore Vulcain del vettore Ariane 5 (v. Cap. 2).
Figura 7.5 – Curva caratteristica dell’induttore AVIO impiegata nella caratterizzazione della
Particolare attenzione ha invece richiesto la schematizzazione della silent throttle valve. Infatti, pur trattandosi di una valvola di laminazione, essa ha una architettura molto particolare, come mostrato in figura 7.6 . Il suo scopo è quello di trasformare l’energia immagazzinata nel fluido sotto forma di pressione in energia interna del fluido stesso, facendogli compiere una trasformazione di laminazione. Questa regolazione viene effettuata per mezzo di una pompa oleodinamica a leva, capace di erogare alla valvola l’olio di alimentazione con pressioni fino a 207 bar. La particolarità della silent throttle valve è data dal fatto che essa fa avvenire la laminazione senza che quest’ultima sia accompagnata da fenomeni di cavitazione.
Una prima parte del lavoro è stata quindi occupata dal cercare di correlare la pressione nell’olio della valvola con la percentuale di chiusura della sezione di passaggio nella stessa. A questo punto, il coefficiente di perdita k associato al componente è stato calcolato con procedimento a ritroso, ovvero imponendo l’uguaglianza tra le perdite di pressione nei condotti di aspirazione e mandata (note) e nella valvola stessa (incognita) con il salto di pressione fornito dalla pompa (noto) nelle date condizioni operative (portata e numero di giri del motore). Una volta ricavato il salto di pressione, k è stato calcolato facendo uso della (7.2). Il par. 7.3 mostra i dettagli della caratterizzazione della valvola onde giustificare l’assunzione di un esponente pari a 2 per la velocità.
La matrice di trasferimento dinamica dell’intero sistema è pertanto data dal prodotto delle singole matrici di trasferimento (si noti l’ordine):
(
)
(
)
= − − − − + − + = 1 0 1 1 0 1 1 0 1 V M V M P A A SIST L i R R L L i R R G ω ω − − = 1 0 1 Req iωLeqdove il pedice V indica i termini associati alla valvola, M quelli della mandata, P quello della pompa, A quello della aspirazione. I termini Req e Leq sono
rispettivamente dati dalla semplice somma delle singole resistenze ed induttanze. La frequenza naturale delle oscillazioni del flusso è quindi data da:
eq eq eq eq L R i L i R − = ⇒ = − ω 0 ω
In Appendice F è possibile esaminare l’algoritmo di calcolo del modello numerico sopra descritto.
7.3 Caratterizzazione della silent throttle valve
Per poter utilizzare la (7.2) per il calcolo del coefficiente di perdita k associato alla valvola, è necessario conoscere l’effettiva dipendenza funzionale delle perdite dalla velocità del fluido. La forma più generale della (7.2) è infatti del tipo:
( )
u na p = ∆
Lo sforzo che si è intrapreso è stato quello di individuare quale fosse il valore dell’esponente n nella (7.19) per la silent throttle valve. L’obiettivo è stato raggiunto attraverso una serie di semplici prove sperimentali in cui si è fissato un valore della pressione dell’olio nella valvola (tra 0 e 100 bar) mentre la portata si è fatta variare in funzione del numero di giri del motore (da 750 rpm a 2000 rpm). Contemporaneamente, per ogni valore del numero di giri e della pressione dell’olio, si è misurato il salto di pressione fornito dalla pompa (in questo caso si è impiegato l’induttore AVIO già menzionato sopra). Con procedimento a ritroso del tipo di quello descritto al par. 7.2, si è infine ricavato il valore della perdita di pressione nella valvola. A questo punto, per ogni valore della pressione dell’olio, ( 7.17 )
( 7.18 )
si sono tracciati dei diagrammi in scala bilogaritmica della caduta di pressione nella valvola in funzione della portata.; quindi si è proceduto ad una interpolazione degli stessi facendo uso di un metodo ai minimi quadrati, ottenendo così il valore dell’esponente n. La figura 7.7 illustra uno di questi diagrammi per il caso particolare di pressione dell’olio nella valvola pari a 20 bar, mentre la 7.8 mostra i valori di n ottenuti in tutti i casi esaminati.
Figura 7.7 – Diagramma dei punti sperimentali ottenuti con pressione dell’olio nella valvola pari a 20 bar.
Figura 7.8 – Valore dell’esponente n della (7.19) per diversi valori della pressione dell’olio nella valvola e valore medio.
Come si vede questi hanno valore medio intorno a 1.9. Nel modello si è comunque considerato un esponente pari a 2 per tenere conto di eventuali errori commessi nella procedura sopra descritta e perché questo si correla meglio con i risultati sperimentali (v. par. 7.4).
7.4 Risultati e confronto con i dati sperimentali
Il modello è stato applicato a due diverse giranti provate nell’impianto, l’induttore assiale FIP da 162 mm di diametro e l’induttore AVIO già menzionato, per diversi valori della velocità di rotazione del motore principale. I dati ottenuti dalla simulazione (figure 7.9 e 7.11) sono poi stati confrontati con i dati acquisiti, per il solo induttore FIP, nel corso di investigazioni sperimentali delle frequenze proprie dei fenomeni di instabilità del campo fluidodinamico (figura 7.10).
Figura 7.9 – Risultati del modello per l’induttore FIP 162 a due valori della velocità di rotazione del motore principale.
0 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06 0.065 0 10 20 30 40 50 60
Figura 7.10 – Risultati sperimentali dell’induttore FIP per due velocità del motore principale (-=2000 rpm; --=2500 rpm). Fre quenza n atura le [Hz ] φ
Come si vede dalla figura precedente, il modello mostra risultati che si correlano bene con quelli sperimentali, se in special modo si osserva la coppia di curve a frequenze più basse della 7.10 . Analisi di cross-correlazione tra i segnali provenienti da una serie di trasduttori di pressione disposti circonferenzialmente su di una stessa sezione (R. Testa) dimostrano che in questo caso particolare si tratta effettivamente di oscillazioni assiali (mentre ad esempio le curve in rosa della 7.10 sembrano invece relative a fenomeni rotanti). Le curve 7.10 sono state costruite a partire da waterfall plot come quello della figura 7.11 ricavati a diverse portate scegliendo di lavorare per tutti ad uno stesso valore del numero di cavitazione.
