Appendice-C Modello utilizzato per il calcolo dei coefficienti di scambio e delle perdite di carico nel condensatore.

Appendice-C

Modello utilizzato per il calcolo dei coefficienti di scambio e delle perdite

di carico nel condensatore.

In questa appendice sono descritte le procedure utilizzate per il dimensionamento di un condensatore ad acqua e di un condensatore ad aria. Entrambi i condensatori prevedono il passaggio del fluido condensante all’interno dei tubi; le correlazioni utilizzate saranno quindi le stesse nei due casi.

Per quanto riguarda la condensazione a liquido, essa avverrà in uno scambiatore di tipo

shell and tube, il cui comportamento è stato descritto nell’appendice-A. Lato tubi si

utilizzeranno le correlazioni descritte qui; lato mantello,invece, si lavorerà con le correlazioni utilizzate per lo scambiatore a recupero.

Il condensatore ad aria, totalmente diverso da uno shell and tube, sarà descritto nel dettaglio in questa appendice.

Condensazione del fluido.

In funzione della velocità e della densità del fluido, la condensazione può avvenire sotto l’effetto della gravità, rendendo più spesso il film liquido nella parte inferiore del tubo, oppure trascurando tale effetto. Maggiore è la velocità del fluido e minore la sua densità, tanto minore sarà l’influenza della gravità.

Esiste un parametro, il parametro di Wallis, che è in grado di farci capire se ci troviamo in una situazione oppure nell’altra, o ancora in una fase intermedia. Tale parametro si indica con Ug*; se risulta minore di 0,5 siamo in una condizione in cui domina la gravità, se

risulta maggiore di 1,5 la gravità può essere trascurata, mentre se risulta compreso tra i due valori, i coefficienti calcolati devono essere opportunamente mediati tra loro.

(

)

1 2 1 2

*

g g g i l g t g t

U

U

gd

m x

U

A

ρ

ρ ρ

⎧

⎪

₌

⎪⎪

⎡

_⎣

₋

⎤

_⎦

⎨

⎪

⎪

=

⎪⎩



, dove x è il titolo del fluido condensante.

Nei nostri calcoli difficilmente troveremo un valore di Ug* inferiore a 1,5. Pertanto

descriveremo la condensazione senza l’influenza della gravità.

Correlazione di Friedel.

Per il calcolo del coefficiente di scambio in fase di condensazione si è scelto di utilizzare la correlazione proposta da Friedel (1979). Essa si basa sull’analogia tra il modello fluidodinamico e quello termico, andando a correlare le perdite di pressione con il coefficiente di scambio; per il calcolo delle perdite di carico, il metodo utilizzato è stato quello dei flussi separati, che andiamo a descrivere ora.

Il gradiente di pressione viene calcolato come prodotto tra il gradiente di pressione che si avrebbe se tutta la portata avesse le caratteristiche termofisiche del liquido ed un opportuno parametro. Il pedice LO sta ad indicare che il calcolo è stato fatto considerando tutta la portata con le caratteristiche del liquido.

( )

( )

2 LO LO

dp

dz

dp

dz

φ

=

La correlazione di Friedel serve proprio a questo scopo, ed è la seguente: 2 0,045 0,035

3, 24 *

*

*

LO

F H

E

Fr

We

φ

= +

, dove i parametri utilizzati hanno queste espressioni:

•

(

)

2 2

1

l GO g LO

f

E

x

x

f

ρ

ρ

⎡

⎤

= −

+

_⎢

_⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

• 0,78

(

)

0,24

1

F

=

x

−

x

• 0,91 0,19 0,7

1

g g l g l l

H

ρ

µ

µ

ρ

µ

µ

⎛

⎞

_⎛

_⎞

_⎡

_⎤

=

⎜

_⎜

⎟

_⎟

_⎜

_⎟

_⎢

−

_⎥

⎝

⎠

⎣

⎦

⎝

⎠

I pedici LO e GO indicano rispettivamente che si considera l’intera portata con le caratteristiche termofisiche del liquido o del vapore; i pedici l e g indicano che la portata deve essere moltiplicata rispettivamente per (1-x) o per x. Ovviamente le proprietà termofisiche non si moltiplicano per la portata.

I fattori

f

_GO e

f

_LO sono i fattori d’attrito di Fanning, riferiti all’intera portata con le proprietà del vapore e del liquido; sono calcolati in funzione dei numeri di Reynolds del vapore e del liquido come segue:

1 4 1 4

0,079 Re

0,079 Re

*

Re

*

Re

LO LO GO GO t i t LO l t i t GO g

f

f

m

d

A

m

d

A

µ

µ

− −

⎧

₌

⎪

⎪

₌

⎪

⎪

⎪

⎨

₌

⎪

⎪

⎪

⎪

₌

⎪⎩





Fr e We sono i numeri adimensionali di Friedel e di Weber: • 2 2

*

*

t t i TP

m

A

Fr

g d

ρ

⎛

⎞

⎜

⎟

⎝

⎠

=



; g è l’accelerazione gravitazionale; • 2 t i t TP

m

d

A

We

ρ σ

⎛

⎞

⎜

⎟

⎝

⎠

=

, dove

σ

è la tensione superficiale del fluido alla temperatura di condensazione.

La densità del fluido in condizioni bifase è definita come

1

1

TP g l

x

x

ρ

ρ

ρ

−

⎡

₋

⎤

=

_⎢

+

_⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

Calcolato

φ

_LO2 , per trovare le perdite di pressione è necessario calcolare il gradiente di pressione relativo all’intera portata nella condizioni liquide.

2

2

*

t LO t LO i l

m

f

_A

dp

dz

d

ρ

⎛

⎞

⎜

⎟

⎛

⎞

₌

⎝

⎠

⎜

⎟

⎝

⎠



Possiamo ora ricavarci il gradiente di pressione effettivo e concludere la prima parte del calcolo. 2 LO LO

dp

dp

dz

φ

dz

⎛

⎞

=

_⎜

_⎟

⎝

⎠

Calcolo del coefficiente di scambio termico locale.

Ottenuto il gradiente di pressione, è possibile giungere al coefficiente di scambio con la seguente procedura, utilizzando relazioni tra variabili adimensionali fondamentali per lo scambio termico convettivo, ma che qui non stiamo a descrivere.

In funzione del numero di Reynolds del liquido ci ricaviamo il parametro

δ

+ come

(

)

0,875

0,0504 Re

valida per Re

1483

1

Re

l l t i t l l

m

x d

A

δ

µ

+

⎧

=

≥

⎪⎪

_⎛

_{⎞ −}

⎨

_⎜

_⎟

⎝

⎠

⎪

₌

⎪⎩



Andiamo ora a calcolare il valore di

T

_δ+, come

(

)

1

5 Pr

ln 1 5Pr

ln

valida per

30

2

30

T

_δ

l

l

δ

δ

+ +

₌

⎡

₊

₊

₊

⎛

⎞

⎤

+

_>

⎢

⎜

⎟

⎥

⎝

⎠

⎣

⎦

Calcoliamo lo sforzo del fluido alla parete come

4

i

dp d

dz

τ

=

Il coefficiente locale di scambio termico è fornito dalla relazione

(

)

1 2 ,

*

p l l i

c

h

T

_δ

ρ τ

+

=

Durante la procedura si è sempre parlato di coefficiente LOCALE di scambio termico: questo perché tale coefficiente è funzione del titolo del fluido. Utilizzando un foglio di

calcolo, la procedura è stata implementata facendo variare il titolo con intervalli di 0,1. I valori ottenuti sono stati infine mediati al fine di ottenere un solo valore da inserire nella relazione del coefficiente globale di scambio.

Scambio termico con superficie alettata.

Disegno e nomenclatura

Nel riportare le relazioni utilizzate nei calcoli si è fatto riferimento alla seguente nomenclatura:

•

nt

: numero tubi per ogni schiera;

•

n

_sch: numero di schiere di tubi per ogni modulo; •

n

_sez: numero di moduli;

• hf: altezza dell’aletta;

• w: spessore dell’aletta; • s: interspazio tra le alette;

Aria P3 P2 P1 do df hf w s

• df: diametro esterno del tubo, considerando l’altezza dell’aletta;

• kf: conducibilità termica dell’aletta;

• At: superficie dei tubi privi di alettatura; • Aw: superficie di tubo libera dalle alette;

• Af: superficie totale dell’alettatura;

• A: superficie esterna totale del tubo;

A

=

A

_f

+

A

_w; • So: sezione di passaggio dell’aria, in assenza dei tubi;

• Smin: minima sezione di passaggio dell’aria;

• ha: coefficiente di scambio riferito alla superficie priva di alettatura;

• ha’: coefficiente di scambio riferito alla superficie priva di alettatura, tenuto conto

dell’efficienza dell’aletta;

• he: coefficiente di scambio riferito alla superficie complessiva dello scambiatore;

•

η

_f: efficienza dell’aletta;

•

ψ

: coefficiente che tiene conto della non monodimensionalità dell’aletta; •

K

_a: coefficiente per il calcolo delle perdite di carico concentrate;

•

K

_f : coefficiente per il calcolo delle perdite di carico distribuite;

Coefficiente di scambio

Per prima cosa definiamo le grandezze geometriche.

•

A

_t

=

nt L

* * *

π

do

•

A

_w

nt L

* *

(

do s

*

)

s

w

π

=

+

•

* *

1

(

2 2

)

*

2

f f o f

n L

A

d

d

d

w

s

w

π

⎡

⎤

=

_⎢

−

+

_⎥

+

⎣

⎦

•

S

_o

=

nt P

*

₁

*

L

•

S

_min

nt L P

*

₁

do

2 *

w h

*

f

w

s

⎡

⎤

=

_⎢

−

−

_⎥

+

⎣

⎦

La correlazione utilizzata per il calcolo del numero di Nusselt, valida per alettatura lunga, griglia sfalsata ed almeno quattro schiere di tubi, è stata la seguente:

0,297 _0,091 1 0,658 1 3 2

0, 242 * Re

Pr

f

s

P

Nu

h

P

−

⎛

⎞

_⎛

_⎞

=

⎜

_⎜

⎟

_⎟

_⎜

_⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

Il numero di Reynolds è stato calcolato con riferimento alla massima velocità dell’aria, ottenibile in corrispondenza della sezione minima di passaggio e del diametro esterno privo di alettatura. max max min

*

*

Re

*

o

v

d

m

v

S

ρ

µ

ρ

⎧

₌

⎪⎪

⎨

⎪

₌

⎪⎩



Dal numero di Nusselt è possibile ricavare un primo coefficiente di scambio, utilizzando come grandezza caratteristica il diametro esterno del tubo.

*

_a a o

Nu k

h

d

=

Tale coefficiente però non tiene conto né dell’efficienza dell’aletta, né del considerevole incremento della superficie di scambio in conseguenza dell’inserimento dell’alettatura.

L’efficienza dell’aletta è definita come

2

tan

_*

*

2

*

*

1 1 0,35ln

2

a f f a f f f o o o

h

h

_{w k}

h

w k

d

d

d

d

d

ψ

η

ψ

ψ

⎧

⎛

⎞

⎪

⎜

⎟

⎝

⎠

⎪

₌

⎪⎪

⎨

⎪

⎪

⎛

⎞

⎡

⎛

⎞

⎤

=

−

+

⎪

⎜

⎟

⎢

⎜

⎟

⎥

⎪

⎝

⎠

⎣

⎝

⎠

⎦

⎩

La prima correzione al coefficiente di scambio fa in modo che esso risenta dell’efficienza dell’aletta: ' f f w a a

A

A

h

h

A

η

+

⎛

⎞

= ⎜

⎟

⎝

⎠

Con la seconda ed ultima correzione si fa in modo che il coefficiente convettivo risenta anche dell’incremento della superficie di scambio:

' e a t

A

h

h

A

=

Calcolo delle perdite di carico

Lato tubi

Per il calcolo del coefficiente locale di scambio è stato necessario il calcolo del gradiente di pressione in seno al fluido condensante; per questo motivo il calcolo delle perdite di pressione non presenta nessuna complicazione aggiuntiva, in quanto è sufficiente moltiplicare il gradiente di pressione per la lunghezza totale dei tubi.

( )

tubi sez

dp

p

L n

dz

∆

=

× ×

Lato aria

Le perdite di carico lato aria sono invece calcolate come somma di una componente legata all’ingresso ed all’uscita dell’aria dallo scambiatore (perdite di carico concentrate), ed una proporzionale al numero di schiere di tubi presenti nel modulo (termine di attrito, perdite di carico diffuse).

(

)

2 max

1

2

aria a sch f

p

K

n

K

ρ

v

∆

=

+

Il primo termine viene calcolato in funzione del rapporto tra la minima sezione di passaggio dell’aria e la sezione in assenza di tubi:

2 min

1

a o

K

S

S

σ

σ

⎧

= +

⎪

⎨ =

⎪

⎩

Il secondo termine è fornito da una correlazione, valida per alette lunghe e per un certo intervallo del numero di Reynolds.

0,504 0,367 0,546 0,242 1 2

4,567 Re

500

Re

50000

f t o o

A

P

P

K

A

d

d

− − −

⎧

_⎛

_⎞

_⎛

_⎞

_⎛

_⎞

⎪

=

_⎜

_⎟

_⎜

_⎟

_⎜

_⎟

⎨

_⎝

_⎠

_⎝

_⎠

_⎝

_⎠

⎪

_≤

_≤

⎩