Riassunto Analitico

Riassunto Analitico

I

RIASSUNTO ANALITICO

Questo lavoro si occupa delle tematiche relative al problema della

“Eteroschedasticità Condizionata Autoregressiva”, con una particolare attenzione a ciò che accade sui mercati finanziari.

Una caratteristica di tali mercati consiste nel fatto che periodi con un’alta volatilità

sono seguiti da periodi più tranquilli in cui la volatilità è più bassa, questo crea

molte difficoltà ai soggetti che si occupano dell’attività di misurazione e gestione del rischio.

Emerge la necessità di strutturare un modello per quantificare il fenomeno del raggruppamento della volatilità ricorrendo a modelli econometrici dove s’ipotizza che la volatilità dipenda dai rendimenti e dalle volatilità registrate nei periodi precedenti. Ipotesi che stanno alla base dei modelli ARCH e GARCH.

Due modelli che ci permettono di percorrere con più sicurezza (ma non con certezza) la tortuosa strada che tocca diversi (e pericolosi) concetti, come quelli di rischio, di rendimento, dell’attività di gestione e misurazione del rischio, dei modelli di previsione della varianza e della covarianza fino ad arrivare alle misure di rischio finanziario, con particolare attenzione a una di esse: il Valore a Rischio (VaR).

Premessa

II

PREMESSA

Durante il mio percorso di studi sono incappato spesso nella parola “eteroschedasticità”.

Una parola che in genere veniva puntualmente aggirata da ipotesi semplicistiche oppure rimandata a studi futuri, per concentrarsi sui vari argomenti che si stavano trattando.

Quando è giunto il momento di scegliere l’argomento della mia tesi, ho consultato alcuni libri di finanza matematica e di econometria e questa parola è riapparsa puntualmente aumentando la mia curiosità e forzandomi a scegliere di trattare (o meglio di provare a trattare) quest’argomento a me sconosciuto (o solo in parte conosciuto).

L’interesse è aumentato soprattutto dalla lettura del libro “Elements of Financial Risk Management” di Christoffersen P. F. (2003), che il Prof. Bianchi mi ha prima consigliato e poi gentilmente prestato.

Da qui ha preso il via questo lavoro, la cui scrittura non è stata semplice (anche a causa di eventi sfortunati e imprevedibili) ma che mi ha divertito, appagato e soprattutto incuriosito. Per questo è una scelta che sono contento di aver fatto, aldilà della validità o meno di ciò che ho scritto.

Vorrei segnalare a quei curiosi (e coraggiosi) che vorranno leggere o spulciare questo lavoro che il mio obiettivo era di cercare di dare (prima a me stesso e poi ai lettori) una discreta conoscenza di questi argomenti.

Tuttavia, credo che questo lavoro possa rappresentare una buona base di partenza per spunti o analisi future. Tuttavia, l’analisi non si limita a quel che sarà

Ringraziamenti

III

RINGRAZIAMENTI

Al termine di questo percorso di studi e di questo pezzo importante della mia vita non posso che ringraziare chi mi è stato vicino in tutti questi anni.

Non sono una persona brava a fare questo genere di cose, però in primis devo ringraziare la mia famiglia che non mi ha mai fatto mancare nulla in termini di affetto e fiducia.

Ringrazio e ricordo anche chi durante questo percorso ci ha lasciato e che continua a

proteggermi dall’alto, una vicinanza che sento e che per me è molto importante.

Ringrazio i miei colleghi di studi (e soprattutto amici) con cui ho condiviso anni indimenticabili, tra scherzi, dispetti, schedine, discussioni calcistiche, insegnamenti di toscano, conversazioni più o meno importanti e nel mezzo un po’ di studio. Ringrazio anche i miei amici al di fuori dell’ateneo che stanno in quello splendido piccolo grande paese quale è San Donato.

Ringrazio anche un’associazione che per me è tanto importante nelle gioie e nelle arrabbiature ovvero il G.S. San Donato R.C.G. 1981, per noi sandonatesi è un qualcosa in più di una semplice squadra di calcio.

Ringrazio il Prof. Carlo Bianchi che prima è stato il docente di uno dei corsi che più mi è piaciuto e che poi ha permesso che questo lavoro potesse essere fatto. E ringrazio anche il nostro Signore, che ha permesso tutto questo e a cui devo tutto.

“Ringrazia Dio che ti ha aiutato e rallegrati della tua vittoria. Che gioia profonda sente la tua anima, dopo aver corrisposto”.

“La nostra dignità umana ci viene da Dio nostro creatore, a cui immagine siamo stati creati. Nessuna privazione o sofferenza potrà mai rimuovere questa dignità, perché noi siamo sempre preziosi agli occhi del Signore”.

Indice V

INDICE

1.2.1 Calcolo del rendimento 16

1.2.2 Fatti stilizzati sui rendimenti delle attività finanziarie 18 1.3 Applicazione al caso “Rendimenti azionari delle società

calcistiche”

21

1.3.1 Base di dati 21

1.3.2 Software utilizzato 21

1.3.3 Calcolo del rendimento giornaliero 22

1.3.4 Calcolo del rendimento composto su k periodi 29

2. MODELLI PER LA PREVISIONE DELLA VARIANZA 31

2.1 Modello Semplice. 33

2.2 JP Morgan’s RiskMetrics & Modello a media mobile con pesi esponenziali (EWMA).

35

2.3 Eteroschedasticità Condizionata Autoregressiva. 38

2.3.1 Modelli ARCH 39

Indice

VI

2.3.3 Estensioni del GARCH Model 45

2.3.3.1 GARCH(p,q) 45

2.3.3.2 Modelli GARCH & Leverage effect 46

2.3.3.2.1 Nonlinear GARCH (N-GARCH) 46

2.3.3.2.2 GJR-GARCH 47

2.3.3.2.3 Exponential GARCH (E-GARCH) 47

2.3.3.2.4 GARCH In Mean (GARCH-M ) 47

2.4 Stimatori di massima verosimiglianza 48

2.4.1 Stimatori di massima verosimiglianza nell’ambito del modello di regressione lineare.

50

2.4.2 Stimatori di massima verosimiglianza nel modello GARCH

52

2.4.3 Stimatori di quasi massima verosimiglianza 53

2.5 Variance Targeting 53

2.6 Applicazione al caso “Rendimenti azionari delle società

calcistiche”: Stima parametri GARCH(1,1) 54

3. IL MODELLO GARCH NEL CALCOLO DELLE MISURE DI RISCHIO FINANZIARIO

59

3.1 Misure di rischio finanziario 59

3.1.1 Approccio tradizionale 60

3.1.2 Approccio Assiomatico 61

3.2 Valore a Rischio (Value at Risk - VaR) 63

Indice

VII

3.2.2 Valore A Rischio per portafogli semplici 65

3.2.3 Proprietà del VaR 67

3.2.4 Problemi metodologici 68

3.2.4.1 Forma della distribuzione di probabilità 68

3.2.4.2 Eteroschedasticità della varianza. 70

3.2.4.3 Stima della volatilità 70

3.2.5 Modello per la covarianza 74

3.2.6 Modelli di calcolo del VaR 76

3.2.6.1 Approccio varianza/covarianza 77

3.2.6.2 Simulazione storica 79

3.2.6.3 Weighted Historical Simulation 82

3.2.6.4 Simulazione Monte Carlo 84

3.2.6.5 Filtred Historical Simulation 88

3.3 Applicazione al caso “Rendimenti azionari delle società

calcistiche” 91

3.3.1 Calcolo del grado di Skewness e di Curtosi 91

3.3.2 Calcolo del VaR di un portafoglio con l’approccio varianza/covarianza.

94

4. CONCLUSIONI 103