Bibliografia marzo 2010 2 ore Integrabilit`a in senso improprio

(1)

INGEGNERIA AEROSPAZIALE A.A.2009/2010

CANALE L–Z

Analisi Matematica 2

DIARIO DELLE LEZIONI

Prof. Dario Salvitti

1 marzo 2010 2 ore

Richiami di teoria dell’integrazione alla Riemann. Funzioni caratteristiche, funzioni costanti a tratti e nulle fuori di un compatto. Una funzione limitata con al più un numero finito di punti di discontinuità è integrabile.

Bibliografia: [5]: §4.4

2 marzo 2010 2 ore

Integrabilit`a in senso improprio. Caso di funzioni non limitate. Valore principale secondo Cauchy.

Bibliografia: [1]: §9.7; appunti.

3 marzo 2010 2 ore

Criterio del confronto e del confronto asintotico. Criterio asintotico per infiniti non confrontabili.

Bibliografia: [1]: §9.7.1; appunti.

4 marzo 2010 2 ore

Integrabilit`a in senso improprio nel caso di intervallo d’integrazione illimitato. Valore principale secondo Cauchy. Cri- terio del confronto e del confronto asintotico. Generaliz- zazione al caso in cui la funzione x 7→ x^αf (x) `e limitata.

Funzioni assolutamente integrabili. L’integrabilit`a assoluta implica l’integrabilit`a.

Bibliografia: [1]: §§9.7; 9.7.1; 9.7.2; [5]: §6.9

8 marzo 2010 2 ore

L’integrabilit`a non implica l’integrabilit`a assoluta. La funzione x 7→ sin x

x è integrabile ma non è assolutamente integrabile in [1, ∞). Criterio asintotico per infinitesimi non confrontabili. Criterio integrale per la convergenza di una serie. Integrabilità di ¹

x^αlog^βxin un intorno di x = 0, di x = 1, di +∞. Integrali di Fresnel. Funzioni di segno costante non infinitesime e integrabili all’infinito. Criterio di Abel per l’integrabilit`a all’infinito.

Bibliografia: [1]: §§9.7.1; 9.7.2; 9.8; [5]: §6.9; appunti.

9 marzo 2010 2 ore

Esercizi svolti:

Z +∞

e

dx

x^plog^qx(log log x)^r; Z +∞

0

log x 1 + x² dx.

Studio della funzione integraleF(x) = Z x

1

log t 1 + t² dt.

ala

Propriet`a della funzione logaritmoL(x) = Z x

1

dt t . Bibliografia: [5]: §5.8; appunti.

10 marzo 2010 2 ore

Esercizio svolto: studio della funzione integrale F(x) =

Z x 0

dt 1 + t²;

Integrali euleriani di seconda specie (funzione gamma). Γ(α) converge∀α > 0; Γ(α+1) = αΓ(α); Γ(α)Γ(1−α) = π

sin απ, α ∈ (0, 1);

Z +∞

0

e^−x

2

dx =

√π 2 .

Dimostrazione della formula di Stirling n! = nⁿe⁻ⁿ(√

2πn + αn), |αⁿ| 6 1.

11 marzo 2010 2 ore

Esercizio svolto:

Z +∞

1

dx

xlog(ex) log^a(log(e²x)).

Parallelismo integrali impropri-serie.

Z +∞

a

f(x) dx converge se e solo se la serie

+∞

X

n=1

Z Mn M_n−1

f(x) dxconverge per ogni successione {Mⁿ}, Mⁿ > a, Mn → +∞, e la sua somma non dipende da {Mⁿ}.

Se f (x) ha segno costante ∀x > a, Z +∞

a

f(x) dx converge se e solo se la serie converge per almeno una successione {Mⁿ}, Mⁿ > a, Mn → +∞, monotona crescente. Criterio di Cauchy per l’integrabilit`a all’infinito. Teorema della me- dia integrale generalizzato. Criterio di Abel per l’integrabilit`a all’infinito.

Bibliografia: appunti.

15 marzo 2010 2 ore

Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili.

Soluzione dell’esercizio teorico

n→+∞lim

n

s Z b

a |f(x)|ⁿ dx = max

[a,b] |f(x)|.

Esercizio svolto:

Z +∞

0

e⁻^3xsinh(_x^2x²₊₁³ ) x^γ+ x⁵ dx.

Bibliografia: appunti; note in rete.

(2)

16 marzo 2010 2 ore

Equazioni differenziali del primo ordine delle forme:

a) x = f (y^′); b) y = f (y^′); c) f (y^′) = 0.

Domini di funzioni di due variabili.

17 marzo 2010 2 ore

Distanze e intorni in Rⁿ. Limiti e continuit`a di funzioni a due variabili. Funzioni a valori vettoriali. Curve parametrizzate.

Bibliografia: [1]: §§10.1; 10.1.1; 10.2; 10.2.3

18 marzo 2010 2 ore

Calcolo di limiti di funzioni di due variabili. Coordinate polari. Convergenza uniforme in ϑ. Limiti delle restrizioni su curve particolari. La convergenza lungo le direzioni non implica la convergenza.

Esempio:

(x,y)→(0,0)lim x²y x⁴+ y². Coordinate sferiche.

Bibliografia: [1]: §10.3.3

22 marzo 2010 2 ore

Esercizi sui limiti di funzioni di due variabili. Dimostrazione del carattere non uniforme della convergenza di ^x

2y x⁴+ y² in base alla definizione; dimostrazione del carattere non uniforme della convergenza di ^y(x

2+ y²)

(x²+ y²)³+ y² ricorrendo alla caratterizzazione lim

ρ→0 sup

ϑ∈[0,2π)|F (ρ, ϑ) − l| = 0.

Bibliografia: appunti 23 marzo 2010 2 ore

Equazioni differenziali del primo ordine omogenee.

Coordinate sferiche in Rⁿ. Calcolo di limiti di funzioni in tre o pi`u variabili. Limiti iterati. Esempi di funzioni per le quali esiste uno solo o due soli dei limiti

(x,y)→(xlim0,y0)f (x, y), lim

x→x0

y→ylim0

f (x, y), lim

y→y0

x→xlim0

f (x, y).

24 marzo 2010 2 ore

Equazioni differenziali della forma^y^′= f ax+ by + c a₁x+ b1y+ c1

. Calcolo di lim

(x,y)→(x0,y0)f (x, y) = l nei casi l = ±∞. Esempi di funzioni f (x, y) che: ammettono limiti iterati ma diver- si tra loro; ammettono limiti lim

x→0f (x, y), lim

y→0f (x, y) uguali ma non ammettono lim

(x,y)→(0,0)f (x, y); non sono continue ma sono continue nelle due variabili separatamente.

25 marzo 2010 2 ore

Inversione dell’ordine di passaggio al limite. Condizione sufficiente. Esempi e controesempi.

Caratterizzazioni di funzioni convesse. Convessit`a di log Γ(x). Teorema di Bohr-Mollerup.

Bibliografia: appunti 12 aprile 2010 2 ore

Derivate parziali, derivate direzionali. Equazioni differenziali del primo ordine lineari.

Bibliografia: [7]: §11.1; note in rete

13 aprile 2010 4 ore

Gradiente. Generalizzazione del teorema di Fermat e del teorema del valor medio di Lagrange per funzioni di pi`u variabili. Ricerca di massimi e minimi per funzioni di due variabili.

Metodo della variazione della costante arbitraria e metodo della fattorizzazione per equazioni differenziali del primo ordine lineari. Equazioni di Bernoulli. Equazioni di Riccati.

Propriet`a del birapporto. Equazione del missile.

Bibliografia: [7]: §11.1; note in rete; appunti.

Teorema del valor medio per funzioni a valori vettoriali.

Differenziabilità. La differenziabilità implica la continuità.

Formula del gradiente.

Dimostrazione della formula del gradiente. Il gradiente come indicatore di massimo incremento. Differenziale di una funzione di n variabili a valori reali. Controesempi alle implicazioni non vere tra le proprietà di: continuità, deriv- abilità, derivabilità lungo qualsiasi direzione, differenzia- bilità. Equazioni di Clairaut. Integrale generale e integrale singolare.

Bibliografia: [7]: §11.2; note in rete.

Differenziabilit`a e piano tangente. Deduzione dell’e- quazione del piano tangente. Teorema del differenziale totale. Controesempi alle implicazioni non vere relative alla differenziabilit`a.

Dimostrazione del teorema del differenziale totale. Derivate successive. Teorema di Schwartz. Derivazione di una funzione composta. Equazioni di d’Alambert-Lagrange.

Bibliografia: [7]: §§11.2; 11.3; 11.4; note in rete.

(3)

Estremanti relativi. Condizione necessaria per la natura di un punto critico. Hessiano. Matrici definite o semidef- inite positive (negative). Sviluppo di Taylor di ordine 2 per funzioni scalari di n variabili.

Bibliografia: [7]: §§11.5; appunti.

Condizioni sufficienti per estremanti relativi. Criterio del- l’hessiano per funzioni di due variabili. Caso generale: condizioni necessarie e sufficienti affinchè le radici di un polinomio abbiano tutte lo stesso segno. Insiemi connessi. Se il gradiente è nullo su un aperto connesso allora la funzione è ivi costante.

Bibliografia: [7]: §§11.5; appunti.

Esercizi sugli estremanti liberi. Condizione necessaria e sufficiente affinch´e una matrice simmetrica sia definita, in termini dei suoi minori principali.

Equazioni differenziali di ordine superiore al primo, della forma: a)^y⁽ⁿ⁾= ϕ(x); b)^F(y⁽ⁿ⁻¹⁾, y⁽ⁿ⁾) = 0; c) F(y⁽ⁿ⁾) = 0.

Calcolo integrale per funzioni di pi`u variabili. Funzioni semplici. Integrale di funzioni limitate e nulle al di fuori di un compatto. La misura di Peano-Jordan. Un insieme limitato

`

e misurabile se e solo se m(∂E) = 0. Unione, intersezione, differenza di insiemi misurabili è misurabile. Il sottografico di una funzione positiva integrabile è misurabile. Insiemi normali rispetto ad un asse cartesiano. Una funzione continua su un insieme limitato misurabile è ivi integrabile. Teorema di Fubini.

Bibliografia: [7]: §§12.1; 12.2; 12.3; 12.4; appunti.

Integrali tripli. Formule di riduzione per domini z− normali (integrazione per fili).

Equazioni differenziali dei tipi: F(x, y^′, y^′′, . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾, y⁽ⁿ⁾) = 0; F (y, y^′, y^′′, . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾, y⁽ⁿ⁾) = 0; F (y^′, y^′′, . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾, y⁽ⁿ⁾) = 0,dove n > 1.

Bibliografia: [7]: §12.4; note in rete.

Volume di un solido. Integrazione per strati. Volume di un solido di rotazione, nota la curva piana ruotata. Cambia- mento di variabili negli integrali multipli. Jacobiano di una trasformazione. Coordinate polari, cilindriche, sferiche.

Bibliografia: [7]: §§12.5; 12.6; 12.7

3 maggio 2010 2 ore

Dimostrazione del teorema di Fubini. Esercizi: integrazione in coordinate polari centrate nell’origine (0; 0) o nel centro di simmetria del dominio. Volumi di solidi di rotazione intorno ad un qualunque asse cartesiano. Simmetrie negli integrali.

Bibliografia: [7]: §§12.4

4 maggio 2010 4 ore

Baricentro. Teorema di Pappo-Guldino. Jacobiano delle coordinate polari n−dimensionali. Volume della sfera n−dimensionale. Integrali multipli impropri. Convergen- za per sfere e convergenza per cubi. Se f `e positiva le due definizioni di convergenza coincidono. Controesempio di Dirichlet. Calcolo di^Z ^+∞

0

e^−x² dx.

Equazioni differenziali di ordine superiore al secondo omogenee (metodo y = ±e^t).

Bibliografia: [7]: §§12.5; 12.8; note in rete.

5 maggio 2010 2 ore

Jacobiano della composizione di funzioni di pi`u variabili a valori vettoriali. Diffeomorfismi. Jacobiano della trasformazione inversa. Teorema sul cambiamento della misura per diffeomorfismi. Dimostrazione del teorema di cambiamento delle variabili negli integrali multipli.

6 maggio 2010 4 ore

Coordinate polari, sferiche, cilindriche come diffeomorfismi.

Funzioni (positivamente) omogenee. Se esiste la derivata direzionale lungo ˆv in ~x, allora esiste la derivata direzionale lungov in t~x, ∀t > 0. Teorema di Eulero. Una funzione dif-ˆ ferenziabile omogenea di grado1 su Rⁿ `e lineare. Il metodo dimensionale. Propriet`a di scala delle relazioni funzionali tra grandezze fisiche. La funzione dimensione ϕ(α1, . . . , αn)

`e sempre il prodotto di potenze. Teorema Π. Deduzione, a meno di un fattore numerico adimensionale, del periodo del pendolo semplice e dell’angolo di distacco su una guida circolare.

Bibliografia: appunti 10 maggio 2010 2 ore

Derivazione sotto il segno di integrale. La funzione integrale `e uniformemente continua. Teorema di derivazione sotto il segno di integrale nel caso di integrazione propria o impropria. Calcolo di ^Z^+∞

0

sin x

x dx. Derivata di F(t) :=

Zβ(t) α(t)

f(x, t) dx.

(4)

11 maggio 2010 4 ore

Curve regolari a tratti, semplici, chiuse. Una funzione f (x) di classeC¹`e una curva semplice regolare di R². Ogni curva regolare semplice di R² `e localmente il grafico di una funzione. Curve equivalenti. Diffeomorfismi tra intervalli chiusi.

Se ϕ ∼ ψ, ϕ `e semplice se e solo se ψ lo `e. Versore tangente di curve orientate equivalenti. Lunghezza di una curva.

Curve regolari equivalenti hanno stessa lunghezza. Calcolo della lunghezza di una curva della forma y = f (x).

Equazioni differenziali di ordine superiore al secondo omogenee (metodo y^′/y = t).

Calcolo della lunghezza di una curva in coordinate polari.

Ascissa curvilinea. Integrali curvilinei.

Superfici regolari in R³. Versore normale. Area di una superficie regolare. Area delle superfici di rotazione. Il teorema delle funzioni implicite in 2 e 3 dimensioni.

Bibliografia: [7]: §§15.4; 15.5; 15.6

Il teorema di Dini nel caso generale. Integrali di superficie. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti di ordine superiore al primo. Teorema di struttura delle soluzioni. Equazione omogenea associata, polinomio caratteristico. Metodo della somiglianza. Principio di sovrapposizione.

Bibliografia: [7]: §15.5; note in rete; appunti

Metodo della variazione delle costanti arbitrarie. Massimi e minimi vincolati. Nei punti estremanti vincolati interni il gradiente `e ortogonale al vincolo. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Determinazione della natura degli estremanti vincolati tramite il teorema di Dini.

Bibliografia: [7]: §15.7; appunti

Forme differenziali. Integrale di una forma differenziale su una curva regolare a tratti. Lavoro di un campo di forze.

Forme esatte. Condizioni necessarie e sufficienti affinch`e una forma sia esatta. Forme chiuse. Condizione necessaria perch`e una forma sia esatta. Domini stellati.

Bibliografia: [7]: §§16.1; 16.2; 16.3;

Calcolo delle primitive di una forma esatta. Una forma chiusa su un aperto stellato `e esatta. Domini semplicemente connessi. Una forma chiusa su un dominio semplicemente connesso `e esatta. Applicazione delle forme esatte alla risoluzione di un problema di Cauchy. Determinazione di un fattore integrante.

Bibliografia: [7]: §16.3; appunti

Formule per il calcolo delle primitive di una forma esatta in 2 e 3 variabili. Bordi positivamente orientati. Formula di Gauss-Green. Teorema della divergenza in 2 dimensioni.

Calcolo di integrali doppi. Calcolo dell’area racchiusa da una curva piana, in coordinate cartesiane o polari. Una forma chiusa su un dominio semplicemente connesso del piano `e esatta.

Bibliografia: [7]: §§16.4; 16.5

Il rotore di un campo vettoriale. Formula di Stokes. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Una forma chiusa in un dominio tridimensionale semplicemente connesso `e esatta. Calcolo di un potenziale vettore di un campo vettoriale assegnato.

Funzioni periodiche regolari a tratti. Formule dei coefficienti della serie di Fourier e teorema di convergenza puntuale.

Sviluppi di funzioni pari o dispari.

Bibliografia: [7]: §§14.1; 14.2; 14.3

Calcolo della somma di alcune serie tramite sviluppi di Fourier. Risoluzione dell’equazione delle onde. Superfici equivalenti. Orientazione di una superficie. Due superfici equivalenti hanno stesso versore normale a meno del segno.

Fine programma

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(5)

Le proposizioni dimostrate durante il corso sono riportate in corsivo. Tutte le dimostrazioni sono incluse nel programma d’esame della prova teorica e della prova orale.

Non sono accettate dimostrazioni alternative dei teoremi in programma. Il superamento della prova pratica e della prova teorica comporta il superamento dell’esame con la votazione di 18/30. Una votazione superiore può essere ottenuta solo sostenendo anche la prova orale. La convocazione dei candidati alla prova orale avverrà in base ad un calendario che verrà pubbli- cato dopo tre giorni dalla pubblicazione dei voti della prova teorica.

Entrambe le prove scritte (pratica e teorica) si considerano superate se il voto conseguito in ciascuna di esse `e di almeno 18. Gli studenti non possono partecipare sia al primo che al secondo appello.

Riferimenti bibliografici

[1] M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, McGraw- Hill

[2] R. A. Adams, Calcolo differenziale 1 e 2, Casa Editrice Ambrosiana

[3] P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica uno, Liguori Editore

[4] P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica due, Liguori Editore

[5] E. Giusti, Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri [6] E. Giusti, Esercizi e complementi di Analisi Matematica,

volume primo, Bollati Boringhieri

[7] E. Giusti, Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri [8] E. Giusti, Esercizi e complementi di Analisi Matematica,

volume secondo, Bollati Boringhieri

[9] J. P. Cecconi, G. Stampacchia, Analisi Matematica, 1^◦ volume, Liguori Editore

[10] J. P. Cecconi, G. Stampacchia, Analisi Matematica, 2^◦ volume, Liguori Editore