CAMBIAMENTO DI VARIABILI IN INTEGRALI DOPPI E TRIPLI.

CAMBIAMENTO DI VARIABILI IN

INTEGRALI

DOPPI E TRIPLI.

Argomenti della lezione Argomenti della lezione

 Cambiamento di Cambiamento di

variabili per integrali variabili per integrali

doppi e tripli doppi e tripli

 Applicazioni al calcolo Applicazioni al calcolo di aree, volumi,

di aree, volumi,

baricentri, momenti baricentri, momenti

CAMBIAMENTO DI VARIABILI IN

INTEGRALI

DOPPI E TRIPLI.

Il teorema sul cambiamento di Il teorema sul cambiamento di

variabili negli integrali multipli, variabili negli integrali multipli,

in particolare doppi e tripli, è uno in particolare doppi e tripli, è uno

dei teoremi più sofisticati del dei teoremi più sofisticati del

Calcolo. Noi ci limiteremo ad Calcolo. Noi ci limiteremo ad

enunciarlo e a mostrarne enunciarlo e a mostrarne

l’applicazione nei casi più comuni l’applicazione nei casi più comuni

Abbiamo già introdotto la nozione Abbiamo già introdotto la nozione di funzione localmente invertibile.

di funzione localmente invertibile.

Ripetiamo e precisiamo meglio Ripetiamo e precisiamo meglio

questa nozione questa nozione

Abbiamo affermato che se Abbiamo affermato che se

tra i quali f è biiettiva; dunque f(U) = V

f : A  R^m  R^m, A aperto, è di classe C¹(A), e se det J(^f)(x⁰) ≠ 0 allora f è localmente invertibile; cioè esistono intorni aperti U di x⁰ e V di y⁰ = f(x⁰)

x

Sappiamo che se una trasformazione è regolare, essa ha il determinate

jacobiano non nullo in ogni punto del dominio e quindi f(A) è aperto anche se f non è necessariamente iniettiva su A. Una siffatta f è adatta a definire un cambiamento di variabili. Si può

dimostrare poi che i punti singolari non costituiscono un insieme molto

“pesante” (ha misura nulla secondo Lebesgue: Teorema di Sard)

Inoltre l’inversa locale tra gli intorni

aperti V e U è di classe C¹(V), e la sua matrice jacobiana è l’inversa della

matrice jacobiana di f.

Con queste precisazioni, possiamo

enunciare il teorema sul cambiamento di variabili negli integrali multipli

Teorema

(cambiamento di variabili )

Sia h : U  R^m  V  R^m, U, V aperti,

regolare e di classe C¹(U), sia E  U un compatto PJ-misurabile e f:h(E)R integrabile. Allora è integrabile f•h

su E e si ha

f (y)dy  f (h(x)) | det h (x)

E

h(E) ^{| dx}

Per brevità di notazione abbiamo indicato y=h(x), e scritto h’(x) al posto della matrice jacobiana.

È chiaro che questa trasformazione di coordinate è conveniente se

l’integrazione su E è più agevole di quella su h(E); per esempio E è

un rettangolo e la nuova funzione

da integrare non è troppo complicata

Esempio:

Si voglia calcolare

(x  y)dxdy



con E = {(x,y): 0<x≤y≤2x, 1≤xy≤2}

Posto u= x y e v = y/x , la

Trasformazione h così individuata manda l’insieme E del piano xy

nel rettangolo J= [1,2][1,2] del

piano uv. La trasformazione inversa di h è

g(u,v) : x  u v y  u v



 

 

che ha determinate jacobiano det g’(u,v) = 1/2v > 0

Dunque

(x  y)dxdy



 ( u

v  uv



^{) 1}

2v dudv

A conti fatti si trova 1/3 (4 -  2).

Il dominio è divenuto un rettangolo e la funzione non si è troppo complicata

A parte i cambiamenti di variabili che possono essere suggeriti dalla

natura del problema (tipo di dominio o particolarità della funzione), come abbiamo visto nell’esempio

precedente, i tipi di trasformazioni di coordinate più comuni, sono

quelli che già abbiamo introdotto in una lezione precedente:

il cambiamento di coordinate polari o (polari ellittiche) nel piano; il

cambiamento di coordinate cilindriche (o cilindrico ellittiche) e il

cambiamento di coordinate sferiche (o ellissoidali) nello spazio.

Precisamente

COORDINATE POLARI

Sono le coordinate così individuate

x   ^cos  y   ^sen 

 

    0, 0    2 

Sappiamo che questa

trasformazione ha un solo punto singolare: l’origine (0,0)^T

Infatti il determinante jacobiano è det J(^{x y}_{ }) = 

La trasformazione è biiettiva tra

R²\(0,0)^T, e {(,): >0, 0 <  < 2π}

Cioè vi è corrispondenza biunivoca tra tutto il piano x y privato

dell’origine e una striscia infinita nel piano  . Se indichiamo con

h^-1(x,y) la trasformazione che a ,

fa corrispondere x,y abbiamo

f (x, y)dxdy 

f (  ^cos  ^,

h^1





 ^sen  ⁾  ^d  d 



Se il dominio E è un’ellisse o parte di essa di semiassi a e b, è

conveniente usare le coordinate polari ellittiche x = a  cos  ,

y = b  sen  . Il determinante Jacobiano è a b 

Mostriamo come ciò sia utile nel calcolo dell’area di un ellisse o del volume di un ellissoide

Sia E = {(x,y):x²/a² + y²/b² = 1}

m(E)  dxdy  ab 

h^1





^{d  d} 

Si trova facilmente m(E) = πab

Calcolo del volume di un ellissoide E = {(x,y):x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1}

Si trova, dopo qualche calcolo non difficile, m(E) = (4/3)π abc

Ricordiamo che il calcolo in

coordinate cartesiane presentava invece qualche difficoltà

COORDINATE CILINDRICHE

Sono le coordinate così individuate

x   ^cos y   ^sen

z  u   0, 0    2, u  R







Il determinante jacobiano

di questa trasformazione è . L’asse z è fatto di punti singolari

La trasformazione è biunivoca tra l’aperto dato da R³\{asse z} dello spazio x y z e l’aperto  > 0,

0 <  < 2π, u  R, dello spazio   u.

Si può combinare questa

trasformazione con quella delle coordinate ellittiche

COORDINATE SFERICHE

Sono le coordinate così descritte

x   ^sen  ^cos  y   ^sen  ^cos 

z   ^cos 



 

 

, ,

  0 0     ⁰    2 

Il determinante jacobiano di questa trasformazione è ² sen . L’asse z è fatto tutto di punti singolari.

La trasformazione è biunivoca tra

l’aperto dato da R³\{semipiano x z,

con x≤ 0} dello spazio x y z e l’aperto

> 0, 0 <  < π, 0 <  < 2π, dello spazio   . Si può combinare que- sta trasformazione con quella delle coordinate ellittiche

Mostriamo come ciò sia facilissimo con questa trasformazione calcolare il volume dell’ellissoide

E = {(x,y):x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1}

Si trova facilmente, come noto, (4/3)π abc

dxdydz 

^d  ^sen  ^d  ^d 

0 2



0





0





_abc

APPLICAZIONI AL APPLICAZIONI AL

CALCOLO DI CALCOLO DI

AREE, VOLUMI, AREE, VOLUMI,

BARICENTRI, BARICENTRI,

MOMENTI

MOMENTI

Già abbiamo applicato le

trasformazioni di coordinate per calcolare alcune aree e volumi

notevoli. Vogliamo ora presentare alcuni ulteriori esempi

Si calcolino i seguenti integrali doppi

1) Calcolare

x

 y

E

 _dxdy

dove E è la semicorona circolare con y ≥ 0 compresa tra i cerchi di raggi 2 e 3 e centro nell’origine

2) Calcolare

arctg y x

E

 ^dxdy

dove E è la parte di piano compresa fra la spirale d’Archimede

d’equazione  = 2 , per 0≤  ≤ π, e l’asse x.

3) Calcolare

(x

 y

)dxdy

E



dove E è la parte di piano compresa fra l’asse x, la circonferenza di

raggio 1 e centro l’origine e la

circonferenza di raggio 1 e centro in (1,0)^T

Si calcolino i seguenti volumi 1) Volume della porzione di

semisfera per z ≥ 0, che si proietta Sul piano x y sulla circonferenza di diametro r e centro in (r/2,0)^T

2) Volume della porzione di cilindro circolare d’equazione z = √1-x² ,

che si proietta sul piano x y sul

triangolo rettangolo di vertici (0,0)^T, (1,0)^T, (0,1)^T

3) Volume della porzione di

superficie paraboloidica d’equazione 2 p z = x² + y² che si proietta sul

piano x y in un cerchio con centro nell’origine a raggio r

BARICENTRI

Il baricentro d’una lamina piana E è dato dal punto di coordinate

x  xdxdy

E



m(E) , y 

ydxdy

E



m(E)

Si calcolino i seguenti baricentri 1) Di un triangolo rettangolo

2) Di un settore circolare 3) Di una semiellissi

4) Di un segmento di parabola

MOMENTI D’INERZIA

Il momento d’inerzia di un solido

di densità unitaria rispetto a un asse assunto come asse z, solido che

occupa la regione dello spazio E, è dato da

M  (x

 y

)dxdydz



Si calcolino i seguenti momenti d’inerzia

1) Di un parallelepipedo rettangolo, rispetto ad uno spigolo

2) Di un cilindro rotondo, rispetto all’asse

3) Di un ellissoide, rispetto ad un asse