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Esercizio 8.2. [8.41] Sia V = R 3 e siano C e B 0 = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 2) } rispettivamente la base canonica e un’altra base di V .

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Academic year: 2021

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CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA

FOGLIO DI ESERCIZI 8 – GEOMETRIA 2009/10

Esercizio 8.1. [8.40] Sia T : R 2 → R 3 l’applicazione definita da T (x, y) = (2x, x − y, 2y), e siano B = {(1, 0), (1, 1) } e B 0 = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 2) } due basi di R 2 e R 3 rispettivamente. Determinare la matrice A = M B B

0

(T ) associata a T rispetto alle basi B e B 0 .

Esercizio 8.2. [8.41] Sia V = R 3 e siano C e B 0 = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 2) } rispettivamente la base canonica e un’altra base di V .

a) Determinare la matrice P = M C B

0

di transizione da C a B 0 . b) Svolgere l’esercizio precedente utilizzando la matrice P .

Esercizio 8.3. [8.55] Si consideri la funzione lineare T : R 3 → R 3 la cui matrice rispetto alla base canonica `e

M (T ) =

1 0 3

−1 1 1

2 2 1

e sia B = {v 1 = (1, 1, 0), v 2 = (1, 1, 1), v 3 = (1, 0, 1)} una base di R 3 .

a) Si determini la matrice M B E (T ) associata a T rispetto alla base B nel dominio e rispetto alla base canonica E nel codominio.

b) Si determini la matrice M B (T ) associata a T rispetto alla base B.

Esercizio 8.4. [8.49] Sia T : R 3 ⇒ R 3 l’applicazione lineare definita da:

A =

1 −3 3 3 −5 3 6 −6 4

a) Verificare che l’insieme B = {v 1 = (1, 1, 0), v 2 = (−1, 0, 1), v 3 = (1, 1, 2)} `e una base di R 3 . b) Determinare la matrice associata a T rispetto alla base B.

Esercizio 8.5. [9.1] Verificare che v = (1, 0, 0, 1) `e autovettore dell’applicazione lineare T cos`ı definita T (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = (2x 1 − 2x 3 , −x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 , x 3 , x 1 − 2x 3 + x 4 )

Determinare inoltre il relativo autovalore.

Esercizio 8.6. [9.2] Sia T : R 3 → R 3 l’applicazione lineare definita da T (x, y, z) = (x, y + 3z, x + y − z)

a) Verificare che i vettori v 1 = (0, 3, 1), v 2 = (0, −1, 1) e v 3 = (−1, 1, 0) sono autovettori di T e determinare i rispettivi autovalori.

b) Verificare che l’insieme B = {v 1 , v 2 , v 3 } `e una base di R 3 .

c) Determinare la matrice (diagonale) D associata a T rispetto alla base B.

d) Determinare la matrice diagonalizzante P (cio´e la matrice P tale che P −1 AP = D).

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