Algebra (Informatica) – 13 gennaio 2004

Algebra (Informatica) – 13 gennaio 2004

Con pi`u di 18 punti si pu`o fare l’orale o accettare il voto dello scritto (30 e lode per chi risolve tutti gli esercizi); con meno di 17 punti si deve rifare lo scritto; con 17 o 18 punti si

`e ammessi all’orale.

1. Trovare il minimo intero positivo x tale che: (4 punti) a) 13x = 8 mod 23

b) 13x = −11 mod 17

Soluzione:

a) x = 8/13 mod 23 = 13 , b) x = −11/13 mod 17 = 7 2. Risolvere in numeri interi la seguente equazione: (4 punti)

23x− 27y = −7

Soluzione:

{x = 22 + 27k, y = 19 + 23k} dove k `e un intero relativo qualsiasi.

3. Trovare il pi`u piccolo intero positivo x che diviso per 111 abbia resto 11 e diviso per 112 abbia resto 12. (4 punti)

Soluzione:

si deve risolvere il sistema

½ x = 11 mod 111 x = 12 mod 112

La prima relazione fornisce x = 11 + 111N, la seconda x = 12 + 112M (con N e M interi) per cui si ottiene 111N = 1 + 112M, la cui soluzione `e:

{M = 110 + 111k, N = 111 + 112k}

(con k intero). Il pi`u piccolo x positivo `e quindi:

x = 11 + 111× 111 = 12 + 112 × 110 = 12 332 4. Trovare, in campo complesso, le tre radici dell’equazione:

x³ − 2ix²+ 15x + x²− 2ix + 15 = 0 (4 punti)

Soluzione:

basta osservare che x =−1 `e una radice, per cui, dividendo:

x³− 2ix²+ 15x + x²− 2ix + 15 = (x + 1)¡

x²− 2ix + 15¢ in definitiva le tre radici sono:

{x = 1} , {x = −3i} , {x = 5i}

1

5. Calcolare, in forma trigonometrica, le radici quadrate di 16 + 16i (5 punti)

Soluzione:

osservato che e^iπ1/4 = ¹₂√

2 (1 + i) si ottiene:

16 + 16i = 16 (1 + i) = 16√ 2e^iπ1/4 le radici richieste sono quindi:

±4√⁴ 2

µ cos1

8π + i sin1 8π

¶

6. Sia ununa successione di numerirazionali ; trovare unsapendo che: (4 punti) 4un+2+ 12un+1+ 9un = 0

u0 = 1 u1 = 3

Soluzione:

l’equazione di secondo grado associata `e 4x² + 12x + 9 = 0 con due soluzioni coincidenti: ½

α = β = −3 2

¾

la soluzione generale `e quindi: un= Aαⁿ+ Bnβⁿ. Le costanti A e B si ottengono da:

u0 = A = 1 u1 = α + Bβ = 3 Da cui B =−3. In definitiva:

un= µ

−3 2

¶n

− 3n µ

−3 2

¶n

7. Dimostrare che il numero:

5444444444444+ 12

`e divisibile per 13. (6 punti)

Soluzione

: basta calcolare, modulo 13, le potenze di 5 fino ad ottenere 1 : 5²mod 13 = 12, 5³mod 13 = 8, 5⁴mod 13 = 1

Segue immediatamente che

5444444444444mod 13 =¡

5⁴¢111111111111

mod 13 = (1)111111111111

= 1

e quindi: ¡

5444444444444

+ 12¢

mod 13 = (1 + 12) mod 13 = 0

2