Anello su cerchio in rotazione

Anello su cerchio in rotazione

Figure 1:

Un profilo circolare di raggio R `e in rotazione con velocit`a angolare ~ω costante intorno all’asse z che contiene un diametro del cerchio. Un anello di massa m `e vincolato a scorrere senza attrito lungo il profilo circolare.

1. Si determinino le eventuali posizioni di equilibrio dell’anello.

2. Se θ₀ ´e una posizione di equilibrio non nulla, determinare il periodo delle piccole oscillazioni.

Soluzione 1

Nella “posizione di equilibrio”, l’anello percorre una circonferenza di raggio R sin θ₀, di conseguenza `e soggetto ad una accelerazione (centripeta):

~a = −ω²R sin θ₀ˆe_ρ (1)

essendo il versore ˆe_ρ espresso in coordinate cilindriche.

1

Le forze che agiscono sull’anello sono la forza peso e la reazione vincolare del profilo circolare, radiale in quanto l’anello scorre senza attrito.

F = −mgˆ~ e_z − N ˆe_r (2)

Il versore ˆe_z `e scritto in coordinate cilindriche, mentre il versore ˆe_r in coordinate sferiche.

Utilizziamo le coordinate sferiche; questo sar`a utile in particolare quando vorremo trovare le piccole oscillazioni (in θ) intorno alla posizione di equilibrio. Per far questo sono utili i seguenti prodotti scalari:

ˆ

eρ· ˆer = sin θ ˆez· ˆer = − cos θ ˆ

e_ρ· ˆe_θ = cos θ eˆ_z· ˆe_θ = sin θ (3) Di conseguenza, nella posizione di equilibrio θ = θ₀:

 −mω²R sin²θ₀ = mg cos θ₀− N

−mω²R sin θ₀cos θ₀ = −mg sin θ₀ (4) Le posizioni di equilibrio si ricavano dalla seconda equazione. Le soluzioni sono:

( sin θ0 = 0 → θ0 = 0, π cos θ₀ = g

Rω²

(5)

La seconda soluzione `e definita solamente se ω² > g/R.

Soluzione 2

Se adesso la massa pu`o oscillare intorno alla posizione di equilibrio, la sua accelerazione avr`a una componente aggiuntiva che sar`a diretta lungo il versore ˆe_θ. Di conseguenza possiamo modificare la seconda equazione del sistema:

mR¨θ − mω²R sin θ cos θ = −mg sin θ (6) da cui:

θ + (¨ g

R − ω²cos θ) sin θ = 0 (7)

Questa equazione differenziale non si risolve in termini di funzioni elementari, per`o pu`o essere risolta nell’ipotesi di piccoli scostamenti dalla posizione di equilibrio stabile.

Sia θ = θ₀ + , con  << θ₀. In questo caso possiamo sviluppare al prim’ordine le due funzioni trigonometriche:

cos(θ0+ ) = cos θ0−  sin θ0+ O(²)

sin(θ₀+ ) = sin θ₀+  cos θ₀+ O(²) (8) Sostituendo in eq.(7), e tenendo solamente i termini al primo ordine in , si ha:

¨

 + (g

R − ω²cos θ₀+ ω²sin θ₀)(sin θ₀+  cos θ₀) = ¨ + (ω²sin²θ₀) = 0 (9) Risulta, quindi, che l’anello oscilla intorno alla posizione di equilibrio con una pul- sazione ω sin θ₀.

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