Risluzione di sistemi quadrati. Applicazioni lineari 1. Si considerino la matrice

Tutorato 5

Risluzione di sistemi quadrati. Applicazioni lineari 1. Si considerino la matrice

A =









1 0 1 0

0 h 1 2

2 0 1 0

3 0 1 h − 1









e il vettore b =







 0 h h h







 .

• Si discuta la risolubilita’ del sistema Ax = b al variare di h.

• Per h = 3 si calcolino le soluzioni.

2. Si faccia un’esempio di una funzione f : V → W fra due spazi vettoriali tale che:

• f(0

) 6= 0

(e quindi non e’ lineare);

• f non e’ lineare ma f(0

) = 0

;

• f rispetta il prodotto per uno scalare, ma non la somma (cioe’ ∀k ∈ K e ∀v ∈ V , f (kv) = kf (v) ma esistono v

, v

∈ V tali che f (v

+ v

) 6= f (v

) + f (v

);

• f rispetta la somma ma non il prodotto per uno scalare.

3. Si costruisca un esempio di un’applicazione lineare fra due spazi vettoriali tale che

• dim(ker(f)) = dim(Im(f))

• ker(f) = 0

;

• Im(f) = 0

;

• ker(f) = Im(f);

• dim(ker(f)) = 1 e dim(Im(f)) = 2.

4. Si consideri la funzione f

: R

→ R

tale che f















 x

x

x

x

















=









kx

+ k + 1 (k + 1)x

+ x

+ x

x

+ x

x

+ x

+ x

+ x









• Stabilire per quali k f

e’ un’applicazione lineare

• Per i valori di k per cui f

e’ lineare determinare una base e la dimensione di ker(f );

• Per i valori di k per cui f

e’ lineare determinare una base e la dimensione di Im(f ).

5. Si consideri la funzione f

: R

[x] → R

[x] data da f (p(x)) = (x − h)p(x).

• Mostrare che f

e’ un’applicazione lineare per ogni h;

• Determinare una base e la dimensione di ker(f

) al variare di h;

• Determinare la dimensione di Im(f

) al variare di h.

6. Siano V e W due K spazi vettoriali e f : V → W un’applicazione lineare. Quali delle seguenti affermazioni sono vere?

a) dim(ker(f )) ≤ dim(V );

b) dim(ker(f )) ≤ dim(W );

c) dim(Im(f )) ≤ dim(V );

d) dim(Im(f )) ≤ dim(W );

e) Se V e’ finitamente generato ker(f ) e Im(f ) sono necessariamente finitamente generati;

f) Se W e’ finitamente generato ker(f ) e Im(f ) sono necessariamente finitamente generati;

g) Se W e’ finitamente generato Im(f ) e’ finitamente generato;

h) Se dim(ker(f )) = dim(Im(f )) allora dim(V ) = 2 dim(ker(f ));

i) Se dim(ker(f )) = dim(Im(f )) allora dim(W ) = dim(ker(f ));

l) Se dim(ker(f )) = dim(Im(f )) allora dim(W ) ≥

dim(V ).