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PROVA SCRITTA DI ALGEBRA I 17 Settembre 2003
1. Dimostrare che un sottogruppo normale H di ordine 2 di un gruppo G `e contenuto in Z(G).
2. Sia A un anello, S un insieme e AS l’anello delle applicazioni da S in A. Fissato s ∈ S, provare che il sottoinsieme di AS
Is = {f ∈ AS|f (s) = 0}
`
e un ideale di AS.
3. Per quali campi Zp il polinomio x3+ 2x2+ 2x + 4 `e divisibile per x2+ x + 1?
4. Si risolva il sistema di congruenze
3x ≡ 1 (mod 2) 2x ≡ −1 (mod 3) 5x ≡ 4 (mod 7).
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