2. m = 0 assunto in (0, 1) e M = √

(1)

ANALISI MATEMATICA II- 8 GENNAIO 2018 - C.d.L.: EDIQQ, EDILMU.

Il numero del compito `e dato dall’addendo aggiunto a x ² nei denominatori dell’esercizio 7.

COMPITO 1

1. f `e continua in (0, 0); esistono tutte le derivate direzionali e ^∂f _∂~v (0, 0) = 7v ₁ v ² ₂ , quindi le derivate parziali sono nulle. Verificando che ^∂f _∂~v (0, 0) 6= ∇f (0, 0) · ~v o mediante la definizione, si mostra che f non `e differenziabile in (0, 0).

2. m = 0 assunto in (0, 1) e M = √

5 assunto in (−2, 2) e (2, 0).

3. L = 6 4. 4π

5. {f _n } converge puntualmente (ma non uniformemente) in I = [0, 1] a f con f (x) = 0 se 0 ≤ x < 1 e f (1) = log 3. Converge uniformemente in ogni insieme [0, b] (con 0 < b < 1).

6. La serie `e a termini positivi. Per β > 1/4 la serie converge puntualmente in tutto [1, +∞[ (se β ≤ 1/4 la serie diverge positivamente). Per β > 1/4 la serie converge totalmente solo in [1, M ] con M ≥ 1.

7. α = 2, un potenziale ϕ(x, y) = y ³ log(x ² + 1) + x arctan y, quindi R

Γ

−

→ F · dΓ = ϕ(1, 1) − ϕ(0, 0) = log 2 + ^π ₄

8. f (t, y) = _e ^y−2

y

+2 è C ¹ (R ² ), e sublineare, quindi esistenza ed unicità globali; u = 2 soluzione stazionaria; se y ₀ > 2, soluzione u crescente; se y ₀ < 2 soluzione u decrescente. Se y ₀ < 2, la soluzione u è concava; se y ₀ > 2, ∃t ^∗ tale che per t < t ^∗ u è convessa e per t > t ^∗ u è concava. Se y ₀ < 2, lim _t→+∞ u(t) = −∞ e u = 2 è asintoto orizzontale per t → −∞; se y ₀ > 2, lim _t→+∞ u(t) = +∞ e u = 2 è asintoto orizzontale per t → −∞.

COMPITO 2

1. f `e continua in (0, 0); esistono tutte le derivate direzionali e ^∂f _∂~v (0, 0) = 6v ₁ v ² ₂ , quindi le derivate parziali sono nulle. Verificando che ^∂f _∂~v (0, 0) 6= ∇f (0, 0) · ~v o mediante la definizione, si mostra che f non `e differenziabile in (0, 0).

2. m = 0 assunto in (0, 2) e M = 2 √

5 assunto in (−4, 4) e (4, 0).

3. L = 9 4. 9π

5. {f _n } converge puntualmente (ma non uniformemente) in I = [0, 1] a f con f (x) = 0 se 0 ≤ x < 1 e f (1) = log 4. Converge uniformemente in ogni insieme [0, b] (con 0 < b < 1).

6. La serie `e a termini positivi. Per β > 1/6 la serie converge puntualmente in tutto [1, +∞[ (se β ≤ 1/6 la serie diverge positivamente). Per β > 1/6 la serie converge totalmente solo in [1, M ] con M ≥ 1.

7. α = 2, un potenziale ϕ(x, y) = y ³ log(x ² + 2) + x arctan y, quindi R

Γ

−

→ F · dΓ = ϕ(1, 1) − ϕ(0, 0) =

log 3 + ^π ₄

(2)

8. f (t, y) = _e ^y−3

y

+3 è C ¹ (R ² ), e sublineare, quindi esistenza ed unicità globali; u = 3 soluzione stazionaria; se y ₀ > 3, soluzione u crescente; se y ₀ < 3 soluzione u decrescente. Se y ₀ < 3, la soluzione u è concava; se y ₀ > 3, ∃t ^∗ tale che per t < t ^∗ u è convessa e per t > t ^∗ u è concava. Se y ₀ < 3, lim _t→+∞ u(t) = −∞ e u = 3 è asintoto orizzontale per t → −∞; se y ₀ > 3, lim _t→+∞ u(t) = +∞ e u = 3 è asintoto orizzontale per t → −∞.

COMPITO 3

1. f `e continua in (0, 0); esistono tutte le derivate direzionali e ^∂f _∂~v (0, 0) = 5v ₁ v ² ₂ , quindi le derivate parziali sono nulle. Verificando che ^∂f _∂~v (0, 0) 6= ∇f (0, 0) · ~v o mediante la definizione, si mostra che f non `e differenziabile in (0, 0).

2. m = 0 assunto in (0, 3) e M = 3 √

5 assunto in (−6, 6) e (6, 0).

3. L = 12 4. 16π

5. {f _n } converge puntualmente (ma non uniformemente) in I = [0, 1] a f con f (x) = 0 se 0 ≤ x < 1 e f (1) = log 5. Converge uniformemente in ogni insieme [0, b] (con 0 < b < 1).

6. La serie `e a termini positivi. Per β > 1/8 la serie converge puntualmente in tutto [1, +∞[ (se β ≤ 1/8 la serie diverge positivamente). Per β > 1/8 la serie converge totalmente solo in [1, M ] con M ≥ 1.

7. α = 2, un potenziale ϕ(x, y) = y ³ log(x ² + 3) + x arctan y, quindi R

Γ

−

→ F · dΓ = ϕ(1, 1) − ϕ(0, 0) = log 4 + ^π ₄

8. f (t, y) = _e ^y−4

y

+4 `e C ¹ (R ² ), e sublineare, quindi esistenza ed unicit`a globali; u = 4 soluzione

stazionaria; se y ₀ > 4, soluzione u crescente; se y ₀ < 4 soluzione u decrescente. Se y ₀ < 4,

la soluzione u è concava; se y ₀ > 4, ∃t ^∗ tale che per t < t ^∗ u è convessa e per t > t ^∗ u è

concava. Se y ₀ < 4, lim _t→+∞ u(t) = −∞ e u = 4 `e asintoto orizzontale per t → −∞; se y ₀ > 4,

lim _t→+∞ u(t) = +∞ e u = 4 `e asintoto orizzontale per t → −∞.

2. m = 0 assunto in (0, 1) e M = √

ANALISI MATEMATICA II- 8 GENNAIO 2018 - C.d.L.: EDIQQ, EDILMU.

Il numero del compito `e dato dall’addendo aggiunto a x 2 nei denominatori dell’esercizio 7.

COMPITO 1

1. f `e continua in (0, 0); esistono tutte le derivate direzionali e ∂f ∂~v (0, 0) = 7v 1 v 2 2 , quindi le derivate parziali sono nulle. Verificando che ∂f ∂~v (0, 0) 6= ∇f (0, 0) · ~v o mediante la definizione, si mostra che f non `e differenziabile in (0, 0).

2. m = 0 assunto in (0, 1) e M = √

5 assunto in (−2, 2) e (2, 0).

3. L = 6 4. 4π

5. {f n } converge puntualmente (ma non uniformemente) in I = [0, 1] a f con f (x) = 0 se 0 ≤ x < 1 e f (1) = log 3. Converge uniformemente in ogni insieme [0, b] (con 0 < b < 1).

6. La serie `e a termini positivi. Per β > 1/4 la serie converge puntualmente in tutto [1, +∞[ (se β ≤ 1/4 la serie diverge positivamente). Per β > 1/4 la serie converge totalmente solo in [1, M ] con M ≥ 1.

7. α = 2, un potenziale ϕ(x, y) = y 3 log(x 2 + 1) + x arctan y, quindi R

Γ

−

→ F · dΓ = ϕ(1, 1) − ϕ(0, 0) = log 2 + π 4

8. f (t, y) = e y−2

COMPITO 2

1. f `e continua in (0, 0); esistono tutte le derivate direzionali e ∂f ∂~v (0, 0) = 6v 1 v 2 2 , quindi le derivate parziali sono nulle. Verificando che ∂f ∂~v (0, 0) 6= ∇f (0, 0) · ~v o mediante la definizione, si mostra che f non `e differenziabile in (0, 0).

2. m = 0 assunto in (0, 2) e M = 2 √

5 assunto in (−4, 4) e (4, 0).

3. L = 9 4. 9π

5. {f n } converge puntualmente (ma non uniformemente) in I = [0, 1] a f con f (x) = 0 se 0 ≤ x < 1 e f (1) = log 4. Converge uniformemente in ogni insieme [0, b] (con 0 < b < 1).

6. La serie `e a termini positivi. Per β > 1/6 la serie converge puntualmente in tutto [1, +∞[ (se β ≤ 1/6 la serie diverge positivamente). Per β > 1/6 la serie converge totalmente solo in [1, M ] con M ≥ 1.

7. α = 2, un potenziale ϕ(x, y) = y 3 log(x 2 + 2) + x arctan y, quindi R

Γ

−

→ F · dΓ = ϕ(1, 1) − ϕ(0, 0) =

log 3 + π 4

8. f (t, y) = e y−3

COMPITO 3

1. f `e continua in (0, 0); esistono tutte le derivate direzionali e ∂f ∂~v (0, 0) = 5v 1 v 2 2 , quindi le derivate parziali sono nulle. Verificando che ∂f ∂~v (0, 0) 6= ∇f (0, 0) · ~v o mediante la definizione, si mostra che f non `e differenziabile in (0, 0).

2. m = 0 assunto in (0, 3) e M = 3 √

5 assunto in (−6, 6) e (6, 0).

3. L = 12 4. 16π

5. {f n } converge puntualmente (ma non uniformemente) in I = [0, 1] a f con f (x) = 0 se 0 ≤ x < 1 e f (1) = log 5. Converge uniformemente in ogni insieme [0, b] (con 0 < b < 1).

6. La serie `e a termini positivi. Per β > 1/8 la serie converge puntualmente in tutto [1, +∞[ (se β ≤ 1/8 la serie diverge positivamente). Per β > 1/8 la serie converge totalmente solo in [1, M ] con M ≥ 1.

7. α = 2, un potenziale ϕ(x, y) = y 3 log(x 2 + 3) + x arctan y, quindi R

Γ

−

→ F · dΓ = ϕ(1, 1) − ϕ(0, 0) = log 4 + π 4

8. f (t, y) = e y−4

+4 `e C 1 (R 2 ), e sublineare, quindi esistenza ed unicit`a globali; u = 4 soluzione

stazionaria; se y 0 > 4, soluzione u crescente; se y 0 < 4 soluzione u decrescente. Se y 0 < 4,

la soluzione u è concava; se y 0 > 4, ∃t ∗ tale che per t < t ∗ u è convessa e per t > t ∗ u è

concava. Se y 0 < 4, lim t→+∞ u(t) = −∞ e u = 4 `e asintoto orizzontale per t → −∞; se y 0 > 4,

lim t→+∞ u(t) = +∞ e u = 4 `e asintoto orizzontale per t → −∞.

Il numero del compito `e dato dall’addendo aggiunto a x ² nei denominatori dell’esercizio 7.

1. f `e continua in (0, 0); esistono tutte le derivate direzionali e ^∂f _∂~v (0, 0) = 7v ₁ v ² ₂ , quindi le derivate parziali sono nulle. Verificando che ^∂f _∂~v (0, 0) 6= ∇f (0, 0) · ~v o mediante la definizione, si mostra che f non `e differenziabile in (0, 0).

5. {f _n } converge puntualmente (ma non uniformemente) in I = [0, 1] a f con f (x) = 0 se 0 ≤ x < 1 e f (1) = log 3. Converge uniformemente in ogni insieme [0, b] (con 0 < b < 1).

7. α = 2, un potenziale ϕ(x, y) = y ³ log(x ² + 1) + x arctan y, quindi R

→ F · dΓ = ϕ(1, 1) − ϕ(0, 0) = log 2 + ^π ₄

8. f (t, y) = _e ^y−2

1. f `e continua in (0, 0); esistono tutte le derivate direzionali e ^∂f _∂~v (0, 0) = 6v ₁ v ² ₂ , quindi le derivate parziali sono nulle. Verificando che ^∂f _∂~v (0, 0) 6= ∇f (0, 0) · ~v o mediante la definizione, si mostra che f non `e differenziabile in (0, 0).

5. {f _n } converge puntualmente (ma non uniformemente) in I = [0, 1] a f con f (x) = 0 se 0 ≤ x < 1 e f (1) = log 4. Converge uniformemente in ogni insieme [0, b] (con 0 < b < 1).

7. α = 2, un potenziale ϕ(x, y) = y ³ log(x ² + 2) + x arctan y, quindi R

log 3 + ^π ₄

8. f (t, y) = _e ^y−3

1. f `e continua in (0, 0); esistono tutte le derivate direzionali e ^∂f _∂~v (0, 0) = 5v ₁ v ² ₂ , quindi le derivate parziali sono nulle. Verificando che ^∂f _∂~v (0, 0) 6= ∇f (0, 0) · ~v o mediante la definizione, si mostra che f non `e differenziabile in (0, 0).

5. {f _n } converge puntualmente (ma non uniformemente) in I = [0, 1] a f con f (x) = 0 se 0 ≤ x < 1 e f (1) = log 5. Converge uniformemente in ogni insieme [0, b] (con 0 < b < 1).

7. α = 2, un potenziale ϕ(x, y) = y ³ log(x ² + 3) + x arctan y, quindi R

→ F · dΓ = ϕ(1, 1) − ϕ(0, 0) = log 4 + ^π ₄

8. f (t, y) = _e ^y−4

+4 `e C ¹ (R ² ), e sublineare, quindi esistenza ed unicit`a globali; u = 4 soluzione

stazionaria; se y ₀ > 4, soluzione u crescente; se y ₀ < 4 soluzione u decrescente. Se y ₀ < 4,

la soluzione u è concava; se y ₀ > 4, ∃t ^∗ tale che per t < t ^∗ u è convessa e per t > t ^∗ u è

concava. Se y ₀ < 4, lim _t→+∞ u(t) = −∞ e u = 4 `e asintoto orizzontale per t → −∞; se y ₀ > 4,

lim _t→+∞ u(t) = +∞ e u = 4 `e asintoto orizzontale per t → −∞.