I limiti di forma indeterminata sono tutti quei limiti per i quali , al contrario dei precedenti , non si ottiene immediatamente il risultato.
Le forme cosiddette forme di indeterminazione sono le seguenti : ( generalmente riferite alla funzione)
Esaminiamo quindi i casi più frequenti che si possono verificare :
1° caso :
Tale tipo di limite si risolve applicando i metodi della scomposizione ( il tutto per arrivare a semplificare).
0 0
;∞
∞
;±∞ ∞ m
;0× ∞
;( ) 00 ; ( ) ∞
0 ; ( ) 1∞
0 0 )
( ) lim (
0
=
→ B m x n x A x x
Es.
0 0 1
2 lim 2 3
1 =
−
− +
→ x
x x
x
( )( )
lim(
2)
11 2 lim 1
1
1 = − =−
−
−
−
→
→ x
x x x
x x
Es.
( )
00 1
2
lim1 2 3 2 =
−
− +
→ x
x x
x
( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
( )
21 1
lim 2 1
1 2 lim 1
1 1
2
lim1 1 1 1 =
+
− − + =
−
−
−
= −
− +
−
−
→
→
→ x
x x
x x x x
x x x
x x
x
2° caso :
Tale tipo di limite si risolve mediante raccoglimento a fattor comune , sia al numeratore che al denominatore , della variabile di grado massimo.
Es.
∞
−
∞
= +
−
− + +
+∞
→ x x
x x
x 3
2 3 4
lim
1 1 0
4 3 1 ) lim
1 1 (
4 ) 3 (1 lim
2 3 2 2
3
3 2 3
=
−
− +
= +
−
− + +
+∞
→ +∞
→
x x x x x x
x x x x
x x
Es. lim
x
x x
x x
→+∞
+ +
+ + = +∞
+∞
4 3
3 4
= +∞
− +
+
= +
− +
+ +
+∞
→ +∞
→
3 4 3 3
4
4 4 3
1 1
4 1 3
) lim 1 ( 1
4 ) 1 3
lim (
x x
x x x
x x
x x x
x x
∞
= ∞
∞
→ ( ( ) ) lim B m x
n x A x
1) lim ( ) ( ) x
An x
→∞Bm x =∞ n > m
2) lim ( ) ( ) x
An x
→∞Bm x =0 n < m
3) lim ( ) ( ) x
An x Bm x l
→∞ = ≠0 n = m
INDICE
NOTA : Il segno è stato valutato dal rapporto dei segni nella forma indeterminata.
Questo 2° caso lo possiamo riassumere nelle seguenti tre possibili casistiche :
( facciamo presente che il fatto di non indicare i relativi segni per infinito stà a significare che questo può assumerli indifferentemente tutti).
valutare il rapporto dei segni nella forma indeterminata .
Per ottenere l'esatto valore del termine l , eseguiremo il rapporto dei coefficienti dei termini di grado massimo.
Es.
∞
−
∞
= +
−
− + +
+∞
→ x x
x x
x 3
2 3 4
lim poiché n = 2 , m = 3 lim 2 33 4 =0
−
− + +
+∞
→ x x
x x
x
Es.
∞ +
∞
= + + +
+ +
+∞
→ x x
x x
x 3
4 3 4
lim poiché n = 4 , m = 3 =+∞
+ +
+ +
+∞
→ x x
x x
x 3
4 3 4
lim
Es.
∞
−
∞
= −
−
− +
−∞
→ 2
2
8 2
5 lim 4
x x
x x
x poiché n = 2 , m = 2
2 1 8 4 8
2
5
lim 4 2 2 =
−
= −
−
− +
−∞
→ x x
x x
x
3° caso : oppure :
Tale tipo di limite si risolve applicando le operazioni della razionalizzazione di radicali.
( Anche in questo caso è evidente che si arriva poi a semplificare).
Es.
0 0 1
2 lim 2
1 =
−
−
→ x
x
x
( )
( )
= − = ∞−
−
= −
−
× −
−
−
→
→
→ 2 2
lim 2 2
2 1
1 lim 2
2 2
2 2 1
2 lim 2
1 1
1 x x x
x x
x x
x
x x
x
Es.
0 0 1
1 1 lim 2
1 =
−
−
−
→ x
x
x
( )
2 1 1 1lim 2 )
1 2 2 ( 1
1 1 lim 2
) 1 2 2 (
) 1 1 2 ( 1
) 1 1 2 lim (
1 1
1 =
− + + =
−
−
−
= −
− +
− +
− ×
−
−
→
→
→ x x x
x x
x x
x
x x
x
0 0 )
( ) lim (
0
=
→ p x B n A m x x
x 0 0
) (
) lim (
0
=
→ n p x B
m x A x
x
INDICE
Es.
0 0 4
2
lim2 3 2 =
−
−
→ x
x
x
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
02 4 lim 2
2 2
4 2 lim 2
4 2
4 2 4 2
lim 2 3 2
2
3 2
3 2 2
3 2
2 3 = − =
−
−
= −
−
⋅ −
−
−
→
→
→
x x
x x
x x x
x
x x
x
4° caso : oppure :
Tale tipo di limite si risolve con il raccoglimento a fattor comune della variabile di grado massimo. ( Ricordiamo anche che possiamo sempre riferirci alla tabella del 2° caso e quindi applicando un confronto tra i relativi gradi).
Es.
∞
−
∞
= +
−
−
+∞
→ x
x
x 1
lim 2 4
1 1 1
1 4 lim 1 1
1 4 1 lim
1 4 1 lim
4 ) 1
lim ( 2 2 2 2
2
−
=
−
−
=
−
−
− =
−
− =
−
+∞
→ +∞
→ +∞
→ +∞
→
x x x x
x x x
x x x
x x
x x
x x
Es.
∞ +
∞
= − +
−
−∞
→ 2 2
lim 1
x x
x
1 )
2 1 (
1) 1 lim (
) 2 1 (
1) 1 lim (
) 2 1 (
1) 1 lim (
) 2 1 (
1) 1 lim (
2 2
2 2 2
−
= +
−
= − +
−
= − +
= − +
−
−∞
→
−∞
→
−∞
→
−∞
→
x x x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
N.B. Per l’esempio precedente si ricordi che : x2 = x , con
<
−
= >
0 0 x se x
x se x x
∞
=
∞∞
→ ( )
) lim (
p x B n A m x
x
∞=
∞∞
→ n p x
B m x A
x ( )
)
lim (
5° caso :
Tale limite si risolve evidenziando la variabile di grado massimo.
Es. lim→−∞
(
x2 −3x−4+x3)
= +∞−∞x
= −∞
− − +
−∞
→ 1 3 4 1
lim 3 2 3
x x x x
x
Sostanzialmente tale tipo di limite viene risolto considerando direttamente il termine di grado massimo.
lim→−∞
(
x2 −3x−4+x3)
= +∞−∞x
lim→−∞
(
x/2 −3/x−4/ +x3)
= −∞x
6° caso :
Tale tipo di limite si risolve applicando le operazioni di razionalizzazione ( è essenziale ricondurci alla forma ∞
∞ ) .
( )
lim ( )
x →∞ An x = ±∞ ∞ m
( ± ∞ ∞ )
=
∞ ±
→ ( ) ( ) m
lim n A m x B p x x
INDICE
Es. →+∞ x − x−x =
(
+∞−∞)
xlim 2 2
( )
1 )
2 1 1 ( lim 2 2 )
1 ( lim 2 2 )
1 ( lim 2
) 2 (
lim 2 )
2 (
lim 2 )
2 (
) 2 ) (
2 (
lim
2
2 2
2 2
2 2 2
−
=
+
−
= −
+
−
= −
+
−
⇒ −
+ =
−
= − +
−
−
= − +
− +
⋅ −
−
−
+∞
→ +∞
→ +∞
→
+∞
→ +∞
→ +∞
→
x x
x x x
x
x x x
x x
x x x
x x
x x
x x x x
x x
x x x x
x x
x x
x
x x
x
Es. + − + =
(
−∞+∞)
−∞
→ 2 4 2 1
lim x x2 x
x
( )
2 1 1 )
4 2 2 (
1 lim 2
1 ) 4 2
2 (
1 lim 2
1 ) 4 2
2 (
1 lim 2
) 1 2 4 2 (
1 lim 2
) 1 2 4 2 (
1 2 4 lim 4
) 1 2 4 2 (
) 1 2 4 2 ) ( 1 2 4 2 ( lim
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
=
− + +
= −
− + +
⇒ −
=
− +
−
= − +
−
−
⇒ −
+ =
−
−
− +
= − +
−
−
+
−
⋅ − +
− +
+∞
→ +∞
→
+∞
→ +∞
→
+∞
→
−∞
→
x x x
x x
x x x
x
x x x
x
x x
x x
x
x x x
x x x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
Es. →+∞ + x− x =
(
+∞−∞)
xlim 1 4
( )
∞
−
= +
+
+ −
⇒
= + +
+ − + =
+
−
= + + +
+
⋅ +
− +
+∞
→
+∞
→ +∞
→ +∞
→
1) 4 ( 1
4 1 1 lim
1) 4 ( 1
4 1 1 ) lim
4 1 (
4 lim 1
) 4 1 (
) 4 1 ) ( 4 1 ( lim
3 4 2
2 2
2 2 2
x x x
x x
x x
x x
x x x
x x
x x x
x x x x
x
x
x x
x
Forma
Tali tipi di forme indeterminate si affrontano inizialmente col ricondurle alle forme Nella maggior parte dei casi , poiché vi è un rapporto fra una funzione algebrica e una trascendente , è necessario risolvere il limite con il teorema di l’Hospital ; se le funzioni sono della stessa natura ( algebriche o trascendenti ) si possono riapplicare i metodi esposti in precedenza o più opportunamente procedere secondo le relative proprietà algebriche . a) Se si vuole ottenere la forma
00 sarà sufficiente dividere numeratore e denominatore , della forma iniziale , per il termine che tende a infinito .
Es.
( ) ( )
=
→ +
⇒
=
⋅
→ +
⇒
∞
⋅
⋅ =
→ +
⇒
∞
⋅
= + ⋅
→
0 0 ln
0 1 lim
ln ln1 ln lim0
1 0 ln lim0
0 0 ln
lim
x x x
x x x x x
x x x x
x x
b) Se si vuole ottenere la forma
∞
∞ sarà sufficiente dividere numeratore e denominatore , della forma iniziale , per il termine che tende a zero .
Es.
( ) ( )
∞
= ∞
→ +
⇒
=
⋅
→ +
⇒
∞
⋅
⋅ =
→ +
⇒
∞
⋅
= + ⋅
→
x x x
x x
x x x
x x x x
x x
ln1 lim0
1 ln lim0
1 0 ln lim0
0 0 ln
lim
0 ,
0⋅∞ ∞⋅
∞ , ∞ 0 0
INDICE
Riassumendo : forme
N.B. Nella forma
∞
∞ diventa sicuramente più vantaggioso rispetto ad Hospital , tranne che in alcuni casi particolari , avvalersi di un metodo di confronto basato sui grafici di alcuni infiniti elementari , ai quali riferirsi per stabilire il risultato del limite .
Grafici di infiniti elementari ( riferiti solo al primo quadrante )
Come si può notare , quando si fa tendere la x a +∞, le rispettive funzioni tendono ugualmente
∞
+ , ma con rapidità diversa l’una nei confronti dell’altra .
Ecco quindi che la funzione logaritmo ad esempio , essendo la più lenta nel tendere a +∞, viene a stabilire quello che si chiama un infinito di ordine inferiore rispetto a tutte le altre.
( )
⇒ Hospital
∞
⇒ ∞
⋅
∞
∞
⋅ ,
0 0 0
, 0
+∞
→ x x
y= xn
y= ax
y=
n x y=
1 ,
log >
= x a
y a
1 , a>
Algebricamente si ha :
( )
0 2 1
1 2 4 lim
2 1 1
2 4 1 lim
2 lim 4
1 2 lim 4
2 2
2 2
2 2
2
=
+ +
−
⇒ →+∞
=
+ +
−
= →+∞
+
→+∞ −
⇒
∞ +
∞
= + +
→+∞ −
x x
x x x
x x x
x x x
x x x x x
x x
che dimostra come il denominatore sia un infinito di ordine superiore!
Forme indeterminate del tipo
Sono generate da funzioni composte del tipo .
La risoluzione di limiti , che presentano tale tipologia di forma indeterminata , si riscontra nei seguenti casi:
a) Trasformazione ( secondo definizione logaritmica ) della funzione composta in funzione esponenziale di base prefissata . ( Di solito la base dei logaritmi Neperiani e = 2,71… ) Successivamente la riconduzione alle forme
∞
;∞ 0 0
(
00 , ∞0 , 1∞)
( )
x g( )xf
( )
x g( )x e f( )xg( )x eg( )x f( )xf = ln = ln
INDICE
