11 - Dipendenza in media

(1)

7b

La dipendenza in media

(2)

Quando si analizzano due caratteri, di cui almeno uno quantitativo, si può analizzare la dipendenza in media del carattere quantitativo (X) dall’altro (A).

Il punto di partenza è la suddivisione della popolazione in k gruppi, sulla base delle modalità assunte dal carattere qualitativo A.

(3)

Analizzare la dipendenza in media significa valutare in che misura la media del carattere quantitativo X tende a variare quando viene calcolata, anzichè sull’intera popolazione, all’interno dei k gruppi.

12

M1

 ²₂ M2

 ...

...

k2

Mk



(4)

I due caratteri X e A si dicono indipendenti in media se tutte le medie parziali sono uguali tra loro, cioè

M

k

M M

M 

₁



₂

 ... 

(5)

Questo normalmente non avviene, quindi i due caratteri in genere saranno dipendenti in media, però come al solito abbiamo bisogno di un indice statistico per valutare l’intensità di questa dipendenza.

(6)

Pensiamo ad esempio ai due caratteri Prezzo (X) e Zona (IGT, DOC, DOCG) (A) del nostro dataset Altroconsumo.

Analizzare la dipendenza in media del Prezzo dalla Zona significa valutare in che misura la media del Prezzo varia se viene calcolata, anzichè su tutti i 283 vini, nei sottogruppi dei vini IGT, DOC, DOCG.

(7)

Calcoliamo, per il carattere quantitativo Prezzo, medie e varianze parziali, cioè all’interno dei gruppi determinati dalle diverse modalità del carattere qualitativo Zona.

DOC DOCG IGT

medie parziali 5.5497 8.7612 5.0408

varianze parziali 8.7324 14.8555 4.9005

ni 169 49 65

(8)

1 2 1 1

n M



2 2 2 2

n M

 ...

...

k 2 k k

n M



DOC DOCG IGT

medie parziali 5.5497 8.7612 5.0408

ni 169 49 65

(9)

Le medie parziali sono diverse, quindi tra i due caratteri esiste dipendenza in media, vogliamo misurarne l’intensità.

DOC DOCG IGT

medie parziali 5.5497 8.7612 5.0408

ni 169 49 65

(10)

Prima di tutto calcoliamo la media generale

9889 .

283 5

65 0408

. 5 49

7612 .

8 169

5497 .

M  5      

DOC DOCG IGT

medie parziali 5.5497 8.7612 5.0408

ni 169 49 65

(11)

Un buon modo per giudicare quanto le medie parziali tendono a variare è considerare le differenze tra le medie parziali e la media generale (elevate al quadrato per evitare compensazioni di elementi di segno opposto).



^M₁ ^ ^M



²



^M₂ ^ ^M



²



^M₃ ^ ^M



²

(12)



^M₁ ^ ^M



²



^M₂ ^ ^M



²



^M₃ ^ ^M



²

DOC DOCG IGT

medie parziali 5.5497 8.7612 5.0408

0.8990 7.6858

0.1929

(13)

I tre valori appena calcolati ci mostrano quanto le singole medie parziali variano attorno alla media generale. Per sintetizzarli conviene calcolarne la media aritmetica (ponderata per le numerosità dei gruppi!)

 

65 0.8990

49 7.6858

169 0.1929

n M N M

1 ³

1

i i

2 i













 

(14)

Ora disponiamo di una misura di quanto le medie parziali variano attorno alla media generale (è una specie di varianza delle medie parziali).

 

65 0.8990

49 7.6858

169 0.1929

n M N M

1 ³

1

i i

2 i













 

(15)

Di certo, se il nostro indice vale 0, abbiamo indipendenza in media, ma se è diverso da 0 non sappiamo valutare quanto è elevato....

 



^k_i₁ M_i  M ²n_i N

1

(16)

Sarebbe ottimale individuare un valore massimo che questo indice può assumere, in modo da poterlo standardizzare e ottenere un nuovo indice compreso tra 0 e 1, facile da interpretare.

 



^k_i₁ M_i  M ²n_i N

1

(17)

Osserviamo meglio l’indicatore che abbiamo calcolato...

... e ricordiamo la regola della scomposizione della varianza:

 

^k_i₁ M_i  M ²n_i N

1

FRA NEI

2  VARTOT  VAR  VAR



(18)

dove



 



  ^k

i

i i k

k

NEI k n

N n

n n

VAR n

1

2 2

1

2 2

2 2 1

2

1 1

...

...  



     

 

 ^



 











 

k

k FRA k

n M

M

n n

n

n M

M n

M M

n M

VAR M

2

2 1

2 2

1 2 1

1

...

(19)

Quindi il nostro indicatore

è proprio la VAR_FRA che, per la regola di scomposizione della varianza, non può eccedere la VAR_TOT.

 

^k_i₁ M_i  M ²n_i N

1

(20)

La VAR_FRA può al massimo essere uguale alla VAR_TOT (nel caso in cui VAR_NEI sia uguale a 0)

FRA NEI

2  VARTOT  VAR  VAR



(21)

Quindi l’indicatore standardizzato per valutare l’intensità della dipendenza in media è dato dal rapporto tra VAR_FRA e VAR_TOT. Questo indice si chiama rapporto di correlazione di Pearson

TOT

VARFRA

2 VAR A

|

X





(22)

L’indice:

• vale 0 in caso di indipendenza in media

• vale 1 in caso di massima dipendenza in media

TOT

VARFRA

2 VAR A

|

X





(23)

Torniamo al nostro esempio. Abbiamo già calcolato VAR_FRA=1.6524.

Per calcolare VAR_TOT dobbiamo prima calcolare VAR_NEI e poi otterremo VAR_TOT come somma di VAR_FRA e VAR_NEI.

DOC DOCG IGT

medie parziali 5.5497 8.7612 5.0408

(24)

DOC DOCG IGT

medie parziali 5.5497 8.7612 5.0408

9125 .

283 8

65 9005

. 4 49

8555 .

14 169

7324 .

8

N n VAR 1 ^k

1

i 2 i

i NEI

 







 





 



(25)

DOC DOCG IGT

medie parziali 5.5497 8.7612 5.0408

10.5649 9125

. 8 6524

. 1

VAR VAR

VAR_TOT _FRA _NEI











(26)

DOC DOCG IGT

medie parziali 5.5497 8.7612 5.0408

0.1564 5649

. 10

6524 .

1 VAR

VAR

TOT 2 FRA

A

|

X   



(27)

0.1564 5649

. 10

6524 .

1 VAR

VAR

TOT 2 FRA

A

|

X   



La dipendenza in media tra Prezzo e Zona è pari al 15.64% del massimo teorico.