Si mostri quindi che le funzioni media e covarianza valgono µ(t

II Appello di Analisi Stocastica Cognome:

Laurea Magistrale in Matematica Nome:

31 marzo 2009 Matricola:

Nella risoluzione degli esercizi `e possibile utilizzare tutti i risultati enunciati a lezione, anche quelli non dimostrati.

Esercizio 1. Sia {Bt}_t∈[0,∞) un moto browniano reale, definito su uno spazio di probabilit`a (Ω, F , P). Introduciamo il processo C = {C_t}_t∈[0,1] definito da

C₀ := 0 , C_t := t B_1/t− B₁+ a
, dove a ∈ R `e un parametro fissato.

(a) Si spieghi perch´e C `e un processo gaussiano. Si mostri quindi che le funzioni media e covarianza valgono µ(t) := E(Ct) = a t e Γ(s, t) := Cov(Cs, Ct) = s ∧ t − s t.

(b) Si mostri che le variabili aleatorie X := C_1/2−C₀ e Y := C₁−C_1/2non sono indipendenti.

(c) Si mostri che il processo D = {Dt}_t∈[0,1], definito da Dt := a − C1−t, ha le stesse leggi finito-dimensionali di C.

(d) Si mostri che q.c. la funzione t 7→ Ct(ω) `e continua in [0, 1] (estremi inclusi).

(e) (*) Si mostri che, ∀t0 ∈ (0, 1) fissato, q.c. la funzione t 7→ C_t non `e derivabile in t0.

Soluzione 1. (a) Il processo C `e gaussiano perch´e le sue componenti sono funzioni affini delle componenti del moto browniano B, che `e un processo gaussiano.

Per linearit`a µ(t) = E(Ct) = a t, perch´e E(Bs) = 0. Passiamo alla covarianza, ri- cordando che Cov(B<sub>s</sub>, B<sub>t</sub>) = s ∧ t e che Cov(a, X) = 0 per ogni variabile aleatoria X ∈ L<sup>1</sup>. Possiamo supporre senza perdita di generalit`a che s ≤ t: usando la bilinearit`a, per 0 < s ≤ t ≤ 1 si ha

Γ(s, t) = Cov(C_s, C_t) = Cov s(B_1/s− B₁+ a), t(B_1/t− B₁+ a)

= s t Cov(B_1/s, B_1/t) − Cov(B1, B_1/t) − Cov(B_1/s, B1) + Cov(B1, B1)

= s t 1

t − 1 − 1 + 1



= s t 1 t − 1



= s − s t = s ∧ t − s t .

Resta da considerare il caso s = 0: dato che C0 = 0, si ha Cov(C0, Ct) = 0, quindi la formula Γ(s, t) = s ∧ t − s t vale per ogni s, t ∈ [0, 1].

(b) Per definizione si ha X = ¹₂(a + Z) e Y = ¹₂(a − Z), dove Z := B2− B₁ ∼ N (0, 1). Si ottiene quindi

E(X) = a

2, E(Y ) = a

2, E(XY ) = 1

4E(a²− Z²) = a²− 1

4 6= E(X) E(Y ) , che mostra che X e Y non sono scorrelate, quindi non sono indipendenti.

(c) Si ha E(Dt) = a − E(C1−t) = a − µ(1 − t) = a − a(1 − t) = a t = µ(t), e analogamente per la covarianza, se s ≤ t si ha

Cov(D_s, D_t) = Cov(a, a) − Cov(a, C_1−t) − Cov(C_1−s, a) + Cov(C_1−s, C_1−t)

= Cov(C1−s, C1−t) = Γ(1 − s, 1 − t) = (1 − s) ∧ (1 − t) − (1 − s)(1 − t)

= (1 − t) − (1 − s)(1 − t) = s − s t = s ∧ t − s t = Γ(s, t) .

Chiaramente D `e un processo gaussiano, perch´e le sue componenti sono funzioni affini delle componenti del processo gaussiano C. Avendo appena mostrato che le funzioni media e covarianza sono le stesse di C, i processi C e D hanno le stesse leggi finito-dimensionali.

(d) Per definizione Ct= t B_1/t−t (B₁+a) per t > 0 mentre C0 = 0. `E chiaro che t 7→ t (B1+a)

`e q.c. continua. Inoltre, sappiamo che il processo β<sub>t</sub>:= t B<sub>1/t</sub>per t > 0 e β<sub>0</sub>:= 0 `e un moto browniano, quindi `e q.c. continuo. Dato che l’intersezione di due eventi di probabilit`a uno ha probabilit`a uno, la continuit`a q.c. di C segue.

(e) Per definizione Ct = t B_1/t − t (B₁ + a) = βt− γ_t, dove abbiamo posto βt := t B_1/t e γt:= t (B1+ a). Intuitivamente, sappiamo che γ `e derivabile (`e lineare!) mentre β non lo

`e (`e un moto browniano), per cui C non lo `e.

Pi`u precisamente, per ogni ω ∈ Ω la funzione t 7→ γt(ω) `e lineare e dunque derivabile in t₀, con γ_t⁰₀(ω) = B₁(ω) + a. Se ω ∈ Ω `e tale che t 7→ C_t(ω) sia derivabile in t₀, allora anche t 7→ βt(ω) sarebbe derivabile in t0, come somma delle funzioni derivabili t 7→ γt(ω) e t 7→ C_t(ω). In altre parole, abbiamo mostrato che

t 7→ C_t `e derivabile in t₀

⊆ t 7→ β_t`e derivabile in t₀ .

Ma il processo β `e un moto browniano: l’evento a destra ha dunque probabilit`a nulla e quindi anche l’evento a sinistra.

Esercizio 2. Si consideri la seguente equazione differenziale stocastica:







dXt = 1

2 + X_t² dBt − Xt

(2 + X_t²)³ dt X0 = 0

.

(a) Si mostri che per l’equazione c’`e esistenza di soluzioni forti e unicit`a per traiettorie.

Supporremo d’ora in avanti di avere fissato uno spazio filtrato standard (Ω, F , {Ft}_t∈[0,∞), P), su cui sono definiti un {F_t}_t∈[0,∞)-moto browniano reale B = {B_t}_t∈[0,∞)e un processo continuo e adattato X = {X_t}_t∈[0,∞) che risolve l’equazione data.

(b) Si determini il valore di β ∈ (0, ∞) per cui il processo Y = {Yt}_t∈[0,∞) definito da

Yt := Xt + βX_t³ (1)

`e una {Ft}_t∈[0,∞)-martingala locale.

(c) Si mostri che, per il valore di β determinato al punto precedente, si ha in effetti Yt= σ Bt, per un opportuno σ ∈ (0, ∞) che `e richiesto di determinare.

(d) (*) Si mostri che, per il valore di β determinato al punto (b), si ha q.c. lim sup_t→∞Xt= +∞ e lim inf_t→∞X_t= −∞.

Sugg.: Si sfrutti la relazione (1) e il punto (c). Pu`o essere utile studiare la funzione x 7→ F (x) := x + βx³.

Soluzione 2. (a) Entrambe le funzioni ϕ(x) := 1/(2 + x²) e ψ(x) := x/(2 + x²)³ sono continue e tendono a zero per x → ±∞. Segue dunque che esse sono limitate: esiste cio`e M ∈ (0, ∞) tale che

|ϕ(x)| ≤ M , |ψ(x)| ≤ M , ∀x ∈ R . Le derivate prime sono date da

ϕ⁰(x) = − 2x

(2 + x²)², ψ⁰(x) = (2 + x²)³− x · 3(2 + x²)²· 2x

(2 + x²)⁶ = 2 − 5x² (2 + x²)⁴ , quindi anch’esse sono continue e tendono a zero per x → ±∞, in particolare sono limitate:

esiste cio`e L ∈ (0, ∞) tale che

|ϕ⁰(x)| ≤ L , |ψ⁰(x)| ≤ L , ∀x ∈ R . Per il teorema di Lagrange segue dunque che, per y ≥ x,

|ϕ(y) − ϕ(x)| =    

Z y x

ϕ⁰(z) dz    

≤ Z y

x

ϕ⁰(z) dz ≤

Z y x

L dz = L |y − x| ,

e analogamente per y ≤ x. Lo stesso vale per ψ, quindi entrambe le funzioni ϕ, ψ sono globalmente lipschitziane. Sono dunque soddisfatte le condizioni del teorema di esistenza di soluzioni forti e di unicit`a per traiettorie.

(b) Applicando la formula di Itˆo si ottiene dYt = (1 + 3 β X_t²) dXt + 1

26 β XtdhXit

= 1 + 3 β X_t²

2 + X_t² dBt +  −X_t(1 + 3 β X_t²)

(2 + X_t²)³ + 3 β Xt

(2 + X_t²)²

 dt

= 1 + 3 β X_t²

2 + X_t² dBt + (6 β − 1)Xt

(2 + X_t²)³ dt .

Il processo Y `e una {Ft}<sub>t∈[0,∞)</sub>-martingala locale se e soltanto se il termine a variazione finita `e nullo, cio`e per β = ¹₆.

(c) Per β = ¹₆ si ha dYt= ¹⁺

1 2X_t²

2+X_t² dBt= ¹₂dBt, cio`e Yt= <sup>1</sup><sub>2</sub>Bt. Il valore di σ `e dunque ¹₂. (d) Per la relazione (1) si ha Yt = F (Xt) con F (x) := x + βx³. Dato che la funzione F

`e strettamente crescente, `e invertibile e possiamo scrivere X_t = F⁻¹(Y_t) = F⁻¹(¹₂B_t), grazie al punto (c). Dato che lim_x→+∞F (x) = +∞, segue che lim_x→+∞F⁻¹(x) = +∞.

Dato che q.c. lim sup_t→∞Bt = +∞, per q.o. ω ∈ Ω esiste una successione (aleatoria) di tempi {t_n = t_n(ω)}_n∈N tali che B_tn → +∞; di conseguenza X_tn = F⁻¹(¹₂B_tn) → +∞, e questo mostra che lim sup_t→∞Xt= +∞ q.c..

Con argomenti del tutto analoghi si mostra che lim inf_t→∞X_t= −∞ q.c..