(1)s ANALISI 1 - Edile Architettura 16 Gennaio 2012 Cognome: Nome: Matricola

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ANALISI 1 - Edile Architettura 16 Gennaio 2012

Cognome: Nome: Matricola:

• Risposta corretta: +1.5. Risposta errata: −0.5.

Le risposte corrette sono indicate dal simbolo ♣.

1. Poniamo

f (x) = x + α

x − 1 per x ≤ 2, f (x) = x + 1

x + 3 per x > 2.

Per quale valore di α la funzione f (x) `e continua in (1, +∞)? a α = ¹₇ ; b α = −¹₇ ; c α = ⁵₇ ; d ♣ α = −⁷₅ .

2. Di an sappiamo solo che limn→+∞an = π. Allora siamo certi che: a ♣ ∃ n tale che an ≥ 1

; b ∃ n tale che a_n ≥ 4 ; c ∀ n, a_n> 0; d ∀ n, a_n ≥ 0 .

3. Indichiamo con z un numero complesso. Allora {z ∈ C : zz = 0} `e: a ♣ un punto ; b un semipiano ; c una parabola ; d una retta .

4. La funzione f : R → R `e continua e derivabile e tale che limx→−∞f (x) = 10, limx→+∞f (x) =

−5, f (−3) = −2, f (3) = 1. Allora `e sicuramente vero che: a ♣ f<sup>0</sup>(x) ha almeno 2 zeri ; b f (x) ha almeno 4 zeri ; c f (x) ha al massimo 1 zero ; d f<sup>0</sup>(x) ha al massimo 2 zeri . 5. La funzione f : R → R `e continua, e f (−x) = −f (x). Quale delle seguenti affermazioni

`

e sicuramente vera? a Rπ

0 f (x)dx = 0; b R0

0 f (x)dx = 1; c ♣R−π

π f (x)dx = 0;

d R0

−πf (x)²dx = 0.

6. La funzione f : [a, b] → R `e continua, con f (a) > 0, f (b) < 0. Quale delle seguenti affermazioni

`

e sicuramente vera? a ♣ ∃ c ∈ (a, b) : f (c) = f (a)+f (b)

2 ; b ∃ c ∈ (a, b) : f (c) = f (b) ; c ∃ c ∈ (a, b) : f (c) = f (a) ; d ∃ c ∈ (a, b) : f (c) > f (a) .

7. La funzione f : R → R `e continua e periodica con periodo T > 0. Quale delle seguenti affermazioni `e sicuramente vera? a R3T

0 f (x)dx = RT

0 f (x + 3T )dx; b R3T

0 f (x)dx = RT

0 f (3x)dx; c ♣R3T

0 f (x)dx = 3RT

0 f (x)dx ; d R3T

0 f (x)dx =RT

0 f (x)dx.

8. Poniamo f (x) =

√x²−1

x−1 . Allora: a lim_x→1⁻f (x) = +∞ ; b lim_x→1⁻f (x) = −∞ ; c ♣ lim_x→1⁺f (x) = +∞ ; d limx→1f (x) = +∞ .

ANALISI 1 - Edile Architettura 16 Gennaio 2012

Cognome: Nome: Matricola:

• Risposta corretta: +1.5. Risposta errata: −0.5.

Le risposte corrette sono indicate dal simbolo ♣.

1. La funzione f : [a, b] → R `e continua, con f (a) > 0, f (b) < 0. Quale delle seguenti affermazioni

`

e sicuramente vera? a ∃ c ∈ (a, b) : f (c) = f (b) ; b ∃ c ∈ (a, b) : f (c) = f (a) ; c ∃ c ∈ (a, b) : f (c) > f (a) ; d ♣ ∃ c ∈ (a, b) : f (c) = f (a)+f (b)

2 .

2. Indichiamo con z un numero complesso. Allora {z ∈ C : zz = 0} `e: a un semipiano ; b una parabola ; c una retta ; d ♣ un punto .

3. La funzione f : R → R `e continua e derivabile e tale che limx→−∞f (x) = 10, limx→+∞f (x) =

−5, f (−3) = −2, f (3) = 1. Allora `e sicuramente vero che: a f (x) ha almeno 4 zeri ; b f (x) ha al massimo 1 zero ; c f⁰(x) ha al massimo 2 zeri ; d ♣ f⁰(x) ha almeno 2 zeri .

4. La funzione f : R → R `e continua e periodica con periodo T > 0. Quale delle seguenti affermazioni `e sicuramente vera? a R3T

0 f (x)dx = RT

0 f (3x)dx; b ♣R3T

0 f (x)dx = 3RT

0 f (x)dx ; c R3T

0 f (x)dx =RT

0 f (x)dx; d R3T

0 f (x)dx =RT

0 f (x + 3T )dx.

5. Poniamo

f (x) = x + α

x − 1 per x ≤ 2, f (x) = x + 1

x + 3 per x > 2.

Per quale valore di α la funzione f (x) `e continua in (1, +∞)? a α = −¹₇ ; b α = ⁵₇ ; c ♣ α = −⁷₅ ; d α = ¹₇ .

6. Di an sappiamo solo che limn→+∞an = π. Allora siamo certi che: a ∃ n tale che an ≥ 4 ; b ∀ n, a_n > 0; c ∀ n, a_n≥ 0 ; d ♣ ∃ n tale che a_n≥ 1 .

7. Poniamo f (x) =

√x²−1

x−1 . Allora: a lim_x→1⁻f (x) = −∞ ; b ♣ lim_x→1⁺f (x) = +∞ ; c lim_x→1f (x) = +∞ ; d lim_x→1⁻f (x) = +∞ .

8. La funzione f : R → R `e continua, e f (−x) = −f (x). Quale delle seguenti affermazioni

`

e sicuramente vera? a R0

0 f (x)dx = 1; b ♣R−π

π f (x)dx = 0; c R0

−πf (x)²dx = 0;

d Rπ

0 f (x)dx = 0.

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Cognome: Nome: Matricola:

• Risposta corretta: +1.5. Risposta errata: −0.5.

Le risposte corrette sono indicate dal simbolo ♣.

1. Di a_n sappiamo solo che lim_n→+∞a_n= π. Allora siamo certi che: a ∀ n, a_n> 0; b ∀ n, an ≥ 0 ; c ♣ ∃ n tale che an ≥ 1 ; d ∃ n tale che an ≥ 4 .

2. La funzione f : R → R `e continua e derivabile e tale che lim_x→−∞f (x) = 10, lim_x→+∞f (x) =

−5, f (−3) = −2, f (3) = 1. Allora `e sicuramente vero che: a f (x) ha al massimo 1 zero ; b f<sup>0</sup>(x) ha al massimo 2 zeri ; c ♣ f<sup>0</sup>(x) ha almeno 2 zeri ; d f (x) ha almeno 4 zeri . 3. La funzione f : R → R `e continua e periodica con periodo T > 0. Quale delle seguenti

affermazioni `e sicuramente vera? a ♣R3T

0 f (x)dx = 3RT

0 f (x)dx ; b R3T

0 f (x)dx = RT

0 f (x)dx; c R3T

0 f (x)dx =RT

0 f (x + 3T )dx; d R3T

0 f (x)dx =RT

0 f (3x)dx.

4. Poniamo f (x) =

√x²−1

x−1 . Allora: a ♣ lim_x→1⁺f (x) = +∞ ; b limx→1f (x) = +∞ ; c lim_x→1⁻f (x) = +∞ ; d lim_x→1⁻f (x) = −∞ .

5. La funzione f : [a, b] → R `e continua, con f (a) > 0, f (b) < 0. Quale delle seguenti affermazioni

`

e sicuramente vera? a ∃ c ∈ (a, b) : f (c) = f (a) ; b ∃ c ∈ (a, b) : f (c) > f (a) ; c ♣ ∃ c ∈ (a, b) : f (c) = f (a)+f (b)

2 ; d ∃ c ∈ (a, b) : f (c) = f (b) .

6. Indichiamo con z un numero complesso. Allora {z ∈ C : zz = 0} `e: a una parabola ; b una retta ; c ♣ un punto ; d un semipiano .

7. La funzione f : R → R `e continua, e f (−x) = −f (x). Quale delle seguenti affermazioni

`

e sicuramente vera? a ♣R−π

π f (x)dx = 0; b R0

−πf (x)²dx = 0; c Rπ

0 f (x)dx = 0;

d R0

0 f (x)dx = 1.

8. Poniamo

f (x) = x + α

x − 1 per x ≤ 2, f (x) = x + 1

x + 3 per x > 2.

Per quale valore di α la funzione f (x) `e continua in (1, +∞)? a α = ⁵₇ ; b ♣ α = −⁷₅

; c α = ¹₇ ; d α = −¹₇ .

ANALISI 1 - Edile Architettura 16 Gennaio 2012

Cognome: Nome: Matricola:

• Risposta corretta: +1.5. Risposta errata: −0.5.

Le risposte corrette sono indicate dal simbolo ♣.

1. Indichiamo con z un numero complesso. Allora {z ∈ C : zz = 0} `e: a una retta ; b ♣ un punto ; c un semipiano ; d una parabola .

2. La funzione f : R → R `e continua e periodica con periodo T > 0. Quale delle seguenti affermazioni `e sicuramente vera? a R3T

0 f (x)dx =RT

0 f (x)dx; b R3T

0 f (x)dx =RT 0 f (x+

3T )dx; c R3T

0 f (x)dx = RT

0 f (3x)dx; d ♣R3T

0 f (x)dx = 3RT

0 f (x)dx . 3. Poniamo f (x) =

√x²−1

x−1 . Allora: a lim_x→1f (x) = +∞ ; b lim_x→1⁻f (x) = +∞ ; c lim_x→1⁻f (x) = −∞ ; d ♣ lim_x→1⁺f (x) = +∞ .

4. La funzione f : R → R `e continua, e f (−x) = −f (x). Quale delle seguenti affermazioni

`

e sicuramente vera? a R0

−πf (x)²dx = 0; b Rπ

0 f (x)dx = 0; c R0

0 f (x)dx = 1;

d ♣R−π

π f (x)dx = 0.

5. Di a_n sappiamo solo che lim_n→+∞a_n = π. Allora siamo certi che: a ∀ n, a_n ≥ 0 ; b ♣ ∃ n tale che an ≥ 1 ; c ∃ n tale che an ≥ 4 ; d ∀ n, an > 0.

6. La funzione f : R → R `e continua e derivabile e tale che lim_x→−∞f (x) = 10, lim_x→+∞f (x) =

−5, f (−3) = −2, f (3) = 1. Allora `e sicuramente vero che: a f⁰(x) ha al massimo 2 zeri ; b ♣ f⁰(x) ha almeno 2 zeri ; c f (x) ha almeno 4 zeri ; d f (x) ha al massimo 1 zero . 7. Poniamo

f (x) = x + α

x − 1 per x ≤ 2, f (x) = x + 1

x + 3 per x > 2.

Per quale valore di α la funzione f (x) `e continua in (1, +∞)? a ♣ α = −⁷₅ ; b α = ¹₇

; c α = −¹₇ ; d α = ⁵₇ .

8. La funzione f : [a, b] → R `e continua, con f (a) > 0, f (b) < 0. Quale delle seguenti affermazioni

`

e sicuramente vera? a ∃ c ∈ (a, b) : f (c) > f (a) ; b ♣ ∃ c ∈ (a, b) : f (c) = f (a)+f (b)

2 ;

c ∃ c ∈ (a, b) : f (c) = f (b) ; d ∃ c ∈ (a, b) : f (c) = f (a) .