Exercices de cours du chapitre III : Système à 1 DDL
7
Exercice III-2: Régime forcé avec et sans amortissement
Une tige (T) de masse m de longueur 2a est soumise à un déplacement imposé x G A = E cos ω t x G o
.
La liaison en A est un pivot parfait. On tiendra compte du champ de pesanteur
g G
A
g G G x o
θ T Mise en équations :
On se place dans le cadre des petits mouvements par rapport à la position d’équilibre.
En déduire la pulsation propre en fonction de g et a Déterminez une solution particulière de l’équation
Tracer l’allure de la courbe de réponse en fonction de la pulsation réduite. A = f ( / ω ω o )
Tracer la même courbe sur un diagramme bi-logarithmique A dB = f ( log( ) r ) . Calculez l’effort nécessaire pour imposer le mouvement.
L’ensemble est maintenant placé dans un milieu visqueux
La force appliquée sur la tige est proportionnelle en module et de sens opposé à la vitesse, soit par unité de longueur dF G ( ) P = − β V G ( ) P d
A .
Comment est modifiée l’équation du mouvement
Déterminez une solution particulière forcée (régime permanent).
Tracer l’allure générale de la courbe θ f ( ) ω
Corrigé de l’exercice III-2 : Régime forcé harmonique Système non amorti
Une tige (T) de masse m de longueur 2a est soumise à un déplacement imposé x G A = E cos ω t x G o
. Mise en équations
Objectif : équation du mouvement Î 1 paramètre θ
2 ( )
2 Ec T R ( / o ) = mV G o G + Ω G oT . ( , ) J G T Ω G oT Avec V G o ( ) G = x x A G o + a i θ G
A
T θ
g G y o
G
x o
i G j G
G
D’où 2 Ec T R ( / o ) = m x ( 2 A + 2 a x θ A cos θ + a 2 θ 2 ) + m (2 ) 12 a 2 θ 2
( poids ) cos
Ep = − mga θ + Cte
D L 0
T T
δ = δ =
Î Équation de Lagrange : 4 2
3 A cos sin 0
ma θ + max θ + mga θ =
En linéarisant pour θ petit : 4 2
3 A
ma θ + mga θ = − max
Posons : ω o 2 = 3 / 4 g a Î 2 3 2 4 cos
o
E t
θ ω θ + = a ω ω
Remarques :
• Cette équation peut être obtenue directement en effectuant un D.L. à l’ordre 2 des énergies
• C’est l’équation de moment par rapport à l’axe ( , A z G o )
de la tige.
Exercices de cours du chapitre III : Système à 1 DDL
8 Solution particulière
On cherche une solution de la forme θ θ = f cos ω t
Î ( )
2
2 2
3
f 4
o
E a θ ω
ω ω
= −
Le coefficient d’amplification dynamique est défini par
2
( ) 2
1 A r r
= r
−
Pour r<1 la réponse est en phase avec l’excitation, pour r>1 la réponse est en opposition de phase.
1
1
valeur algébrique A(r)
r
Diagramme bi-logarithmique
Traçons y = 20 log( ) A en fonction de log( ) r
Cherchons les asymptotes
Pour r → 0
20 log 2 40 log
y → r = r
Droite à 4OdB/décade Pour r → 1 y → 20 log 0 = ∞
Droite verticale vers le haut Pour r → ∞ y → 20 log1 = 0
Droite horizontale
0 A(dB)
log(r)
Calcul de l’effort à appliquer
Reprenons les expressions des énergies en faisant x ≠ x A
2 2 2
4
2 Ec T R ( / o ) ≅ ma 3 θ + mx + 2 ma x θ ( poids ) 2 / 2
Ep ≅ mga θ + Cte T L F x
δ = δ
L’équation de Lagrange en x nous donne : F = mx + ma θ avec x = − ω 2 E cos ω t
Soit en régime forcé :
( )
2 2
2 2
cos 1 3 4 o
F m ω E ω t ω
ω ω
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= − +
⎜ − ⎟
⎝ ⎠
d’où ( )
( )
2 2
2
2
cos 4
o 4 1
r r
F m E t
ω ω − r
= − −
Système avec amortissement visqueux
Les énergies, cinétique et potentielle, ne sont pas modifiées. Il faut calculer le travail virtuel des efforts visqueux.
A
T
dA dF G ( ) P = − β V G ( ) P d A
( )P
