Matematica Discreta I Lezione del giorno 5 novembre 2007 Rappresentazione di un numero naturale in base b>1.

Matematica Discreta I

Lezione del giorno 5 novembre 2007

Rappresentazione di un numero naturale in base b>1.

È un’applicazione del teorema dell’algoritmo della divisione per i numeri interi.

Fissiamo un numero naturale a ed un naturale b>1 (detto “base”). Applicando l’algoritmo della divisione, operiamo una divisione, con a come dividendo e b come divisore, ottenendo l’esistenza di due interi q0 ed r0, entrambi ≥0, tali che a=bq0+r0, con r0<b. Se il quoziente q00 (cioè q0>0) operiamo un’altra divisione, prendendo q0 come dividendo e b come divisore: esistono allora due interi q1 ed r1, entrambi ≥0, tali che q0=bq1+r1, con r1<b. Ancora, se il quoziente q10 (cioè q1>0), operiamo una terza divisione, prendendo q1 come dividendo e b come divisore, trovando che esistono due interi q2 edr2, entrambi ≥0 tali che q1=b*q2+r2, con r2>b; se q20 (q2>0) si ripete ancora il procedimento. In pratica tale procedimento continua con una successiva divisione solo se il quoziente della precedente divisione è non nullo, e nella successiva divisione il dividendo coincide con il quoziente della divisione precedente, mentre il divisore rimane costantemente =b.

Il procedimento si arresta quando si perviene ad una divisione con quoziente nullo.

Dimostriamo che questo procedimento ha termine dopo un numero finito di divisioni.

Per assurdo supponiamo di operare infinite divisioni tutte con quoziente non nullo. Osserviamo che il quoziente di ogni divisione è minore del quoziente della divisione precedente: infatti, essendo b>1, si ha bq1>q1, ed essendo r1≥0, si ha q0=bq1+r1≥ bq1>q1, quindiq0>q1. Analogamente si dimostra che q2>q1, che q3>q2 etc.

Potremmo allora costruire l’insieme S che contiene tutti i quozienti q1, q2,….. delle divisioni effettuate: essendo per assurdo tali quozienti tutti non nulli, sarebbe un insieme di numeri naturali, e quindi, per l’Assioma del minimo, S conterrebbe un elemento minimo, diciamo qi .

Ma, come osservato sopra, si avrebbe qi>qi+1 , contraddizione perché in S esisterebbe un elemento qi+1 minore del minimo qi .

Possiamo quindi affermare che dopo un numero finito di divisioni, perverremo ad una divisione con quoziente qn=0.

Elenchiamo le divisioni che effettuate (supponendo appunto che il quoziente qn di indice n sia nullo):

a=bq0+r0

q0=bq1+r1

q1=bq2+r2

q2=bq3+r3

…….

…….

…….

qn-2=bqn-1+rn-1

qn-1=bqn+rn (con qn=0).

Operando delle sostituzioni successive si ottiene:

a=bq0+r0=b(bq1+r1)+r0=b²q1+br1+r0=b²(bq2+r2)+br1+r0=b³q2+b²r2+br1+r0=………=

=bⁿqn-1+b^n-1rn-1+…..+ b²r2+br1+r0=bⁿrn+ b^n-1rn-1+…..+ b²r2+br1+r0 .

La scrittura ottenuta:

a=rnbⁿ+rn-1b^n-1+…..+r2b²+r1b+r0

è detta rappresentazione di a in base b ed i numeri r0,r1,r2,…rn sono detti cifre della rappresentazione. Come si nota nel procedimento precedente, le cifre r0,r1,r2,…rn (essendo resti di

divisioni per b) sono numeri interi ≥0 e <b, cioè i possibili valori delle cifre sono compresi fra i numeri interi 0,1,…,b-1 , dove b è la base fissata.

Il simbolo usato per la rappresentazione di a in base b é è a=(rnrn-1rn-2……r2r1r0)b . Esempio:

Scrivere il numero a=122 in base b=3.

I valori possibili delle cifre nella rappresentazione in base 3 sono 0,1,2. Procedendo con l’algoritmo precedente otteniamo:

1^a divisione: 122=340+2 dove 121=a, 3=b, 40= q0, 2=r0; 2^a divisione: 40=313+1 dove 40=q0, 3=b, 13=q1, 1=r1; 3^a divisione: 13=34+1 dove 13=q1, 3=b, 4=q2, 1=r2; 4^a divisione: 4=31+1 dove 4=q2, 3=b, 1=q3, 1=r3; 5^a divisione: 1=30+1 dove 1=q3, 3=b, 0=q4, 1=r4. Allora a=121=(11112)3 .

Il procedimento inverso si effettua applicando la formula della scrittura vista e quindi effettuando le moltiplicazioni delle singole cifre per le potenze della base (relative alla posizione della base stessa) e sommando i prodotti.

Esempio:

Calcoliamo l’usuale rappresentazione decimale (cioè in base 10) del seguente numero rappresentato in base 5: a=(10241)5.

(10241)5=15⁴+05³+25²+45¹+15⁰=625+0+50+20+1=696.

Particolari basi sono la base b=10 (decimale), che è quella usata comunemente (forse in relazione al numero di dita delle mani) e la base b=2 (binaria), le cui cifre sono 0 ed 1 e che si utilizza nei calcolatori in quanto si può trovare una corrispondenza con gli stati dei circuiti (alta o bassa tensione).