Step 1: Trasforma la matrice completa alla forma ridotta

Risolvi il seguente sistema lineare di 3 equazioni e 4 incognite:

1 x1 +3 x2 +5 x3 +7 x4 = 9 2 x1 +4 x2 +6 x3 +8 x4 = 10 4 x1 +6 x2 +12 x3 +14 x4 = 18

SOLUZIONE

• Step 1: Trasforma la matrice completa in forma ridotta

• Step 2: Interpretare la forma ridotta del sistema lineare

Step 1: Trasforma la matrice completa alla forma ridotta

Operazione 1:

1 3 5 7 9 2 4 6 8 10 4 6 12 14

18

R2=R2-2 R1

1 3 5 7 9 0 -2 -4 -6 -8 4 6 12 14

18

Operazione 2:

1 3 5 7 9 0 -2 -4 -6 -8 4 6 12 14 18

R3=R3-4 R1

1 3 5 7 9 0 -2 -4 -6 -8 0 -6 -8 -14 -18

Operazione 3:

1 3 5 7 9 0 -2 -4 -6 -8 0 -6 -8 -14

-18

R2= -R2/2

1 3 5 7 9 0 1 2 3 4 0 -6 -8 -14

-18

Operazione 4:

1 3 5 7 9 0 1 2 3 4 0 -6 -8 -14

-18

R3=R3+6R2

1 3 5 7 9 0 1 2 3 4 0 0 4 4

6

Step 2: Interpreta la matrice in forma ridotta

1 3 5 7 9 0 1 2 3 4 0 0 4 4

6

Si osserva che:

r(A) = 3 r(A|b) = 3

e quindi il SL è possibile.

Si hanno infinite (∞¹)soluzioni, poiché n-r(A)=4-3=1.

Risolvendo a ritroso il sistema lineare in forma ridotta si individuano le infinite soluzioni:

x1 = t-3/2 x2 = - t+1 x3 = - t+3/2 x4 = t ^t∈ℜ