Analisi Stocastica – Foglio di esercizi n. 7
Esercizio 1. Sia B = {Bt}t≥0 un moto browniano reale e definiamo i processi X, Y ponendo Xt:= cos(Bt) e Yt:= sin(Bt).
(a) Si mostri che i processi soddisfano le equazioni differenziali
dXt = −YtdBt − 12Xtdt dYt = XtdBt − 12Ytdt X0 = 1 , Y0 = 0
.
(b) Si dimostri che il processo {Xt+ 12Rt
0 Xsds}t≥0 `e una martingala di quadrato integrabile.
(c) Introducendo il processo a valori complessi Zt := eiBt = cos(Bt) + i sin(Bt), si ricavi dal punto (a) che Z soddisfa l’equazione
dZt = i ZtdBt − 1 2Ztdt .
Si noti che questa equazione si pu`o ottenere applicando la formula di Itˆo alla funzione complessa Φ(x) = eix.
Esercizio 2. Sia B = {Bt}t≥0 un moto browniano reale. Dati b = {bt}t≥0 ∈ M1loc, σ = {σt}t≥0 ∈ M2loc e dato x ∈ (0, ∞), consideriamo l’equazione differenziale stocastica
(dXt = btXtdt + σtXtdBt
X0 = x . (1)
(a) Si scriva formalmente l’equazione differenziale soddisfatta dal processo log X e si ricavi un’espressione esplicita per il processo X. Si mostri quindi che il processo ottenuto risolve effettivamente l’equazione (1).
(b) (*) Nel caso bt≡ b ∈ R e σt ≡ σ ∈ (0, ∞) siano costanti, si osservi che si ritrova il moto browniano geometrico Xt = exp((b − 12 σ2) t + σ Bt). Si determini in questo caso quanto valgono lim supt→∞Xt e lim inft→∞Xt, in funzione di b, σ.
Esercizio 3. Sia B = {Bt}t≥0 un moto browniano reale. Siano X e Y due processi di Itˆo, con differenziali stocastici
dXt = ϕXt dBt + ψtXdt , dYt = ϕYt dBt + ψYt dt . Si dimostri che vale la seguente formula di integrazione per parti stocastica:
d(XtYt) = XtdYt + YtdXt + ϕXt ϕYt dt . (2) In particolare, il processo {XtYt}t≥0 `e un processo di Itˆo.
[Sugg.: Si applichi la formula di Itˆo multidimensionale al processo (X, Y ) e alla funzione Φ(x, y) = xy]
Ultima modifica: 9 gennaio 2010.
