Analisi Stocastica 2009/10 – Foglio di esercizi n. 8
†Esercizio 1. Sia {Bt}t∈[0,∞) un moto browniano reale, definito su uno spazio di probabilità (Ω, F, P). Per n ∈ N e s, t > 0 fissati, introduciamo i seguenti eventi:
A := �
u�→ Bu è derivabile in u = 0�
=
�
∃ lim
u↓0
Bu
u ∈ (−∞, +∞)
� , Cn,s := �
|Bs| ≤ ns�
, Dn,t := �
|Bu| ≤ nu , ∀u ∈ [0, t]� .
Per questo esercizio non è possibile utilizzare né la legge del logaritmo iterato, né la non differenziabilità delle traiettorie del moto browniano.
(a) Si mostri che, per ogni n ∈ N fissato, si ha P(Cn,s)→ 0 per s ↓ 0 .
Facoltativo: si mostri che in effetti P(Cn,s)/(2n√s)→ 1/√
2π per s ↓ 0 (con n fissato).
(b) Si spieghi perché per ogni s ≤ t vale l’inclusione di eventi Dn,t⊆ Cn,s. (c) Si deduca che P(Dn,t) = 0, per ogni n ∈ N e t > 0 .
(d) (*) Si spieghi perché vale l’inclusione di eventi A ⊆ �
n,k∈N Dn, 1/k. (e) Si mostri che P(A) = 0 .
Esercizio 2. Sia (Ω, F, {Ft}t∈[0,T ], P) uno spazio filtrato standard, su cui sono definiti un {Ft}t∈[0,T ]-moto browniano reale B = {Bt}t∈[0,T ] e un processo continuo e adattato X = {Xt}t∈[0,T ] che risolve la seguente equazione differenziale stocastica:
�dXt = cos(Xt)dBt − cos2(Xt)dt
X0 = 0 .
(a) Si mostri che X è l’unica soluzione forte (a meno di indistinguibilità).
Introduciamo il processo Z = {Zt}t∈[0,T ] definito da Zt:= eβXt, per β ∈ R.
(b) Si mostri che Z è un processo di Itô e se ne scriva il differenziale stocastico.
(c) Si determini per quali valori di β ∈ R il processo Z è una martingala locale.
Fissiamo ora β tra i valori determinati al punto (c).
(d) Assumendo che Z ∈ M2[0, T ], si mostri che Z è una martingala di quadrato integrabile.
(e) (*) Si mostri che effettivamente Z ∈ M2[0, T ].
Sugg.: Ponendo τn := inf{s ≥ 0 : |Zs| ≥ n}, si mostri che E(Zt2∧τn)≤ a + b�t
0E(Zs2∧τn)ds, per opportuni a, b ≥ 0. Si deduca quindi dal Lemma di Gronwall una stima esplicita su E(�T
0 Zt∧τ2 ndt) che non dipende da n, e si concluda opportunamente.
†Ultima modifica: 4 marzo 2010.
