Prova scritta di Analisi Matematica 2
Corso di Laurea in Matematica - Universit`a di Roma “Tor Vergata”
26 luglio 2016
1. Determinare per quali valori di C ∈ R, esiste R > 0 tale che per ogni x > R, x√
√ x
x3+ x + 2 > cos 1 x + 1
x2 + C x3
.
2. Per ogni intero positivo n, sia Hn =
n
X
k=1
1 k. (a) Dimostrare che per ogni intero n ≥ 2,
0 < Hn− ln(n) < 1 e n ln n ≤ 2 ln(n!) < 2n ln n.
(b) Per quali x ∈ R, la serie
∞
X
n=2
ln(n!)(4 − |x − 1|)n n(n − 1)3nHn3
`e convergente?
3. Per ogni intero n > 0 sia In = Z 1
0
20 + 10√ x + xn 4 + 3x − x2 dx.
(a) Calcolare A = lim
n→∞In. (b) Calcolare B = lim
n→∞n(In− A).
4. Siano {fn}n≥1 e {gn}n≥1 due successione di funzioni in C([0, +∞)) che convergono uniformemente in [0, +∞) rispettivamente alle funzioni f e g. Inoltre per ogni x ≥ 0 e per ogni n ≥ 1 si ha che |fn(x)| ≤ 1, 0 < |gn(x)| ≤ 1 e |g(x)| > 0.
Dimostrare o confutare le seguenti affermazioni.
(a) La successione {fn· gn}n≥1 converge uniformemente in [0, +∞) a f · g.
(b) La successione {fn/gn}n≥1 converge uniformemente in [0, +∞) a f/g.
5. Considerare la seguente equazione differenziale:
u′′(x) + u′(x) = 2 (u(x) + 1 + 5 sin(x)) . (a) Trovare tutte le soluzioni.
(b) Determinare, nel caso esista, una soluzione u tale che u(x) 6= 0 per ogni x ∈ R?
