Analisi e Modelli Matematici

Analisi e Modelli Matematici

Lezione 4 Marzo - Aprile 2014

Numeri reali

L’utilizzo dei numeri negativi e dei numeri complessi è problematico fino all’inizio del XIX secolo.

1737: Euler dimostra che “e” è irrazionale e Lambert dimostra che “π”

è irrazionale.

1844 : Liouville dimostra l’esistenza di irrazionali trascendenti . 1873 : Hermite prova che “e” è trascendente.

1882 : Lindemann prova che “π” è trascendente.

Euler introduce la nozione di numero trascendente, cioè di numero che non è soluzione di una equazione algebrica a coefficienti razionali.

Numeri reali

L’utilizzo dei numeri negativi e dei numeri complessi è problematico fino all’inizio del XIX secolo.

Definizione di numero irrazionale

!835: W. R. Hamilton in conferenze alla Royal Irish Academy.

!859: K. Weierstrass nelle lezioni di Berlino.

1872 : H.E. Heine.

1872 : R. Dedekind utilizza divisioni dei razionali in classi “separate e contigue”.

1871 e 1883 : G. Cantor utilizza le “successioni fondamentali”.

Insiemi infiniti

Aristotele nega l’esistenza di insiemi “attualmente” infiniti - pensa ai numeri interi - e ammette solo l’esistenza di insiemi “potenzialmente”

infiniti.

Per tutto il medioevo il problema dell’esistenza dell’infinito attuale viene dibattuto.

Galileo si oppone agli insiemi infiniti perchè contrastano con la ragione. Infatti, nelle Due Nuove Scienze, osserva che gli interi sono in corrispondenza biunivoca con i loro quadrati, ciò condurrebbe a

“diversi gradi di infinito” che, secondo lui, non possono esistere.

Gauss nel 1831 “... protesto contro l’uso di una quantità infinita come entità attuale. Ciò non è mai consentito in matematica”.

Cauchy nega l’esistenza di insiemi infiniti perchè il fatto che una parte possa essere messa in corrispondenza biunivoca con il tutto gli sembra contradditorio.

Insiemi infiniti

1851: Bolzano nei Paradossi dell’infinito sostiene l’esistenza dell’infinito attuale. Osserva che nel caso di insiemi infiniti è possibile che una parte sia equivalente al tutto. Per esempio la funzione

y�→12x 5

mette in corrispondenza biunivoca l’intervallo [0,5] con l’intervallo [0,12] che lo contiene strettamente.

dal 1874 fino al 1895: Georg Cantor introduce la nozione di insieme come collezione di enti definiti e separati. Per Cantor un insieme è infinito se può essere messo in corrispondenza biunivoca con una sua parte propria. Distingue gli insiemi infiniti rispetto alla loro

“grandezza” (cardinalità). Introduce (1874) la nozione di “numerabilità”

e dimostra che i razionali sono numerabili. Prova che anche i numeri algebrici sono numerabili. Prova infine (1874) che i reali non sono numerabili. Nel 1877 prova l’equipotenza dei punti della retta e dei punti del piano o dello spazio.

Insiemi numerici

Supponiamo di sapere di cosa si sta parlando!

N ⊂ Z ⊂ Q

N = {0, 1, 2, 3, . . . }

con le operazioni + e . ben definite, ma non sempre le loro inverse sottrazione e divisione.

Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }

con le operazioni +, - e . sempre definite, ma non sempre la divisione.

La scrittura

N ⊂ Z

è naturale data anche l’identità dei simboli usati. (Vale la pena di parlare di isomorfismo?)

Insiemi numerici

La nozione di numero razionale è più problematica da subito. Ci sono, per esempio, molteplici scritture equivalenti:

N ⊂ Z ⊂ Q

Q =









±m

n dove:

m, n∈ N, n �= 0, m

n ≡p

q quando mq = pn.

”espressioni decimali” limitate e/o periodiche

Per “espressione decimale” intendiamo scritture del tipo:

m, α

, α

, α

, . . .

dove “m” è un intero relativo (quindi adesso non esplicito il segno + o -) mentre a1, a2, ... sono “cifre” cioè simboli nell’insieme {0,1,2,3,4,...,9}

Uso “espressione decimale” come nozione primitiva.

m, α1, . . . , αk, β1, . . . , βn

Insiemi numerici N ⊂ Z ⊂ Q

Espressione decimali periodiche hanno la forma

m, α₁, . . . , α_k, β₁, . . . , β_n

Osserviamo che il periodo 9 non viene usato. Per esempio:

0, ¯9 ≡ 1

Identifichiamo le espressioni decimali con parte decimale nulla, cioè con parte decimale costituita da un periodo di zeri, con il numero intero prima della virgola

m, 0 ≡ m, 000 · · · ≡ m

In questo senso Z ⊂ Q

Insiemi numerici N ⊂ Z ⊂ Q

Q =









±m

n dove:

m, n∈ N, n �= 0, m

n ≡p

q quando mq = pn.

”espressioni decimali” limitate e/o periodiche

Vale la pena di esplicitare l’equivalenza fra le due scritture.

1) Semplicemente “facendo la divisione” si ottiene un’espressione decimale periodica.

m÷ n

2) Esiste un algoritmo per ottenere una frazione da un’espressione decimale periodica.

Insiemi numerici N ⊂ Z ⊂ Q

Q è “ordinato”

Le operazioni di somma e prodotto e le loro inverse sono definite senza limitazioni in Q.

Le operazioni hanno le proprietà di “campo commutativo” e ordinato.

Insiemi numerici N ⊂ Z ⊂ Q

Q non basta per misurare tutti i segmenti della retta.

0 1 √

2

Non esiste alcuna frazione t.c. m n =√

2

Insiemi numerici N ⊂ Z ⊂ Q

Costruzione di “successioni approssimanti” ^√₂ 1²<2 < 2² (1, 4)²<2 < (1, 5)² (1, 41)²<2 < (1, 42)² (1, 414)²<2 < (1, 415)² 1 <√

2 < 2 =⇒ √

2 = 1, . . . 1, 4 <√

2 < 1, 5 =⇒ √

2 = 1, 4 . . . 1, 41 <√

2 < 1, 42 =⇒ √

2 = 1, 41 . . . 1, 414 <√

2 < 1, 415 =⇒ √

2 = 1, 414 . . . che implica

“ è così soltanto un simbolo per un numero che deve ancora essere trovato, ma non è la sua definizione. Questa definizione è data, in modo soddisfacente dal mio metodo,

G. Cantor (1889)

√2

√2 = (1, 1.1, 1.41, 1.414, . . . )

L’insieme R

Definiamo R come l’insieme delle espressioni decimali illimitate, non necessariamente periodiche. Quindi

dove

m ∈ Z α

∈ {0, 1, 2, . . . , 9}

Poiché le espressioni decimali limitate o periodiche sono particolari espressioni decimali segue che “in modo naturale” pensiamo che

Q ⊂ R

“Conoscere” un numero reale significa conoscere un algoritmo che ci consenta di calcolare in linea di principio tutte le sue cifre decimali, cioè tutte le cifre che ci interessano.

R := {α = m, α

, α

, α

, . . . } .

L’insieme R

α = m, α₁, α₂, α₃, . . . β = n, β₁, β₂, β₃, . . .

Si possono definire le operazioni di somma e prodotto

α + β α· β

ma la semplice definizione non è più elementare e prevede una procedura di approssimazione.

Le proprietà di “Campo ordinato” valgono per somma e prodotto, come definite sopra.

L’insieme R

α = m, α₁, α₂, α₃, . . . β = n, β₁, β₂, β₃, . . .

Si possono definire senza limitazioni tutte le operazioni elementari

α + β α· β α÷ β

Inoltre per

αⁿ¹ := √ⁿ α

α

:= √

α

α > 0

α^β

α, β∈ R m, n∈ N

Insiemi infiniti

Corrispondenza biunivoca fra insiemi.

Due insiemi hanno lo stesso numero di elementi (la stessa Cardinalità) se esiste una corrispondenza biunivoca fra loro.

Non tutti gli insiemi infiniti hanno la stessa cardinalità.

Insiemi infiniti strettamente contenuti l’uno nell’altro possono avere la stessa cardinalità

N, Z, Q hanno la stessa cardinalità. Sono “numerabili”

R non ha la stessa cardinalità di N. Cioè R non è “numerabile”.

R², R³ hanno la stessa cardinalità di R.

In generale, l’unione numerabile di insiemi numerabili è “numerabile”

La “maggior parte” degli elementi di R è “non calcolabile” e “non definibile”.

tale che:

Insiemi infiniti

N, Z, Q hanno la stessa cardinalità. Sono “numerabili”

1/1 2/1 3/1 4/1 5/1 6/1 ...

1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 ...

1/3 2/3 3/3 4/3 ...

1/4 2/4 3/4 ...

1/5 2/5 ...

1/6 2/6 ...

... ...

Tutti i numeri razionali positivi appaiono (in realtà infinite volte) nella tabella e le frecce rosse indicano un possibile modo

p e r o r d i n a r l i i n u n a successione.

1/1, 1/2, 2/1, 3/1, (2/2), 1/3, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 5/1, (4/2), (3/3), ...

Insiemi infiniti

In generale, l’unione numerabile di insiemi numerabili è “numerabile”

Il ragionamento è analogo a quello usato per la numerabilità dei numeri razionali. Supponiamo che S1, S2, S3, ... sia una successione di insiemi ciascuno numerabile, allora

S1 ^{s11 s12 s13 s14 s15 ...}

S2 ^{s21 s22 s23 s24 ...}

S3 ^{s31 s32 s33 s34 ...}

S4 ^{s41 s42 s43 ...}

S5 ^{s51 s52 ...}

S6 ^{s61 ...}

...