Acceleratori Circolari I
Nicola Semprini Cesari
• Sistemi di coordinate
• Magneti dipolari e quadripolari
• Formule utili
• Moti trasversali
Equazioni del moto nel dipolo e nel quadrupolo
Equazione di Hill
Sistema di coordinate
Vertical Horizontal
Longitudinal
Z
Si adotta un sistema di versori della traiettoria.
Ricordare nel seguito !
Magneti dipolari
2 θ 2 θ 2
L
2 L θ
ρ
Traiettorie di due cariche che in un determinato punto hanno
stesso lo stesso impulso ma angolo differente
I magneti dipolari generano un campo approssimativamente uniforme e costante in
direzione –z.
Andamento oscillatorio, con campi
uniformi sinusoidale .
Magneti dipolari
Traiettoria della seconda carica rispetto alla prima:
moto oscillatorio che rappresenta il moto trasversale fondamentale in un acceleratore.
Oscillazioni di betatrone
Particle B Particle A0 2
displacement
I moti trasversali, come le oscillazioni di betatrone, sono controllati da magneti quadrupolari che riportano le
cariche sull’orbita di riferimento.
Magneti quadrupolari
z z
V uscente dal piano
Campo magnetico Forze sulla carica
La forza di Lorentz focalizza lungo x e defocalizza lungo z. Ruotando il dispositivo di 90 gradi si ottiene una focalizzazione lungo z ed una defocalizzazione lungo x.
I moti trasversali rispetto alla traiettoria di riferimento determinati dall’insieme dei magneti dipolari e quadrupolari sono oscillatori e
vengono descritti dalle Equazioni di Hill
Alcune formule utili
( )
( ˆ ) (0, , 0) (0, ,0) (0, 0, )
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
s s
s s
s
s
s
s s s
s
d p q E v B dt
d p s q E q v B
dt
p s p s q E s q v B x p v
p q E
s p x q E s q v B x
p q B ρ p q B ρ ρ
= + ∧
= + ∧ −
+ =
−
=
− =
=
−
=
G G G G
Moto nel campo magnetico dei dipoli ed elettrico delle cavità. Si trascurano i quadrupoli che correggono in modo trascurabile i risultati seguenti
Il campo elettrico produce le variazioni di energia il campo magnetico curva la
traiettoria
2 2
s s
s
Tr Tr
s
Tr Tr
p q B
p ds q B ds p ds q B ds
p ds B ds q
d ρ d
ρ ρ
ρ ϕ ρ ϕ
πρ πρ ρ
=
=
=
=
∫ ∫
∫ ∫
Relazioni impulso campo
Alcune formule utili
2 2 2 2 4 2 2
0
0.3
W p c m c p c W pc
W Q
q c B
B ρ ρ
≈
= + ≈
≈ =
m
in unità di e
tesla GeV
Energia
Alcune formule utili
Frequenza di rivoluzione
2 2 2 2 2
0
2 2 0
2
0 2
1
2 1 / 1 /
1
2 1
1
2 1 ( )
v mv c
f p v
T v c m c p
f c p
f c
m c
q B
q m c
B p πρ πρ ρ
πρ
ρ
= = =
−
= =
=
+
= +
+
Viola la relatività. Si deve
osservare che la geometria
dell’acceleratore fissa l’impulso
pertanto si può soddisfare la
relatività introducendo la giusta
relazione velocità impulso.
Moti trasversali
Equazioni del moto nei magneti
( )
ˆ ˆ ˆ
( ) ( , , ) ( ,0, )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ 0
x s z x s z x z
x s z x s z s z z x x z s x
s
s
d p q E v B q v B dt
d p x p s p z q v v v B B dt
p x p s p z p x p s p z q v B x q v B v B s q v B z
x x z x s v s
s z s v x
z
ω ϕ ρ ϕ
ρ ρ
ϕ ρ
= + ∧ = ∧
+ + = ∧
+ + + + + = + − −
= ∧ = ∧ = =
= ∧ = −
=
G G G G G G
G
dentro il magnete il campo elettrico è nullo campo magnetico trasversale
Relazioni di Poisson
Equazioni del moto nei magneti
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) ( )
( )
s s
x s z x s s z z x x z s x
s s
x s
s
x s s z
s
s x z x x z
z s
s x z s z z
x
x x z s x
v v
p x p s p z p s p x q v B x q v B v B s q v B z
v v
p p x p p s p z q
p p v q v B
p p v q v B
v
v B p q v
B x q v B v B s q v B
B
z
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
+ + + − = + − −
− + + + = + − −
− =
+ = −
= −
Equazioni del moto
Moto nel magnete dipolare
0
0, , 0
s
x s s
s
s x x
z
x s z
s
s s
s
p p v q v B
p p v qv B
p
v
p v v v
p v q v B q B
ρ ρ
ρ ρ
− = −
+ =
=
= = =
= =
traiettoria di riferimento
(
0, 0
)
,
s
x s s z
x s
s
s x z x x z
z s x
B B
zp p v q v B
p p v q v B v B
p q v
B B
B ρ ρ
− =
+ = −
= −
= −
= =
campo nel magnete dipolare
Campo magnetico nel quadrupolo
z
x N
S S
N
0 x
z z
B x z
B B x z
α β
β α
= +
= + −
=
Forza di Lorentz nel caso in cui la velocità della particella entra nel piano del foglio.
Focalizzazione in X defocalizzazione in Z.
Il campo quadrupolare nella origine è nullo per cui in un intorno della origine avremo:
nell’intorno si deve anche avere
forma generale del campo magnetico nell’intorno
0
x xx xz
z zx zz
s
B a x a z B a x a z B
= +
= +
=
Al campo quadrupolare dobbiamo sommare quello
dipolare:
00
x xx xz
z z zx zz
s
B a x a z
B B a x a z B
= +
= + +
=
0
(0, ,0) 0
xx zz xx zz
div B a a a a
rot B a a a a
α β
= + = = − =
= − = = =
G
G
G
Campo magnetico nel quadrupolo
z
x N
S S
N
Il campo è tale che nella terna scelta B
z=B
0in X=0 per qualunque Z
0
0
0 0
( 0)
00
0
0
x
z z
z
s
z
z z z
x
z z
s
B z
B B x
B B x z
B x B z B
B z
B B x
B B
β α α α
β β
β
β
= + −
= = − =
=
=
= −
= − − +
=
=
= si deve tenere conto della disposizione prescelta dei poli magnetici
Campo magnetico quadrupolare
in prossimità della origine
Moto nel quadrupolo
0
0
( )
0
( )
x s s s z
s
s x z x x z
z s x
x
z z
s
s
x s s z
z s
p p v q v B
p p v q v B v B
p q v B
B z
B B x
B
p p v q v B x
p q v z ρ ρ
β
β
ρ β β
− =
+ = −
= −
= −
= − −
=
− = − +
=
0
2
0
0 0
2
(
'' 1 (
)
( )
' 1
)
' ( )
s
x s s z
s
s s z
s
s s s
z
z
s
p p v q v B x
m x p v q v B x
d d
dt v ds
mv x mv q v B x
x q B x
p β
ρ β ρ
ρ
β
ρ β
− = − +
− = − +
=
− = −
− = − +
+
Equazioni del moto nel piano trasversale a z=0
Soluzione instabile:
non focalizza in z ! Soluzione stabile:
focalizza in X !
riparametrizzazione in s Equazioni del moto
Campo magnetico
Moto nel quadrupolo
0 0
0
0 0
0
(1 ) (1 )
s
x x
p p p p p
p
ρ ρ ρ
ρ δ δ
= + = +
= + = +
0
'' 1 (
z)
s
x q B x
p β
− = − ρ +
0
0 0 0 0
2 0
0 0 0 0
'' 1 (1 ) (1 )( )
'' 1
z
z
x q p
x B x
p p
x q q
x B x
p p
δ β
ρ ρ
ρ ρ β
− − = − − +
− + ≈ − − p
0= q B ρ
0 0 z2
0 0 0 0 0
1 1
''
z
x x x
B β
ρ ρ ρ ρ
− + ≈ − −
02 0 01 1
'' ( )
'' ( )
z
