Moti oscillatori

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Parte I

Moti oscillatori

10.1-10.2 Oscillatore armonico

Abbiamo visto che una situazione che si riconduce a soddisfare l’equazione differenziale

d²x(t)

dt² + ω²x(t) = 0 (1)

rappresenta un oscillatore armonico e ne abbiamo visto diverse situazioni (pendolo semplice, composto, molle). Questa comunque è una eq. diff. di secondo ordine a coefficienti costanti omogenea. Di questa classe di equazioni si può verificare che banalmente che sex(t) è una soluzione dell’eq. (1) lo

è anche la funzione ax(t) ed inoltre se si trova un’altra soluzione y(t) che soddisfa la (1) anche la combinazione lineare z(t)=x(t)+y(t) soddisferà la (1) dovuto al fatto che l’eq è lineare. Si dimostra inoltre che la (1) ammette due sole soluzioni indipendenti per cui la soluzione generica si può scrivere come x(t) = a sin ωt + b cos ωt che può anche riscriversi nel modo solito x(t) = A sin(ωt + φ) L’equazione non omogenea invece si scrive nella forma:

d²x(t)

dt² + ω²x(t) = f(t) (2)

che si dimostra essere risolta con una soluzione tipox(t) = a sin ωt + b cos ωt + xp(t) Infine a completare queste propriet`a si ha anche che se l’eq.(2) `e scritta con

un termine noto che è f1(t) per il quale la soluzione è una certa x1(t) e se con un termine noto che dovesse essere f2(t) si ottiene una soluzione com x2(t) allora si ha che se il termine noto è f1(t) + f2(t) ⇒ x(t) = x¹(t) + x2(t)

è la soluzione dell’equazione Questo risultato èil principio di sovrapposizione che sancisce come se in una situazione si ha una certa soluzione ed in un’altra, un’altra soluzione, quando si dovessero verificare contempo- raneamente le sue situazioni precedenti l’effetto è dato dalla somma delle sue soluzioni. Considerazioni analoghe valgono per l’equazione differenziale completa (con anche il termine della derivata prima).

Esempio 10.1

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Esempio 10.1

Una massa m `e appesa verticalmente ad una molla di costante elastica k. Se x=0 `e la posizione con la molla non allungata, attaccando la massa m il tutto scende ad una quota xs = ^mg_k (porre l’orientazione della x verso il basso).

Tirando la molla verso una posizione x = 2xs al tempo t=0 determinare la legge oraria.

L’eq. della dinamica ci indica che mg − kx = ma da cui m^d_dt²2^x + kx = mg ⇒ ^d_dt²^x² + ω²x = g con ω² = _m^k L’equazione `e non omogenea per cui la soluzione `e somma di quella omogenea ed una particolare che si dimostra (per sostituzione) essere x_p = A ⇒ sostituendo ω²x_p = _m^kA = g ⇒ A = ^mg_k ⇒x_p = ^mg_k Per cui il principio di sovrapposizione ci dice che x(t) = Asin(ωt + φ) +^mg_k

10.3 Energia dell’oscillatore armonico

Abbiamo visto che una forza elastica soddisfa l’equazione dell’oscillatore armonico, e che la forze `e conservativa. Calcoliamo l’energia meccani- ca in questa situazione. E_p = ¹₂kx² e E_k = ¹₂mv² usiamo la x(t) = Asin(ωt+φ)ev= Aω cos(ωt+φ) si ottiene quindi E_p = ¹₂kA²sin²(ωt + φ) e Ek= ¹₂mA²ω²cos²(ωt + φ)

E_t= E_k+ E_p = 1

2kA²sin²(ωt + φ) + 1

2mA²ω²cos²(ωt + φ) = 1

2A²[ω²m sin²(ωt + φ) + mω²cos²(ωt + φ)] =

= 1

2mω²A²= costante

Il moto quindi continua mantenedo l’energia totale costante e quando

`e massima l’energia potenziale `e minima la cinetica e viceversa. Si verifica inoltre che i valori medi di energia cinetica e potenziale sono uguali e pari a

<Ek>=< Ep >= ¹₂Et

10.4 Somma di moti armonici sullo stesso asse

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10.4 Somma di moti armonici sullo stesso asse

Supponiamo di avere moti armonici sullo stesso asse x e siamo interessati a valutare il moto complessivo. Possiamo avere vari casi: A. Forze uguali x1 = A1sin(ωt + φ1) e x2 = A2sin(ωt + φ2) sappiamo che essendo l’eq.diff.

del moto armonico lineare anche x = x1 + x2 `e una soluzione e quindi sar`a del tipo x = Asin(ωt + ψ) vediamo con quali parametri

x= A sin(ωt + ψ) = A1sin(ωt + φ1) + A2sin(ωt + φ2) ⇒ Acos ψ sin ωt + A sin ψ cos ωt = (A1cos φ1+ A2cos φ2) sin ωt + (A1sin φ1+ A2sin φ2) cos ωt Da cui l’uguaglianza sussiste nel tempo solo se:

Acosψ = A1cosφ1+ A2cosφ2 Asinψ = A1sinφ1+ A2sinφ2

Da cui si ottiene alla fine:

A = q

A²₁+ A²₂+ 2A1A2cos(φ1− φ2)

tgψ = A₁sinφ₁+ A₂sinφ₂ A1cosφ1+ A2cosφ2

La rappresentazione grafica di x1 e x2 come due vettori in rotazione porta allo stesso il risultato ottenuto come somma vettoriale (metodo dei fasori)

10.6 Oscillatore armonico smorzato da una forza viscosa

Quando c’`e un attrito viscoso si introduce una dipendenza dalla velocit`a e l’eq. della dinamica diventa del tipo: ma = −kx − λv che porta ad un eq.

differenziale:

d²x dt² + λ

m dx

dt + k mx= 0

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Se introduciamo i due coefficienti: ω0=q

k

m pulsazione propria e γ = _2m^λ coefficiente di smorzamento l’equazione si riscrive come

d²x

dt² + 2γdx

dt + ω₀²x = 0

che rappresenta l’eq. diff. dell’oscillatore armonico smorzato. Dal momento che sappiamo che nel caso di attrito viscoso l’andamento `e esponenziale vediamo quale tipo di soluzione deve soddisfare una soluzione del tipo x(t) = e^−αt Sostituendo si ha:

d²(e^−αt)

dt² + 2γd(e^−αt)

dt + ω₀²(e^−αt) = 0 α²(e^−αt) + 2γα(e^−αt) + ω₀²(e^−αt) =

= e^−αt(α²+ 2γα + ω₀²) = 0 ⇒ α²+ 2γα + ω₀²= 0

che viene detta eq. caratteristica e ha soluzioniα= −γ ±pγ²− ω0²

Discussione dei casi di oscillaz.smorzata

• Nel primo caso il γ² > ω₀²che significaλ² >4mkle soluzioni sono reali, negative e distinte da cui x(t) = Ae^α¹^t+Be^α²^t=x(t) = e^−γt(Ae^+t√

γ²−ω²₀+ Be^−t√

γ²−ω²₀) Questo caso corrisponde allosmorzamento fortee non avviene oscil-

lazione

• Il secondo caso è quello dello smorzamento critico che si ha quando γ² = ω₀² ovvero quando λ² = 4mk in questo caso le due soluzioni sono coincidenti e α = −γ per cui la soluzione generale è x(t) = e^−γt(At+B) Nel caso dello smorzamento critico si vede come il punto raggiunga più velocemente la posizione di equilibrio rispetto a qualunque altra combinazione dei parametri. In ogni caso come nella precedente situazione non avviene oscillazione

• L’ultima situazione corrisponde allo smorzamento debole che avviene quando γ² < ω₀² ovvero quando λ² < 4mk Si dimostra in questo caso che la soluzione `e del tipo x(t) = A0e^−γtsin(ωt + φ) e ω = pω₀²− γ² < ω₀ ovvero si ha una oscillazione con ampiezza smorzata A0e^−γt e pseudo periodo T = ^2π_ω

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10.7 Oscillatore armonico forzato

Nella realt`a ogni oscillazione `e smorzata dagli attriti. Se vogliamo mante- nere l’oscillazione dobbiamo sostenerla con una forza oscillante. In tal caso l’equazione della dinamica diventa del tipoma = −kx − λv + F⁰sin ωtche come eq. differenziale diventa:

d²x

dt² + 2γdx

dt + ω²x = F0

m sin ωt

L’eq. differenziale non è più omogenea e il termine pulsante può avere una ω diversa da quella propria ω0. Possiamo verificare che la generica soluzione è del tipo x(t) = A sin(ωt + φ) + ae^α¹^t+ be^α²^t Se questo dovesse essere vero una volta che si è esaurita la fase transitoria corrispondente alla oscillazione smorzata (uno qualunque dei tre casi precedenti) il moto a regime è governato solo dal termine di oscillazione forzata. Verifichiamo per sostituzione: assumiamo che la soluzione sia x(t) = A sin(ωt + φ) e otteniamo:

−ω²Asin(ωt + φ) + 2γωAcos(ωt + φ) + ω₀²Asin(ωt + φ) =

= F0

msinωt ⇒ [(ω₀²− ω²)Acosφ − 2γωAsinφ]sinωt+

[(ω₀²− ω²)Asinφ + 2γωAcosφ]cosωt = F0

msinωt

L’eguaglianza deve valere per qualunque valore di t quindi consegue che deve risultare:

(ω²₀− ω²)Acosφ − 2γωAsinφ = F0

m (ω²₀− ω²)Asinφ + 2γωAcosφ = 0

Da cui:

A = F0

m

1

p(ω₀²− ω²)²+ 4γ²ω² , tgφ = −_ω²^2γω

0−ω²

Oscillatore forzato sommario

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• sollecitando un oscillatore armonico semplice con una sollecitazione esterna sinusoidale, l’osc. armonico semplice risponde con una sollecitazione la cui pulsazione coincide con quella esterna (non quella propria)

• si ha uno sfasamento φ tra la sollecitazione esterna e quella dell’oscillatore armonico

• la risposta dell’oscillatore armonico dipende dal valore di ω

• ampiezza A e sfasamento φ non dipendono dalle condizioni iniziali L’ampiezza A `e massima quando ω = ωm =pω²₀− 2γ² < ω₀ e risulta A_m = A(ωm) = ^F⁰

2mγ√

ω₀²−2γ²

condizione verificata solo quando ω²₀ > 2γ² Quando γ → 0 si ha che ω^m → ω⁰ e l’ampiezza tende ad infinito. Questa situazione si definisce condizione di risonanza.