La regola La regola di di Cramer Cramer Discussione

(1)

Esercitazione

Esercitazione N.2 N.2

21 marzo 21 marzo 2007 2007

La regola La regola di di Cramer Cramer Discussione

Discussione e risoluzione e risoluzione

di di sistemi sistemi lineari lineari con parametro con parametro sistemi

sistemi lineari lineari omogenei omogenei

Rosalba

Rosalba BaratteroBarattero

Sistemi lineari con parametro

(2)

ESERCIZIO1.

Sistema di Cramer

Dato il sistema lineare

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= + +

=

− +

=

− +

−

= + + +

0 t 4y x

0 t 3y x

1 t z y x

1 2t z 2y x

a) Provare che ha un’unica soluzione

b) Determinare la soluzione facendo uso della regola di Cramer.

a) La regola di Cramer si applica ai sistemi lineari del tipo : Æ n equazioni, n incognite

Æ d(A) ≠ 0 , A matrice dei coefficienti delle incognite Questi sistemi sono detti

SISTEMI DI CRAMER e hanno 1! (un’unica) soluzione

(x1 , x2, …, xn) con xi = d(A) Δ_i

ove Δi = det della matrice ottenuta sostituendo la i-esima colonna con la colonna dei termini noti.

A|b =

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

0 0 1 1

1 0 4 1

1 0 3 1

1 1 1 1

2 1 2 1

4 equazioni - 4 incognite Verifichiamo: d(A) ≠ 0

A =

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

1 0 4 1

1 0 3 1

1 1 1 1

2 1 2 1

A′ =

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

1 0 4 1

1 0 3 1

3 0 3 0

2 1 2 1

d(A) = d(A′)=

1 4 1

1 3 1

3 3 0

−

= -1(-3+12) +1(3+9)=3 ≠ 0

⇒ il sistema è di Cramer ed ha quindi un’unica soluzione.

b) Sappiamo che dato il sistema AX= b ,

con A matrice invertibile nxn, X= ^t(x₁,x₂,…,x_n) (matrice colonna), se α = ^t(α₁,α₂,…,α_n) è la soluzione allora Aα= b e quindi moltiplicando a sinistra per A^-1si ottiene A^-1Aα= A^-1b , da cui l’unica soluzione α= A^-1b .

La regola di Cramer ′evidenzia′ l’unicità della soluzione evitando il passaggio esplicito alla matrice inversa :

α_i = d(A) Δ_i

ove Δ_i= det della matrice ottenuta sostituendo la i-esima colonna con la colonna dei termini noti.

Le operazioni elemen- tari non alterano d(A)

R2 → R2 – R1

(3)

x= ⁰ ⁴_d(A)⁰ ¹ 1 0 3 0

1 1 1 1

2 1 2 1

−

= 0 perché C1= C3

analogamente si ottiene y=0, t=0, mentre

z= ¹ ⁴_d(A)⁰ ¹ 1 0 3 1

1 1 1 1

2 1 2 1

−

= _d(A)^d(A)=1

(… il calcolo è qui particolarmente semplice, a differenza di quanto succede usualmente ! )

Conclusione: l’unica soluzione è (0,0,1,0)

Colonna dei termini noti

ESERCIZIO2.

Sistema lineare con parametro

Dato il seguente sistema lineare

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

=

= +

-λ λz y

λ z - x

2 y λx

con λ∈R

a) Stabilire per quali λ ∈ R ha soluzioni e quante sono.

b) Determinare, quando possibile, tutte le soluzioni.

a) E’ l’esercizio 4. dell’esercitazione precedente. Ne riporto qua per comodità i punti essenziali poiché servono per risolvere la parte b).

Iniziamo studiando ρ(A) =

λ 1 0

1 - 0 1

0 1 λ

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

La caratteristica di A é minore o uguale a 3, essendo A una matrice quadrata di ordine 3. E’ importante rilevare la pre- senza di minore indipendenti dal parametro λ.

(4)

Esiste un minore, ₀¹ ₋⁰₁ che é diverso da zero, quindi ρ(A) ≥2 ∀ λ∈R .

Calcoliamo

λ 1 0

1 0 1

0 1 λ

− = λ(1) - λ = 0 ∀ λ∈R

⇒ ρ(A) =2 ∀ λ∈R . Ora studiamo ρ(A|b) :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜ −

⎜⎜

⎝

⎛

−

λ λ λ

λ 2

1 0

1 0 1

0 1

che vale 2 o 3 a seconda che la colonna

dei termini noti alteri o meno ρ(A).

Usiamo la regola di Kronecker : consideriamo il minore (evidenziato) di ordine 2 diverso da zero e calcoliamo i due minori di ordine 3 che lo orlano:

λ 1 0

1 0 1

0 1 λ

− =0 (già visto)

λ λ 1

λ 1 0

2 0 1

−

− = λ-λ²+2

= 0 se λ =2,-1 1.

≠ 0 se λ ≠ 2,-1 2.

CASO 1. Entrambi i minori orlanti sono nulli , per Kronecker ρ(A|b) =2 ed è uguale a ρ(A), di conseguenza per il teorema di Roché Capelli ci sono soluzioni e sono ∞^n-ρ= ∞^3-2 = ∞¹

CASO 2. C’è in A|b un minore non nullo di ordine 3 ⇒ ρ(A|b)=3≠2=ρ(A) ⇒ nessuna soluzione (R.C.) Conclusione: λ ≠ 2,-1 : nessuna soluzione

λ =2,-1 : ∞¹soluzioni

b) Modi di determinare le soluzioni : metodo di sostituzione, ridu- zione, regola di CRAMER

Determiniamo le soluzioni nel caso λ = 2 (∞¹soluzioni)

A|b = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜ −

⎜⎜

⎝

⎛

−

λ λ 2

λ 1 0

1 0 1

0 1 λ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜ −

⎜⎜

⎝

⎛

−

2 2 2

2 1 0

1 0 1

0 1 2

Abbiamo già visto che il minore evidenziato è quello che individua ρ(A)= ρ(A|b) =2.

Allora il sistema di partenza è equivalente al sistema che ′contiene′ le righe di questo minore (R₁, R₂) :

λ=2

(5)

⎩⎨⎧

=

= +

2

z - x

2 y 2x

⎩⎨⎧

=

x -

2 z -

2x - 2 y

Infatti ogni volta che si fissa x il sistema diventa a 2 equazioni, 2 incognite , con d(A) ≠0 ed ha quindi un’unica soluzione (y,z). Ma poiché la x varia, le soluzioni del sistema sono infinite (∞¹) al variare di x in R : (x, 2-2x, x-2)

Determiniamo ora le soluzioni nel caso λ =-1 (∞¹soluzioni)

A|b = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜ −

⎜⎜

⎝

⎛

−

λ λ 2

λ 1 0

1 0 1

0 1 λ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜ −

⎜⎜

⎝

⎛

−

1 1 2

1 1 0

1 0 1

0 1 1

… analogamente a prima si ottiene

⎩⎨⎧

= +

=

x -

1 - z -

x 2 y

isoliamo a I°membro le incognite relative al minore non nullo :

il sistema diventa di CRAMER nelle incognite y, z, conside- rando la x ′variabile libera′

λ= -1

∞¹soluzioni :

(x, 2+x,1+x) al variare di x in R.

ESERCIZIO 3.

Sistema lineare omogeneo con parametro

Date le matrici S= _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

1 1 0

0 1

1 e T= ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ λ 1

4 2

2 1

a) stabilire per quali λ∈R il sistema omogeneo (ST)X= 0 ha soluzioni

b) Nel caso in cui il sistema abbia soluzioni determinarle, precisando ′quante′ sono.

a) ST = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

1 1 0

0 1 1

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ λ 1

4 2

2 1

= ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+

−

λ 4 3

2

1 X=

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ y x

(ST) X = 0 ⇔ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+

−

λ 4 3

2

1 ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ y

x = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 0 0

⇔ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ +(4 λ)y 3x

2y - x

- = ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 0 0

⇔ _⎩^⎨^⎧⁻_3x^x₊⁻₍₄^2y₊⁼_λ)y⁰ ₌₀

Un sistema omogeneo ha sempre almeno la soluzione banale ( assegnando zero a tutte le incognite, qua (0,0)).

Quindi il sistema omogeneo ha soluzioni ∀ λ∈R !!

2x3 3x2 2x2

(6)

b) Quando ha anche soluzioni non nulle ( e quindi infinite ) ? Uno dei modi per stabilirlo è con il Teorema di Rouchè Capelli, che afferma che le soluzioni , quando esistono, sono ∞^n-p dove n= n°

incognite e p = ρ(A). Dunque, nel caso dei sistemi omogenei:

ci sono infinite soluzioni ⇔ p<n, cioè ρ(A) < n° incognite equivalentemente

c’è solo la soluzione ‘nulla’⇔ p=n, cioè ρ(A)= n° incognite

N.B. In generale per qualunque sistema si ha:

ρ(A) ≤ n° incognite

(poiché il n° di incognite è uguale al n° di colonne di A, matrice dei coefficienti delle incognite)

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+

−

λ 4 3

2

1 ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ y

x = ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 0 0

ha soluzioni non nulle ⇔ ρ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+

−

λ 4 3

2 1 <2

⇔ ₃⁻¹ ₄⁻²₊_λ=0

λ 4 3

2 1

+

−

− = -4-λ+6 = -λ+2 = 0 ⇔ λ = 2

Quindi : • soluzione nulla (0,0) ⇔ λ ≠2 • soluzioni non nulle ⇔ λ=2

e in tal caso sono ∞^n-p= ∞^2-1 = ∞¹ soluzioni.

⎩⎨

⎧

= + +

=

−

0 λ)y (4 3x

0 2y

x

⎩⎨

⎧

= +

=

−

0 y 6 3x

0 2y

x x+2y=0 ⇒ SOL. (-2y,y) al variare di y in R

ESERCIZIO4.

Sistema lineare omogeneo con parametro

Dato il seguente sistema lineare omogeneo

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

=

− + +

=

− +

0 λt 2y x

0 t z 4y 2x

0 t 2y x

Determinare per quali λ ∈ R ha soluzioni e quante sono e ove possibile determinarle.

A = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

λ 0 2 1

1 1 4 2

1 0 2 1

ρ(A)≤3 ∀λ∈R per def.

C2 =2 C1 ⇒ ρ(A) = ρ _⎟^⎟^⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

λ 0 1

1 1 2

1 0 1

λ 0 1

1 1 2

1 0 1

−

= 1 ₁¹ ⁻_λ¹ = λ+1 = 0 ⇔ λ=-1

λ=-1 … si trova : ∞²Sol.ⁿⁱ(x,y,-x-2y,x+2y) al variare di x, y in R

λ≠-1 … si trova : ∞¹Sol.ⁿⁱ(-2y,y,0,0) al variare di y in R.

Minore di ordine 2 non nullo

⇒ ρ(A) ≥ 2 ∀λ∈R

Sviluppo lungo C2 ρ(A) =3 se λ≠-1 : ∞^4-3= ∞¹ soluzioni ρ(A) =2 se λ=-1 : ∞^4-2= ∞² soluzioni

(7)

ESERCIZIO 5.

Sistemi lineari con parametro

a) Per quali λ∈ R il sistema lineare S1:

⎩⎨

⎧

= +

=

−

− 0 λy x

λ z y

λx

ha ∞¹ soluzioni ?

b) Per quali λ∈ R il sistema lineare S2:

⎩⎨

⎧

= + +

0 λz 2)x (λ

0 2)y (λ λx

ha ∞¹ soluzioni ?

c) Si consideri il sistema lineare S costituito da S1 ed S2.

Per quali λ∈R il sistema S non ha soluzioni ? d) Determinare le soluzioni di S al variare di λ∈R.

a) S1 :_⎩^⎨^⎧_x^λx₊⁻_λy^y⁻₌^z₀⁼^λ A|b = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

0 λ 0 λ 1

1 1 λ

S₁ha soluzioni per R.C. ⇔ ρ(A)= ρ(A|b) E in tal caso ha ∞^3-ρ(A)soluzioni .

Quindi S₁ha ∞¹soluzioni ⇔ ρ(A)= ρ(A|b)=2

Meglio se c’è un minore indipendente da λ in A, sì quello formato da C1 e C3 : ₁^λ ⁻₀¹= 1≠0 ⇒ ρ(A)=2 ∀λ∈R

⇒ ρ(A)= ρ(A|b)= 2 ∀λ∈R ⇒ S1 ha ∞¹soluzioni ∀λ∈R

b) S2 :

⎩⎨

⎧

= + +

0 λz 2)x (λ

0 2)y (λ

λx A|b = ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

+

0 0 λ 0 2 λ

0 2 λ λ

S₂ è omogeneo, ha sempre soluzioni, ne ha ∞¹se ρ(A)=2

In A non ci sono minori di ordine 2 indipendenti da λ, sce- gliamone uno, ad esempio quello formato da C1 C3 :

λ 2 λ

0 λ

+ = λ² =0 ⇔ λ=0

Dunque se λ≠0 esiste in A un minore di ordine 2 non nullo e perciò ρ(A)=2.

Se invece λ=0 il minore prescelto si annulla, ma dobbiamo verificare se ce n’è almeno un altro non nullo.

λ=0 ⇒ A=⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞ 0 0 2

0 2

0 e il minore formato da C1C2

valendo -4 è non nullo ⇒ρ(A)=2

Conclusione : ρ(A)=2 ∀λ∈R ⇒ S2 ha ∞¹ SOL.ⁿⁱ∀λ∈R.

(8)

c) S1:

⎩⎨

⎧

= +

=

−

− 0 λy x

λ z y

λx S2:

⎩⎨

⎧

= + +

0 λz 2)x (λ

0 2)y (λ λx

S :

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= + +

= +

=

−

0 λz 2)x (λ

0 2)y (λ λx

0 λy x

λ z y λx

A|b =

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

+ +

−

0 0 0 λ

λ 0 2 λ

0 2 λ λ

0 λ 1

1 1 λ

Iniziamo con l’osservare che la matrice A|b è quadrata di ordine 4 e se d(A|b)≠0 allora ρ(A|b) = 4 < ρ(A) (ρ(A) al massimo è 3) e quindi per R.C. non ci sono sol.^ni.

Studiamo quindi d(A|b) =

0 λ 0 2 λ

0 0 2 λ λ

0 0 λ 1

λ 1 1 λ

+ +

−

=

= - λ

λ 0 2 λ

0 2 λ λ

0 λ 1 +

+ = - λ λ ¹_λ _λ^λ₊₂ = -λ² (λ+2-λ²)

-λ² (-λ²+λ+2) = 0 ⇔ λ = 0, -1,2

I^aRISPOSTA : ρ(A|b) = 4 ⇔ λ≠ 0,-1,2 .

Quindi se λ≠ 0,-1,2 NON ci sono SOL.ⁿⁱ

La domanda è:quando S non ha soluzioni ?

Sviluppo lungo C4

Sviluppo lungo C3

c) d) Rimangono da esaminare i casi λ = 0, -1, 2 che facendo ab- bassare ρ(A|b) possono far risultare ρ(A|b)= ρ(A).

CASO λ = 0

Nella matrice A|b =

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

+ +

−

0 0 0 λ

λ 0 2 λ

0 2 λ λ

0 λ 1

1 1 λ

La colonna dei termini noti è nulla , quindi il sistema è omogeneo, e come tale ha sempre soluzioni.

Calcoliamo per λ=0: ρ(A) = ρ

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ − −

0 0 2

0 2 0

0 0 1

1 1 0

R₄ ai fini della caratteristica e quindi delle soluzioni è irrilevante, il sistema è equivalente al sistema formato da R₁,R₂ ,R₃ ed è un sistema di Cramer:

3 equaz. , 3 incognite, d(A) ≠ 0 ⇒ ha un’unica sol.^ne , la soluzione nulla (0,0,0).

Minore di ordine 3 non nullo

(9)

CASO λ = -1

A|b =

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ − −

0 0 0 1 -

1 - 0 1

0 1 1 -

0 1 - 1

1 1 1 -

Ai fini della caratteristica possiamo omettere R3 (o R2),calcoliamo ρ(A)

1 0 1

0 1 1

1 1 1

−

= 1 ⁻₁¹ ⁻₀¹ -1 ₋⁻₁¹ ⁻₁¹ = 1 -1(-2) ≠ 0

⇒ ρ(A) = 3 = ρ(A|b) ⇒ c’ è un’unica Sol.^ne per R.C.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−

=

−

=

−

0 z x

0 y x

1 z y x

⇒ unica sol.^ne ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

3 1 3 1 3 1

CASO λ = 2

E’ analogo al caso λ = -1, si trova ρ(A) = 3 = ρ(A|b) e l’unica solu-

zione ^⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

9 8 9 2 9

4 .

RISPOSTA FINALE: λ≠ 0,-1,2 : NON ci sono SOL.ⁿⁱ λ = 0 : unica sol.^ne(0 0 0 ) λ = -1 : unica sol.^ne ^⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

3 1 3 1 3 1

λ = 2 : unica sol.^ne ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

9 8 9 2 9

4

proporzionali

ESERCIZIO 6.

Combinazioni lineari di colonne

Provare che C₄ = ^t(-1 0 0 0) è combinazione lineare di C1 = ^t(-1 1 -1 1), C2 = ^t(-1 -1 1 0), C3 = ^t(-1 0 0 -1) e determinare i coefficienti della combinazione.

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ +

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ +

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛−

1 -

0 0 1 - z 0 1 1 -

1 - y 1 1 -

1 1 - x 0 0 0 1

si esprime in modo equivalente

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

−

= +

−

=

−

=

−

0 z x

0 y x

1 z y x

Alternativamente si possono trovare subito i coefficienti x, y, z della C.L. ( facile ! ) :

Da x=y=z segue -3x=-1 cioè x=y=z=¹₃ . E dire che la colonna dei termini noti è C.L. delle 3 colonne dei coefficienti delle incognite equivale a dire che il sistema ha soluzioni, ossia che ρ(A)= ρ(A|b)