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2 . 10 . 1 Geometriadelleseriedipotenze 2 . 10 C omplementi

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Academic year: 2021

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(1)

2-18 i n t ro du z i o n e a i m e t o d i m at e m at i c i d e l l a f i s i c a

2.10 Complementi

2.10.1

Geometria delle serie di potenze

Una serie di numeri complessi, per quanto infinita, è pur sempre una somma di vettori nel piano. È dun- que utile farsene una rappresentazione geometrica, nello stesso spirito con cui Feynman, nel capitolo 30 del volume 1 delle sue ‘Lectures on Physics”, determina la diffrazione di una grata sommando geometrica- mente n sorgenti con stessa differenza di fase tra termini successivi, e stessa intensità.

Siamo interessati al caso in cui n diventa infinitamente grande, e quindi al caso in cui la lunghezza dei vettori (= modulo = norma) varia, in particolare, diventa sempre più piccola man mano che n aumenta. Co- me nel caso della diffrazione di una grata, consideriamo il caso più semplice di serie con stessa differenza di fase tra termini successivi, cioè la serie geometrica

1+z+z2+z3+. . . .

La studieremo graficamente con un programma di grafica vettoriale (Asymptote), usando il seguente codice elementare:

pair O= (0,0); //origine nel piano complesso

pair z = r* dir(theta); // r e theta sono rispettivamente modulo e angolo di z int m ; // numero di iterazioni (m-esima somma parziale della serie)

pair [ ] s= new pair[m];

s[0] = (1,0);

for(int n=1; n<=m-1 ; ++n) s[n] = s[n-1] + z^n ; for(int n=1; n<=m-1 ; ++n) draw(s[n-1]--s[n], Arrow);

Incominciamo con un vettore dentro il disco unitario. Abbiamo scelto r =0.8 e θ = 600. Ecco la figura che si ottiene

y

0.5 1

x

O

.8

600

Il primo vettore della serie è 1, il secondo è z. In figura ne abbiamo indicato la lunghezza. Il vettore in rosso denota la somma dei vettori (solita regola del parallelogramma). Facendo variare m si vede che il risultato numerico si stabilizza attorno alla somma

1 1−0.8∠(600)

(2)

2-19

Adesso facciamo avvicinare z al bordo del disco. Ecco i risultati per r=0.9 (figura a sinistra) e r =0.95 (e θ=300):

y

1 2

x

O

0.9

300

2

y

1 2

x

O

0.95

300

Com’era da aspettarsi, la convergenza per r = 0.95 è molto più lenta. Adesso mettiamo a confronto z vicinissimo al cerchio unitario e z sul cerchio per θ=600:

1

y

0.5 1

x

O

.98

600

1

y

1

x

O

1

600

Nel primo caso (r = 0.98, a sinistra) la convergenza è lentissima: m = 100, ma la serie non si à ancora stabilizzata (potete indovinare dove finirà?). La figura a destra mostra che per z = 1 non ci potrà mai essere convergenza: l’“orbita”della serie è periodica e l’esagono regolare è percorso indefinitivamente all’aumentare di m, senza che mai ci sia stabilizzazione della somma. Ecco un altro esempio dello stesso

(3)

2-20 i n t ro du z i o n e a i m e t o d i m at e m at i c i d e l l a f i s i c a

tipo, per θ=900:

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

y

0.5 1

x

O

0.9

900 0.2

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

y

0.5 1

x

O

1

900

Il fatto che quando z è sul cerchio, compaia un poligono regolare non è generico: è solo dovuto al fatto che 60 e 90 sono divisori interi di 360. Per una diversa scelta dell’angolo, l’orbita cessa d’essere periodica.

Ecco i risultati per θ=570: nella figura a sinistra, m=20, in quella a destra, m=80:

y

1

x

O

1

570

y

1

x

O

1

570

La figura a destra mostra che al crescere di m l’orbita copre uniformemente un anello circolare (si potreb- be dimostrare che lo compre densamente, ma questo esula dai nostri scopi). Quindi non ci può essere convergenza.

Infine, appena z esce dal disco, la serie tende all’infinito. Ecco due casi: per r=1.01 e r=1.1 (θ=400in entrambi i casi):

1 2 3

y

−2 −1 1 2 3

x

O

1.01

−200 200 400 600

y

−1000 −500 500

x

O

(4)

2-21

2.10.2

Regolarizzazione di Abel

Abel inventò anche un metodo per regolarizzare serie divergenti sul cerchioT. Introdusse quella che oggi è nota come sommabilità o regolarizzazione di Abel,

A-

n=−0

cneinθlim

r↑1

n=0

cnrneinθ

In altre parole, il valore di Abel della serie sul cerchio unitario nel punto θ è quello ottenuto come limite r → 1, lungo la direzione θ, della serie dentro al disco. La sommabilità secondo Abel è molto liberale e rende finite somme che sarebbero altrimenti infinite come limite delle somme parziali. Ad esempio, per la serie 1−1+1−1+1−1+. . . si ha

A-

n=0

(−1)n =lim

r→1

n=0

(−1)nrn =lim

r→1= 1 1+r = 1

2 Valgono i seguenti teoremi:

• Se una serie è sommabile nel senso usuale, allora è sommabile secondo Abel.

• Se una serie è sommabile secondo Abel, allora è sommabile secondo Cesaro (ma non necessariamente viceversa).

Il metodo di Abel si applica non solo allle serie, ma anche agli integrali divergenti. La regolarizzazione di Abel per gli integrali è

A- Z

f(x)dx≡lim

λ↓0 Z

eλxf(x)dx

In fisica, il metodo di Abel per regolarizzare serie e integrali è più usato di quello di Cesaro — forse perché la sommabilità secondo Abel è ancora più liberale di quella secondo Cesaro.

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