C. d. L. in Ingegneria Biomedica

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Esame di Analisi 2 - 01/07/2013 - FILA A Nome e cognome:

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Nel seguente esame dovrete risolvere 5 esercizi.

Gli esercizi 1 e 2 valgono 6 punti; gli esercizi 3 e 4 valgono 7 punti; l’esercizio 5 vale 8 punti.

Il massimo punteggio ottenibile nella prova ` e perci` o 34 punti.

Ricordatevi di motivare i passaggi effettuati nel modo pi` u chiaro possibile.

Per lo svolgimento dell’esame avete 3 ore e 30 minuti.

In caso di superamento dello scritto, voglio sostenere l’orale in data

 3-4 luglio  23-24 settembre  17-18 ottobre

Io sottoscritto /a ,

ai sensi della vigente normativa sulla privacy, autorizzo la pub- blicazione dei risultati di questa prova sulla pagina web del docente, e l’affissione in Dipartimento.

Firma

1

1) Studiare continuit` a, derivabilit` a (esistenza del solo gradiente) e differenziabilit` a in (0, 0) della funzione

f (x, y) =







xy ² + p

x ⁵ y + x ³

x ² + y ² (x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0).

2) a- Scrivere l’integrale generale dell’equazione differenziale y ⁰ − 6y = 4(cos x)e ^5x . b- Tra le soluzioni trovate, ve ne sono di limitate (su R)? Se s`ı, esibire un esempio;

se no, motivare la risposta.

3) a- ` E data la curva γ parametrizzata da ϕ(t) =  1

t − 3

t ² , t, cos t 2



, t ∈ h 1, π

2 i

.

Dire se la curva γ ` e semplice, regolare e se possiede punti sui piani coordinati Oxy, Oxz, Oyz (in tal caso, elencare tali punti).

b- Determinare il dominio del campo vettoriale F(x, y, z) =



2xy − 1 x



i + x ² + 3z
j + 3y k.

Dire se F ` e conservativo nel suo dominio e, in caso affermativo, calcolarne un potenziale. ` E possibile calcolare il lavoro di F lungo γ? Se s`ı, determinarne il valore, altrimenti motivare la risposta.

4) Calcolare il flusso del campo vettoriale

F(x, y, z) = b arctan(y ² + z ² ), p

x ² + y ² , z p x ² + y ²

!

uscente dal bordo dell’insieme D =



(x, y, z) ∈ R ³ | 9

4 ≤ x ² + y ² ≤ 4, − √

3x ≤ y ≤ √

3x, 0 ≤ z ≤ 1

 . 5) Una lamina materiale possiede la forma di un quarto di ellisse come in figura:

a b

x y

(a, b ∈ R, a > b). Si sa che la densit`a superficiale di massa della lamina `e σ(x, y) = 1

2 xy ² . Determinare l’ordinata del baricentro G della lamina.

Facoltativo: determinare l’ascissa di G.

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