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Dato il sistema continuo di masse (aree) determinare:
a) la posizione del baricentro
b) i momenti principali d’inerzia
c) la posizione dell’antipolo (centro relativo) della retta r
Fissato, arbitrariamente, un sistema di riferimento Oxy , dalle formule del baricentro si ha:
( )
A y S
A x S y
x G
x G
y G G
G
=
=
→
= ;
Come appare evidente il sistema è dotato di asse di simmetria ( asse baricentrico e centrale d’inerzia ) e quindi sarà sufficiente calcolare solo una delle due coordinate:
r a
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( )
A y S
a a a a
a a a a
a a
A x S y
x G
x G
y G G
G
=
=
=
⋅ +
⋅ +
⋅
=
→ =
= 2
5 3
2 15 3
2 7 2
7 2
; 2
3
2 2 2
2
Calcolo dei momenti principali d’inerzia:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) 12 12
12 55 2
2 3 12
4 37 12
111 12
55 12 12
55
4 3 2
4 2
2 3 1
2 1 3
1
4 4
4 4
4 3
2 1
1
a a J a
a a
a a x a
d A J J
J
a a
a a a J
J J J
x
⋅ =
=
=
⋅
⋅ +
= +
=
=
=
= +
+
= + +
=
ξ ξ ξ
ξ ξ ξ ξ
ξ
x y
O
G1 G2
G3
• •
• r
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( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 3 2( )
2 42 2 2
4 2
2 3 1
2 1 3
1
4 4
4 4
3 2 1
12 2 25
12
12 7 2
2 12
4 39 12
7 12
25 12
7
2 1
a a
a a y a
d A J J
a a
a a y a
d A J J
J
a a
a a
J J J J
y y
=
⋅
⋅ +
= +
=
=
⋅
⋅ +
= +
=
=
= +
+
= + +
=
η η
η η η
η η η η
Ricordando le formule dell’antipolo ( centro relativo ) di una retta:
= ρη2 ; ρξ2 c b c
R a
x y
O
G1 G2
G3
• •
• r
• G
ξξξξ η
ηη η
x1
y1 y2
R
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dal calcolo dei raggi giratori:
2 2
4 2
2 2
4 2
12 39 3
4 39
12 37 3
4 37
a a a A
J
a a a A
J
=
=
=
=
=
=
η η
ξ ξ
ρ ρ
e dall’equazione della retta r ( rispetto al sistema principale Gξη ):
a
− 2 ξ =
portandola in forma antipolare:
0 1 2 0
2 = → + =
+
a
a ξ
ξ
si ha infine:
=
→
⋅
=
→
= ;0
24 2 0 39
12 ; 39 2
; 2 1 2
2 a R a
R a c
b c
R aρη ρξ
