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Analisi di missione nel caso di dipolo inclinato
4.1 Scelta dei parametri di controllo
Un sistema tether elettrodinamico presenta le seguenti specifiche di progetto:
• MT ot massa del sistema [ Kg]
• L lunghezza del tether [ m]
• E∗ modulo di elasticit`a del materiale del cavo [ N/m2]
• T tensione presente nel cavo [ Pa]
• I corrente presente nel cavo [ Am]
• Across sezione trasversale del tether [ m2]
• SF fattore di sicurezza per il materiale [1.5]
Nel presente lavoro di tesi si sono scelti come parametri di controllo la lunghezza L e la corrente del cavo I. In particolare inizialmente si `e mantenuta costante la corrente I nel cavo, facendo variare la lunghezza di quest’ultimo in un intervallo tra 3000 e 11000 m; in un secondo momento invece si sono fatti variare entrambi i parametri di controllo, scegliendo una rosa di valori di ottimo, cio`e valori per i quali i tempi di volo fossero minimizzati. Circa gli
`e fatto riferimento in particolare al materiale utilizzato per il cavo, n´e si `e tenuto di conto della tensione esistente nel tether, non `e stata quindi fatta una particolare scelta circa il fattore di sicurezza. Queste scelte si sono rivelate infatti ininfluenti ai fini della trattazione, in quanto si `e voluto considerare l’aspetto della meccanica orbitale del problema, non quello strutturale, che invece avrebbe richiesto approfondite analisi sia sulla scelta del materiale da impiegare, sia sulle forze di tensione agenti sul sistema tether.
4.2 Analisi del sistema
Inizialmente si `e studiato il comportamento del tether in una traiettoria di fuga partendo da un’orbita di parcheggio (le cui grandezze di riferimento sono riportate nella tabella 4.1) intorno alla Terra (cfr. [6]), ipotizzando il tether privo di un sistema di propulsione convenzionale e quindi soggetto alla sola spinta dovuta all’interazione con il campo magnetico terrestre. Quest’ulti- mo, rispetto all’asse di rotazione terrestre, `e schematizzato utilizzando un dipolo inclinato di un angolo di 11.5◦. Questa scelta `e spiegabile in quanto si vogliono studiare le prestazioni del sistema nelle condizioni peggiori, per esempio nel caso in cui lo shuttle avesse gravi danni al sistema propulsivo e quindi non potesse usufruire della spinta da esso generato.
a 24568km e 0.716
i 7◦
ω 90◦ Ω 180◦
ν 0◦
Tabella 4.1: Caratteristiche dell’orbita iniziale di parcheggio Riassumendo le ipotesi di partenza per l’analisi in questione sono:
• assenza del sistema propulsivo convenzionale
Il sistema di equazioni differenziali da integrare `e il seguente:
˙x = u
˙y = v
˙z = w
(4.1)
˙u = − x
(x2+y2+z2)3/2 + axtether
˙v = − y
(x2+y2+z2)3/2 + aytether
˙
w = − z
(x2+y2+z2)3/2 + aztether
(4.2)
Con le seguenti condizioni iniziali:
x0 = rm[cos Ω cos (ω + ν) − sin Ω cos i sin (ω + ν)]
y0 = rm[sin Ω cos (ω + ν) + cos Ω cos i sin (ω + ν)]
z0 = rmsin i sin (ω + ν)
(4.3)
u0 = −q
µ
p [cos Ω (e sin ω + sin(ω + ν)) + sin Ω cos i (e cos ω + cos(ω + ν))]
v0 = −q
µ
p [sin Ω (e sin ω + sin(ω + ν)) − cos Ω cos i (e cos ω + cos(ω + ν))]
w0 =q
µ
p sin i (e cos ω + cos(ω + ν))
(4.4) In cui
rm = p
1 + e cos ν p = a(1 − e2)
sono rispettivamente il raggio medio e il semilato retto dell’orbita di parcheg- gio.
Nelle simulazioni per la fuga, sono stati inseriti due differenti controlli per il tether: il primo sull’energia meccanica, poich´e `e noto che per ottenere la fuga occorre che questa sia positiva, il secondo sul raggiungimento della sfera di influenza terrestre, in quanto fuori dalla sfera d’influenza diventa trascu- rabile l’influenza del campo magnetico terrestre sul tether e quindi anche la
Rp = D⊕¯
·M⊕ M¯
¸2/5
dove D⊕¯`e la distanza Terra-Sole ed M⊕e M¯sono le masse rispettivamente della Terra e del Sole.
4.3 Risultati numerici
4.3.1 Grafici relativi al caso di dipolo inclinato
Questa prima serie di simulazioni sono state condotte su un tether con le seguenti caratteristiche:
m = 1000 kg (massa totale del tether) I = 10 Am (corrente nel cavo)
Se da un lato quindi si `e mantenuta costante la corrente I nel tether, dall’altro si `e variato il parametro di controllo sulla lunghezza L del cavo, che `e stato preso uguale a:
L = 2000 + 1000k con
1 ≤ k ≤ 8
Aumentare ulteriormente l’intervallo di variazione del parametro di control- lo, avrebbe avuto inevitabili ripercussioni negative sulla massa del sistema, che quindi, non si sarebbe pi`u potuta mantenere costante.
Si riportano quindi i risultati ottenuti per tutti i valori del parametro di controllo (L) considerati, in particolare si riportano l’andamento dell’energia meccanica del sistema (E = v22 − 1r) e la traiettoria del tether al variare del tempo.
Di seguito si riportano i risultati relativi a valori del parametro di control- lo, tali che 3000 ≤ L ≤ 7000 m:
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
−0.14
−0.12
−0.1
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02 0
time [days]
E [DU2/TU2]
Figura 4.1: Curva dell’energia meccanica per L=3000 m
−20 −10
0 10
20 0
20 40
60 80
100 120
140
−10
−5 0
z [DU]
x [DU]
Figura 4.2: Traiettoria per L=3000 m
0 500 1000 1500
−0.14
−0.12
−0.1
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02 0
time [days]
E [DU2/TU2]
Figura 4.3: Curva dell’energia meccanica per L=4000 m
Figura 4.4: Traiettoria per L=4000 m
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
−0.14
−0.12
−0.1
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02 0
time [days]
E [DU2/TU2]
Figura 4.5: Curva dell’energia meccanica per L=5000 m
−20
0
20 0
50
100
150
−10
−5 0
z [DU]
x [DU]
Figura 4.6: Traiettoria per L=5000 m
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
−0.14
−0.12
−0.1
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02 0
time [days]
E [DU2/TU2]
Figura 4.7: Curva dell’energia meccanica per L=6000 m
−20 0
20 0
50
100
150
200
250
−20
−10 0
z [DU]
x [DU]
Figura 4.8: Traiettoria per L=6000 m
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
−0.14
−0.12
−0.1
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02 0
time [days]
E [DU2/TU2]
Figura 4.9: Curva dell’energia meccanica per L=7000 m
−20 0
20 0
20 40
60 80
100 120
140 160
−15
−10
−5 0
z [DU]
x [DU]
Figura 4.10: Traiettoria per L=7000 m
Di seguito si riportano i risultati relativi a valori del parametro di control- lo, tali che 8000 ≤ L ≤ 11000 m:
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
−0.14
−0.12
−0.1
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02 0
time [days]
E [DU2/TU2]
Figura 4.11: Curva dell’energia meccanica per L=8000 m
−20
0
20 0
50
100
150
−10
−5 0
z [DU]
x [DU]
0 100 200 300 400 500 600 700
−0.14
−0.12
−0.1
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02 0
time [days]
E [DU2/TU2]
Figura 4.13: Curva dell’energia meccanica per L=9000 m
−20
0
20 0
50
100
150
−10
−5 0
z [DU]
x [DU]
Figura 4.14: Traiettoria per L=9000 m
0 100 200 300 400 500 600 700 -0.14
-0.12 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0
time [days]
E [DU2/TU2]
Figura 4.15: Curva dell’energia meccanica per L=10000 m
−20
0
20 0
50
100
150
−15
−10
−5 0
z [DU]
x [DU]
0 100 200 300 400 500 600
−0.14
−0.12
−0.1
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02 0
time [days]
E [DU2/TU2]
Figura 4.17: Curva dell’energia meccanica per L=11000 m
−20
0
20 0
20 40
60 80
100 120
140 160
−15
−10
−5 0
z [DU]
x [DU]
Figura 4.18: Traiettoria per L=11000 m
E possibile quindi fare un confronto tra i risultati ottenuti dalle simula-` zioni per differenti valori del parametro di controllo:
3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000
500 1000 1500 2000
tether length [m]
escape time [days]
modello con dipolo inclinato (angolo alpha = 11.5°)
Figura 4.19: Variazione della lunghezza del cavo al variare del parametro di controllo L
4.3.2 Considerazioni
Innanzi tutto `e importante sottolineare il fatto che i risultati ottenuti sui tempi di missione sono tutti tempi necessari al veicolo spaziale per raggiun- gere l’estremit`a della sfera di influenza terrestre; il tether infatti, con la sola spinta fornita dalle interazioni elettromagnetiche, non riesce a raggiungere l’energia meccanica specifica di fuga. La sua energia meccanica, infatti, ri- mane sempre strettamente negativa. Si `e ritenuto opportuno considerare solo il moto del tether fino all’estremit`a della sfera di influenza terrestre, perch´e
Lunghezza del tether [m] Tempo di fuga [giorni]
3000 1939.70
4000 1475.88
5000 1163.80
6000 977.23
7000 835.04
8000 745.30
9000 668.04
10000 606.27
11000 549.07
Tabella 4.2: Tempi di missione nel caso di dipolo inclinato Lunghezza del tether [ m] Diminuzione tempi di fuga[%]
3000 → 4000 -23.91
4000 → 5000 -21.14
5000 → 6000 -16.03
6000 → 7000 -14.55
7000 → 8000 -10.74
8000 → 9000 -10.36
9000 → 10000 -9.24
10000 → 11000 -9.43
Tabella 4.3: Guadagni percentuali sui tempi di fuga al variare del controllo
elettromagnetico al sistema propulsivo. Si noti inoltre che le traiettorie des- critte dal tether sono tutte piane e si nota da un confronto tra i diversi casi, che aumentando il parametro di controllo si ha un netto miglioramento dei tempi necessari alla missione, il cui andamento percentuale `e riportato nella Tabella 4.3.
La scelta sul parametro di controllo spingerebbe a scegliere il massimo valore all’interno dell’intervallo di esistenza:
L = 11000 m
Questa scelta `e giustificata dal fatto che tale valore del controllo fornisce il massimo valore dell’equazione (3.6) e quindi il massimo della spinta pro- pulsiva. Inoltre dalla tabella 4.3 si osserva che i miglioramenti percentuali
da 6000 m a 7000 m. Per tali valori del parametro di controllo il guadagno percentuale sui tempi di missione passa da 23.91%, a 21.14%, a 16.03%, a 14.55%. Per valori superiori della lunghezza del tether, i guadagni percen- tuali diminuiscono sensibilmente fino a 9.43% passando da 10000 a 11000 m.
