Capitolo 4 Risultati delle simulazioni: metodo Capon Generalizzato

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Risultati delle simulazioni: metodo

Capon Generalizzato

Introduzione

Questo capitolo è dedicato alla presentazione dei risultati delle simulazioni ottenuti con il metodo Capon generalizzato. I dati sono generati attraverso 1000 prove Monte Carlo in accordo al modello statistico descritto nel capitolo 2. Le prestazioni dei sistemi proposti sono state valutate in termini di errore quadratico medio e confrontate con le prestazioni ottenute con il metodo MUSIC e con i limiti di Cramèr-Rao.

4.1 Sistemi ATI-SAR multicanale analizzati

L’algoritmo Capon Generalizzato, a differenza del Covariance Fitting, non soffre di alcun problema di malcondizionamento; ne discende che è stato possibile analizzare tutti gli otto casi mostrati nella tabella 3.1 presentata nel capitolo 3. I sistemi ATI-SAR considerati sono:

un sistema a base lunga, con tre sensori (casi 3 e 7), un sistema a base lunga, con cinque sensori (casi 4 e 8),

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un sistema a base uguale, con tre sensori (casi 1 e 5), un sistema a base uguale, con cinque sensori (casi 2 e 6).

4.2 Casistica delle simulazioni

Le simulazioni, relative all’algoritmo Capon Generalizzato, sono state effettuate al fine di ricavare gli andamenti dell’errore quadratico medio (RMSE) delle stime delle fasi delle sorgenti di Bragg al variare dei seguenti parametri:

a) SNR2/SNR1, rapporto tra la potenza media dell’onda che si avvicina e

quella che si allontana,

b) SNR, rapporto segnale-rumore complessivo, c) N, numero di look,

d) t, tempo di coerenza della superficie marina normalizzato al tempo di acquisizione complessivo,

e) d, distanza, misurata in radianti, tra le due sorgenti di Bragg.

Le simulazioni relative ai sistemi indicati ai casi b), c), d), e) forniscono l’andamento delle prestazioni al variare, rispettivamente, del rapporto segnale rumore totale SNR, del numero di look N , del tempo di coerenza normalizzato t e della distanza tra le sorgenti d nel caso particolare di sorgenti di Bragg equipotenti. Le simulazioni relative al caso a), c), d) ed e) sono effettuate con un rapporto segnale-rumore complessivo pari a 24 dB, mentre i casi a), b), d) ed e) con un numero di look uguale a 32.

Richiamiamo il metodo di estrazione dei picchi introdotto nel capitolo 2: il; primo metodo, più “ grezzo”, per estrarre le coordinate dei massimi dello pseudospettro, consiste nel filtrare la matrice Pgc attraverso la funzione Matlab imregionalmax; in

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quale i massimi relativi della matrice originaria sono trasformati in 1 logici, gli altri valori in 0 logici. A questo punto, per estrarre le coordinate dei massimi, basta ricercare le coordinate di fase e di tempo di coerenza per le quali il valore dalla matrice filtrata è 1. Chiameremo questo metodo “Capon Generalizzato-prima versione”. Si è notato però che, a causa di piccolissimi lobi laterali presenti nello pseudospettro, invece di ottenere un singolo 1 per ogni massimo (quindi per ogni sorgente), sono presenti degli insiemi di 1 logici. Per ovviare questo inconveniente, che può portare talvolta a degli errori nelle stime di fase, si è pensato di utilizzare un’altra funzione Matlab (bwlabel) al fine di etichettare gli insiemi di 1 presenti nella matrice filtrata. Si può qundi andare a ricercare il massimo valore presente in ogni insieme di punti e procedere alla stime di fase come in precedenza. Chiameremo questo metodo “ Capon Generalizzato-seconda versione”.

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Nella tabella 4.1 sono indicati, per ogni combinazione di caso analizzato e di parametro variabile, i numeri della figure corrispondenti raffigurate nel paragrafo successivo. Questi risultati sono stati ottenuti con lo stimatore “Capon Generalizzato-prima versione”. PARAMETRO VARIABILE CASO SIMULATO

φφφφ

e

t

_SNR₂_/SNR₁ (dB) SNR (dB) N

Caso 1 Figura 4.1 Figure 4.9, Figura 4.17 Figura 4.25

Caso 2 Figura 4.2 Figure 4.10, Figura 4.18 Figura 4.26

Tabella 4.1: casi simulati e parametri variabili, figure realizzate con “Capon Generalizzato-prima

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Una volta raffinato il metodo di estrazione delle coordinate dei picchi, sono stati realizzati dei nuovi grafici, al variare di SNR2/SNR1, di t e di d, utilizzando lo stimatore “Capon Generalizzato-seconda versione”. Le figure relative ai suddetti casi sono presenti nella tabella 4.2.

PARAMETRO VARIABILE CASO SIMULATO SNR2/SNR1 (dB) /

τ τ

c t = d (radianti)

CASO 1 Figura 4.33 Figura 4.43 Figura 4.44 Figura 4.47 Figura 4.48 CASO 2 Figura 4.34 CASO 3 Figura 4.35 Figura 4.36 Figura 4.45 Figura 4.46 CASO 4 Figura 4.37

CASO 5 Figura 4.38 Figura 4.43 Figura 4.44 CASO 6 Figura 4.39

CASO 7 Figura 4.40 Figura 4.45 Figura 4.46 CASO 8 Figura 4.41

Figura 4.42

Tabella 4.2: elenco delle figure, al variare del caso considerato e del parametro variabile, ottenute

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4.3 Diagrammi delle prestazioni

In questa sezione vengono raccolti i diagrammi delle prestazioni dei sistemi simulati. I risultati sono elencati nell’ordine temporale con cui sono stati ottenuti, mentre la combinazione di curve rappresentate in una stessa figura è stata scelta in modo da evidenziare le conoscenze progressivamente acquisite. I primi grafici proposti (figure 4.1-4.8) rappresentano l’andamento dello pseudo-spettro di Capon Generalizzato Pgc

( )

ψ

al variare di φ e

τ τ

c/ (nelle figure sono indicati rispettivamente come phi e stau). In effetti, ψψψψ è il vettore che contiene i parametri per i quali varia lo pseudo-spettro, che altro non sono che la fase ed il tempo di coerenza della superficie marina normalizzato al tempo di acquisizione complessivo. Da queste figure si posso identificare i due picchi corrispondenti alle fasi di Bragg, le coordinate dei quali sono proprio i parametri da stimare.

Nelle figure 4.9-4.16 sono illustrati i grafici dell’RMSE delle stime di fase al variare del rapporto tra la potenza media della sorgente che si avvicina e quella che si allontana (SNR2/SNR1).

I grafici dell’RMSE al variare del rapporto segnale rumore complessivo (SNR) sono mostrati nelle figure 4.17-4.24, mentre nelle figure 4.25-4.32 sono raccolte le curve dell’RMSE al variare del numero di look N.

Proponiamo poi una nuova serie di grafici dell’RMSE al variare di SNR2/SNR1, ottenuti dopo aver raffinato il metodo per estrarre le coordinate dei picchi dello pseudospettro, presenti nelle figure 4.33-4.42. Queste figure sono preposte al confronto tra il metodo Capon Generalizzato utilizzato fino ad ora e quello in cui si è migliorato il sistema per estrarre le coordinate dei massimi dello pseudospettro, infatti, in questi grafici, non sono presenti le curve relative al metodo MUSIC. Le

figure 4.39 e 4.45 sono realizzate con un intervallo di variabilità maggiore di

SNR2/SNR1. Con lo stesso metodo utilizzato per realizzare le precedenti figure, abbiamo ottenuto una nuova serie di grafici al variare del tempo di coerenza della superficie marina normalizzato al tempo di acquisizione del sistema (t) negli scenari con 3 antenne, e al variare della distanza tra le sorgenti (d) nel caso 1 (vedere tabella 3.1). Tali grafici sono rappresentati rispettivamente nelle figure

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4.43-4.46 e 4.47-4.48. In particolare le figure 4.44, 4.46 e 4.48 sono ottenute nel caso di sorgenti sbilanciate, esattamente nel caso in cui la sorgente che si avvicina è 3 volte più potente di quella che si allontana (SNR2/SNR1 = 3 dB).

Nella legenda delle figure indichiamo con Gcapon le curve relative all’RMSE calcolato col metodo Capon Generalizzato, con MUSIC le curve realizzate con lo stimatore MUSIC e con CRLB i Bound di Cramer-Rao. Nelle figure 4.33-4.48 si indicano con GC le curve relative all’RMSE ricavato con l’ultima versione di Capon Generalizzato, ovvero quella in cui si è riusciti ad estrarre i picchi in maniera più precisa.

Come detto nel capitolo 3, si possono considerare delle buone stime di fase quelle il cui errore quadratico medio risulta inferiore ai 10 gradi. In considerazione di ciò andiamo a commentare i grafici ottenuti.

Iniziamo con i risultati delle simulazioni relative allo stimatore “Capon Generalizzato-prima versione”.

In figura 4.9, relativa al caso 1, notiamo che l’errore quadratico medio delle stime ricavate con “Capon Generalizzato-prima versione” è superiore ai 10 gradi, in considerazione di ciò le suddette stime non sono molto precise. Lo stesso discorso si può fare per la figura 4.10 (caso 2) nella quale l’errore quadratico medio delle stime di fase supera, anche se di poco, i 10 gradi. La situazione migliora notevolmente nella figura 4.11(caso 3) in cui l’RMSE consiste in pochi gradi. Anche nel caso 4, rappresentato in figura 4.12, le stime di fase sono accettabili, in quanto l’RMSE risulta inferiore ai 10 gradi. Nel caso 5, figura 4.13, invece si può vedere come l’errore quadratico medio delle stime sia, specialmente per i valori centrali di ∆SNR, piuttosto alto, all’incorca pari ad una ventina di gradi. In figura 4.14, rappresentante l’RMSE nel caso 6, le considerazioni sono le stesse del caso precedente. Le stime migliorano, invece, nel caso 7 (figura 4.15) in cui il valore dell’RMSE risulta, in speciale modo nella zona centrale, inferiore ai 10 gradi. Gli errori quadratici medi ottenuti nello scenario contraddistinto come caso 8, invece, sono di pochi gradi, le fasi stimate sono dunque attendibili (figura 4.16).

Vediamo ora come variano le stime di fase quando si utilizza il metodo “Capon Generalizzato-seconda versione”: in figura 4.33 è mostrato chiaramente come le prestazioni della “seconda versione” migliorino soltanto leggermente rispetto alle

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precedenti, nonostante ciò l’RMSE risulta ancora essere maggiore di 10 gradi. In

figura 4.34, invece, appare evidente come, con la seconda versione, non si trova alcun miglioramento delle stime di fase, l’RMSE dunque continua ad essere maggiore di 10 gradi e quindi le stime di fase non sono particolarmente accurate. Un giovamento, anche se piccolo, lo rileviamo nel caso 3, figura 4.35, dove gli RMSE ricavati con la “seconda versione” risultano minori dei precedenti; comunque in questo caso le stime sono accurate poichè gli RMSE sono di pochi gradi. Nel caso 4, figura 4.37, gli RMSE ricavati con la “seconda versione” sono analoghi a quelli trovati con la prima, comunque le stime di fase sono accettabili in quanto i suddetti RMSE sono ancora inferiori alla decina di gradi. In figura 4.38, scenario relativo al caso 5, gli errori quadratici medi realizzati con la seconda versione sono di poco inferiori a quelli calcolati in precedenza, purtroppo però gli RMSE risultano ancora troppo grandi (circa 20 gradi nella zona centrale). Nel caso 6 le stime ricavate con la “seconda versione” migliorano nettamente rispetto alle precedenti (RMSE minore di circa 10 gradi), nonostante questo l’RMSE rimane ancora superiore ai 10 gradi, seppure di poco. In figura 4.40 (caso 7) vediamo come la seconda versione non migliori affatto le stime, comunque gli RMSE risultano inferiori ai 10 gradi (almeno nella zona di sorgenti equipotenti) e quindi le stime sono piuttosto accurate. Infine, nel caso 8 (figura 4.41) le stime di fase sono accurate in quanto gli RMSE sono dell’ordine di qualche grado; l’uso della seconda versione però migliora solo in maniera impercettibile le stime.

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Figura 4.1: andamento dello pseudo-spettro P_gc al variare della fase φ e del tempo di coerenza della superficie marina normalizzato al tempo di acquisizione complessivo. I parametri della simulazione sono: K=3, t=4, φB =3 / 8π , N= 32, SNR= 24 dB.

Figura 4.2: andamento dello pseudo-spettro P_gc al variare della fase φ e del tempo di coerenza della superficie marina normalizzato al tempo di acquisizione complessivo. I parametri della simulazione sono: K=5, t=4, φ_B =3 / 8π , N= 32, SNR= 24 dB.

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Figura 4.8: andamento dello pseudo-spettro P_gc al variare della fase φ e del tempo di coerenza della superficie marina normalizzato al tempo di acquisizione complessivo. I parametri della simulazione sono: K=5, t=0.5, φ_B =3 / 2π , N= 32, SNR= 24 dB.

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Figura 4.9: andamento dell’RMSE delle sorgenti di Bragg al variare del rapporto tra la potenza

media della sorgente che si avvicina e quella che si allontana. I parametri della simulazione sono: K=3, t=4, φ_B =3 / 8π , N=32 e SNR=24 dB

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media della sorgente che si avvicina e quella che si allontana. I parametri della simulazione sono: K=5, t=0.5, φ_B =3 / 2π , N=32 e SNR=24 dB

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Figura 4.17: andamento dell’RMSE delle sorgenti di Bragg al variare del rapporto segnale rumore

complessivo. I parametri della simulazione sono: K=3, t=4, φ_B =3 / 8π , N=32.

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Figura 4.25: andamento dell’RMSE delle sorgenti di Bragg al variare del numero di look. I

parametri della simulazione sono: K=3, t=4, φ_B =3 / 8π , SNR=24 dB.

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parametri della simulazione sono: K=3, t=1, φB =3 / 4π , SNR=24 dB.

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media della sorgente che si avvicina e quella che si allontana. I parametri della simulazione sono: K=3, t=2, φ_B =3 / 4π , N=32 e SNR=24 dB.

Proponiamo questa stessa figura con un range più esteso di variabilità della quantità SNR2/SNR1, omettendo per chiarezza le curve relative al metodo Capon

generalizzato con estrazione dei picchi più grezza ed inserendo però le curve dell’RMSE delle stime di fase ricavate con MUSIC.

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media della sorgente che si avvicina e quella che si allontana. I parametri della simulazione sono: K=3, t=2, φB =3 / 8π , N=32 e SNR=24 dB.

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media della sorgente che si avvicina e quella che si allontana. I parametri della simulazione sono: K=3, t=1, φB =3 / 4π , N=32 e SNR=24 dB.

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media della sorgente che si avvicina e quella che si allontana. I parametri della simulazione sono: K=5, t=0.5, φ_B =3 / 2π , N=32 e SNR=24 dB.

Proponiamo, anche per quanto riguarda la figura 4.45, un grafico analogo nel quale il range di variabilità di SNR2/SNR1 è maggiore del precedente (varia tra -10 e 10 dB); sono state omesse le curve relative alla prima versione di Capon Generalizzato, mentre sono presenti quelle dell’RMSE delle stime di fase ricavate attraverso il metodo MUSIC.

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media della sorgente che si avvicina e quella che si allontana. I parametri della simulazione sono: K=5, t=0.5, φ_B =3 / 2π , N=32 e SNR=24 dB.

Figura 4.43: andamento dell’RMSE delle sorgenti di Bragg al variare del tempo di coerenza della

superficie marina normalizzato al tempo di acquisizione. I parametri della simulazione sono: K=3,

3 / 8 B

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3 / 8 B

φ = π , SNR2/SNR1 =3 dB, N=32 e SNR=24 dB.

3 / 4 B

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3 / 4 B

φ = π , SNR2/SNR1 =3 dB, N=32 e SNR=24 dB.

Figura 4.47: andamento dell’RMSE delle sorgenti di Bragg al variare della distanza tra le sorgenti.

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Figura 4.48: andamento dell’RMSE delle sorgenti di Bragg al variare della distanza tra le sorgenti.