6. Schub und Enthalpie

6.

Schub und Enthalpie

Für die Bestimmung des Schubes kann man mehrere Methoden einsetzen. In dieser Arbeit wurde ein Versuch unternommen diese Größe mit möglichst hoher Präzision zu berechnen, obwohl es notwendig war, viele Annahmen zu treffen. Dasselbe gilt für die Bestimmung der Enthalpie. Ein wichtiger Parameter dafür ist die Strahltemperatur, weil sie alle anderen Parameter beeinflusst.

6.1. Die Temperatur

Durch die Kombination von direkten Messungen und Berechnungen wurden Temperaturprofile für verschiedene Positionen im Plasmastrahl errechnet. Dafür war es notwendig, mehrere Parameter zu bestimmen die, da sie in der Literatur nicht zu finden waren, wie im Folgenden illustriert ermittelt wurden.

6.1.1. Bestimmung des Isentropenkoeffizienten γ

Von der Definition des Isentropenkoeffizienten für ideale Gase:

R

c

c

p p

−

=

γ

sind die zwei Koeffizienten

c

_p und

R

zu bestimmen.

Die Wärmekapazität ist für ein ideales Gas auf diese Weise definiert:

T

h

c

_p

∆

∆

=

Aus dem Verlauf der Enthalpie über die Temperatur für Wasserstoff bei einem Druck p = 0.3 mbar folgt man der Verlauf des Koeffizienten

c

_p mit der Temperatur:

Bild 6.1. Verlauf der Enthalpie über die Temperatur für Wasserstoff bei p = 0.3 mbar

Bild 6.2. Verlauf der spezifischen Wärmekapazität über der Temperatur für Wasserstoff bei p = 0.3 mbar

R

, die spezifische Gaskonstante, ist definiert als:

R

=

ℜ

0 .0 0 E + 0 0 5 .0 0 E + 0 8 1 .0 0 E + 0 9 1 .5 0 E + 0 9 2 .0 0 E + 0 9 2 .5 0 E + 0 9 0 2 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 8 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 4 0 0 0 1 6 0 0 0 1 8 0 0 0 2 0 0 0 0 T e m p e r a t u r , K Enthalpie, J/kg s p e z if is c h e E n t h a lp ie f ü r W a s s e r s t o f f p = 0 .3 m b a r 0 100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000 0 5000 10000 15000 20000 25000 Temperatur, K spez. W ä rm ekapazität, J/kg·K

wobei

ℜ

die allgemeine Gaskonstante und M die Molmasse ist.

Aus der folgenden Grafik erhält man die chemische Zusammensetzung des Wasserstoffs als Funktion der Temperatur bei p = 0.3 mbar. Daraus folgt der Verlauf von R über der

Temperatur:

Bild 6.3. Molanteile über Temperatur für Wasserstoff bei p = 0.3 mbar

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 0 5000 10000 15000 20000 25000 Temperatur, K spez Gaskonstante, J/kg·K

Bild 6.4. Spezifische Gaskonstante von Wasserstoff bei p= 0.3 mbar 1.E-05 1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00 0 5000 10000 15000 20000 25000 Temperatur, K Molanteil, -H2 H H+ /

e-In diesem Fall benötigt man die Annahme von chemischem Gleichgewicht, d.h. die chemische Zusammensetzung des Wasserstoffs hängt nur von der Temperatur ab.

Mit den auf diese Weise errechneten Daten kann man den Verlauf von γ über der Temperatur für Wasserstoff bei 0.3 mbar finden:

Bild 6.5. Isentropenkoeffizient von Wasserstoff bei p = 0.3 mbar 6.1.2. Bestimmung von v = v(T) aus den Pitotdrucksmessungen

Wie im Kapitel 4 schon beschrieben, ist für Überschallströmungen der Pitotdruck mit γ und M durch die Rayleigh-Pitot Formel verbunden:

(

)

(

)

( )       + ⋅ + − ⋅       − ⋅ − ⋅ ⋅ + = − 1 2 1 1 2 4 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 γ γ γ γ γ γ γ γ M M M p p_tot

Wenn die Strömung im Unterschall ist, besteht die Beziehung:

(

)

₂ ( 1) 2 1 1 _ −   − _⋅ + = γ γ γ M p p_tot

Da der statische Druck bekannt ist (pst ≅ pamb =0.3 mbar), ist Ptot eine Funktion von M und T.

Das heißt, da der Pitotdruck aus den Messungen bekannt ist, kann man den Verlauf von M=M(T) herausfinden. Die Machzahl ist aber eine Funktion der Geschwindigkeit und außerdem der Temperatur:

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0 5000 10000 15000 20000 25000 Temperatur, K Isentropenexponent,

-RT

v

M

γ

=

deshalb gibt es eine direkte Beziehung zwischen v und T:

(

)

(

)

( ) ) ( 1 2 1 1 2 4 1 3 . 0 2 1 1 2 1 2 1 2 T v v T R v T R v T R v p_tot =             + ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅             − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = − γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ

Das heißt, für jeden Punkt in dem der Pitotdruck gemessen wird, kann, wenn die Temperatur bekannt ist, die entsprechende Geschwindigkeit bestimmt werden.

6.1.3. Bestimmung von v = v(T) aus den Messungen mit gekreuzten Einzelsonden

Aus den Messungen mit den gekreuzten Einzelsonden wurde das Stromverhältnisprofil II

I

I

_⊥

für verschiedene Positionen im Plasmastrahl gemessen. Damit konnte man, mittels eines Programms das entsprechende Geschwindigkeitsverhältnis

th i

v

v

ermitteln, da die Funktion eine transzendente Funktion ist (Kap.4). Da die thermische Geschwindigkeit ist:

i i th

m

kT

v

=

2

folgt aus den Produkt

)

(

2

T

v

v

v

m

kT

v

v

i i i i i th i

=

=

⋅













der Verlauf der Ionengeschwindigkeit über der Temperatur.

Dasselbe wurde für alle mit den gekreuzten Einzelsonden untersuchten Punkte durchgeführt.

6.1.4. Temperatur als Lösung des iterativen Prozesses

Für eine bestimmte Anzahl von Punkten im Plasmastrahl sind nun zwei Verläufe der Geschwindigkeit bekannt und beiden hängen von der Temperatur ab.

Wenn man die zwei Funktionen für denselben Punkt im Strahl gleichsetzt, dann folgt als Lösung die Temperatur die in diesem Punkt die beiden Gleichungen erfüllt. Die zwei Verläufe werden in dem folgenden Beispiel durch zwei Kurven dargestellt.

Bild 6.6. Prinzip des iterativen Lösungsverfahrens zur Bestimmung von T und v

Mit einem ersten Temperaturwert wird ein iterativer Prozess gestartet, der beendet ist wenn die zwei Geschwindigkeitswerte zusammenfallen (Schnittpunkte in Bild 6.6), wobei die entsprechende Temperatur die gesuchte Lösung ist. Für viele Punkte im Plasmastrahl waren mehrere Lösungen möglich, das heißt mehrere Schnittpunkte. Als Wahlkriterium für diese Lösungen wurde berücksichtigt dass das Plasma voll dissoziert sein muss, deshalb muss es eine Temperatur höher als 6000 K haben. Mit den Flugzeitsondemessungen wurde nämlich gezeigt dass das Plasma schon ionisiert ist, sonst wurde man kein Signal bekommen haben. Daher kann man die Lösungen mit Temperaturen die einem nicht voll dissozierten Zustand entsprechen ausschließen. In dem Beispielbild haben die zwei Punkte links eine zu kleine Temperatur, während der rechte Punkt die gesuchte Lösung ist. Als Ergebnis dieses Vorgehens wurden die in den Bildern 6.7 bis 6.9 dargestellten Geschwindigkeits- und Temperaturprofile ermittelt. 0 5000 10000 15000 20000 25000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 Temperatur, K G esch w in d ig kei t, m/ s v=v(T) aus Einzelsondenmessungen v=v(T) aus Pitotdruckmessungen Schnittpunkte Iteration Lösung für T Lösung für v Tstart

Bild 6.7. Temperatur- und Geschwindigkeitsprofil bei x = 150 mm

Bild 6.8. Temperatur- und Geschwindigkeitsprofil bei x = 200 mm 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 y-Position, mm G esch w in d ig kei t, m/ s ; T e mp eratu r, K Geschwindigkeit - Fitfunktion Temperatur - Fitfunktion Temperatur Geschwindigkeit 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 y-Position, mm G esch w in d ig kei t, m/ s ; T e mp eratu r, K Temperatur - Fitfunktion Geschwindigkeit - Fitfunktion Temperatur Geschwindigkeit

Bild 6.9. Temperatur- und Geschwindigkeitsprofil bei x = 250 mm

Man sieht, dass die Methode offensichtlich zumindest in der Strahlmitte sinnvolle Ergebnisse liefert. So stimmen zum Beispiel die ermittelten Geschwindigkeiten im Rahmen der

Messgenauigkeit mit den Ergebnissen der Flugzeitsondenmessungen überein Kap.5.4. Allerdings ist die Genauigkeit der Methode am Strahlrand stark eingeschränkt. Außerdem liefert das Verfahren bei der Position x = 250 mm mit großer Wahrscheinlichkeit zu große Werte. Der Grund hierfür ist derzeit noch unklar. Möglicherweise liegt es daran, dass die gekreuzten Einzelsonden das Geschwindigkeitsverhältnis hinter dem Stoß bestimmen, während mit der Pitotdrucksonde das Druckverhältnis vor dem Stoß ermittelt wird. Theoretisch lässt sich das Geschwindigkeitsverhältnis auf das Verhältnis vor dem Stoß zurückrechnen, allerdings ist hierfür ein komplexeres iteratives Verfahren erforderlich, dass im Rahmen dieser Arbeit nicht realisiert werden konnte.

Es ist wichtig zu bemerken, dass im Rahmen dieses Prozesses die Annahme von thermische Gleichgewicht getroffen wurde. Das heißt, die Ionentemperatur ist gleich wie die

Elektrontemperatur, und entspricht der Strahltemperatur.

6.2. Berechnung des Schubes

Eines der Hauptziele dieser Diplomarbeit bestand darin, den Schub des HIPARC-Triebwerks mit Hilfe des gemessenen Pitotdrucks zu bestimmen. Um dies zu verwirklichen, ist es

notwendig, die theoretischen Grundlagen der Schubberechnung eines elektrischen Triebwerks zu kennen und die betreffenden Annahmen zu berücksichtigen.

In Anlehnung an [2] ist es möglich, den Vakuumschub eines elektrischen Antriebs zu bestimmen: 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 y-Position, mm G esch w in d ig kei t, m/ s ; T e mp eratu r, K Temperatur - Fitfunktion Geschwindigkeit - Fitfunktion Temperatur Geschwindigkeit

pA u m

F =  + (6.1)

wobei u und p die Geschwindigkeit bzw. der statische Druck im Düsenendquerschnitt sind, A die Fläche beim Austritt und m der Massenstrom. Die erste Annahme besagt, dass die Strömung ideal und eindimensional ist, deshalb ist Gleichung (6.1) gültig.

Der Massenstrom kann auf diese Weise ausgedrückt werden als :

A u m =ρ⋅ ⋅ Daraus folgt: A ) p u ( F = _ρ⋅ 2 +

Unter Annahme eines perfekten Gases, d.h.:

RT p

=

ρ

der Schallgeschwindigkeit: a= γRT

und der entsprechenden Machzahl

a u

M =

nimmt Gleichung (6.1) die Form:

(

M

)

p A

F _{= γ} 2 ₊1 _(6.2)

an.

Es ist offensichtlich, dass der auf diese Weise berechnete Schub sehr sensibel für Veränderungen der Machzahl und von γ ist, d.h., dass geringe Ungenauigkeiten bei diesen Parametern zu großen Fehlern beim berechneten Schub führen. Wenn anstatt vom statischem Druck vom Pitotdruck ausgegangen wird, kann Gleichung (6.2) folgende Form annehmen:

(

)

p A p p M F _tot tot ⋅ + = _γ 2 1

Dabei ergibt sich eine Funktion die nur von M und γ abhängt, obwohl Veränderungen in M und γ nur geringe Wirkung auf sie ausüben. Diese Funktion ist definiert als:

tot p p M M f(_γ, )₌(_γ 2₊1) _(6.3)

wobei, wie bereits im Kapitel 4 erwähnt, das Verhältnis von statischem Druck zu Pitotdruck gegeben ist durch:

1 2₎ 2 1 1 ( − − − + = γ γ γ M p p tot

(

)

(

)

1 1 2 1 2 ₁ 1 2 1 2 − −         + − −         + = γ γ γ γ γ γ γ M M p p tot für Überschallströmungen.

Daraus folgt dass die obige Funktion die folgenden Werte für Unter- bzw. Überschallströmungen annimmt:

(

1

)

2 1 1 ) 1 , ( 2 1 2₊     − + = < − − M M M f γ γ γ γ γ (6.4) bzw.

(

)

(

1

)

( 1) 1 2 1 2 ) 1 , ( 1 2 1 2 1 2 +         + − −         + = ≥ − M − M M M f γ γ γ γ γ γ γ γ γ (6.5)

Wie in [2] gezeigt ist, erreicht diese Funktion, falls γ = const. ist, den maximalen Wert für M = 1: ) 1 ( 1 2 ) 1 , ( _ 1 +      + = = − γ γ γ γ γ M f

während der Minimalwert für M = 0 durch: 1 ) 0 , ( M = = f γ gegeben ist.

Bemerkenswert ist, dass sich für Überschallströmungen f ziemlich schnell dem Wert:

1 1 1 1 2 ) , ( − − +       + = ∞ → γ γ γ γ γ γ γ M f

annähert und bei relativ hohen Werten von M praktisch unabhängig von der Machzahl wird. Bei vorgegebenem γ ist für Überschall, d.h. für Werte von M >1, die maximale Veränderung von f ca. 12 %. Veränderungen in γ verursachen Funktionsveränderungen, die kleiner als 5 % sind. Mehr darüber ist in [2] enthalten.

Ausgehend von der Formel für den Schub ergibt sich:

A p A M f p F = _tot (γ, ) − _a (6.6)

wobei pa der Druck im Vakuumtank ist. Bei Aufgabe der Annahme einer eindimensionalen

Strömung und gleichzeitiger etwas realitätsnäherer Annahme einer sich mit r ändernden Strömung, nimmt Gleichung (6.6) folgende Form an:

A p dr r ) M , ( f p F _a R tot ⋅ ⋅ − =

∫

0 2π γ (6.7)

mit R als Strahlradius.

6.2.1. Einflussfaktoren auf die Messungen 6.2.1.1. Die Viskosität

Ein wichtiger Einflußfaktor ist durch viskose Effekte gegeben. Die Bestimmung dieser Effekte ist mit dem Inkaufnehmen von vielen Näherungen verbunden. Eine Bestimmung dieser Effekte mit ausreichender Genauigkeit würde den Rahmen dieser Arbeit übersteigen. Deshalb werden ihnen durch Rückgriff auf Resultate von früheren Arbeiten Rechnung getragen. Der Einfluß der Viskosität ist gekennzeichnet durch die Knudsenzahl und die Reynoldszahl. Diese sind wie folgt definiert:

D

Kn= λ ist die Knudsenzahl und

µ

ρvD

Re= ist die Reynoldszahl

Die Reynoldszahl hängt ab von der Dichte ρ, der Anströmgeschwindigkeit v und der dynamischen Viskosität µ. D ist eine charakteristische Länge des der Strömung ausgesetzten Körpers, in diesem Fall der Außendurchmesser der Sonde.

Die Knudsenzahl dagegen ist abhängig von der mittleren freien Weglänge

n 2 2 1 πσ λ=

die abhängig ist vom Durchmesser der Gasmoleküle σ und der Teilchendichte

kT p

n= ,

mit der Boltzmannkonstante k, dem statischen Druck p und der Temperatur T.

Diese Gleichung beruht auf der kinetischen Gastheorie. Im Falle eines strömenden Plasmas hat man es jedoch mit geladenen Teilchen zu tun, die mit der Theorie der Reaktionskinetik beschrieben werden müssen.

Die Berechnung der mittleren freien Weglänge mit diesen beiden Sichtweisen führt jedoch auf sehr unterschiedliche Ergebnisse.

Die Wirklichkeit wird eine Mischung dieser beiden Theorien sein, da das Plasma an den kalten Wänden der Pitotsonde rekombiniert und zu Neutralgas wird.

Bild 6.10. Einfluß der Zähigkeit bei Pitotdruckmessungen ( auf diese Bild ist pmess =

gemessene Pitotdruck, p0 = tatsächliche Gesamtdruck).

Bild 6.11. Einfluß der Messbohrung bei Pitotsonden mit kreisförmigen oder

halbkugeligem Sondenkopf ( auf diese Bild ist pp = gemessene Pitotdruck, pg =

tatsächliche Gesamtdruck).

Aus den Bildern 6.10 und 6.11 ist ersichtlich dass der gemessene Pitotdruck aufgrund der Viskosität immer größer als der tatsächliche Pitotdruck ist. Für eine Knudsenzahl von 1, was bedeutet, daß die mittlere freie Weglänge in der Größenordnung des Bohrungsdurchmessers liegt, ist der gemessene Pitotdruck, wie Bild 6.10 zeigt, ungefähr 1.8 mal grosser als der tatsächliche Pitotdruck. Bild 6.11 zeigt den relativen Fehler des gemessenen dynamischen Drucks, unter der Annahme eines gleichbleibenden statischen Drucks, in Abhängigkeit der Reynoldszahl für Re > 10.

Untersuchungen zeigten, in Übereinstimmung mit der oben beschriebenen Theorie, daß der gemessene Pitotdruck mit größer werdendem Bohrungsdurchmesser größer wird. Die

Differenz kann allerdings nicht allein unter Verwendung von Bild 6.11, durch die Abnahme der charakteristischen Länge (in diesem Fall des Durchmessers der Bohrung) erklärt werden. Hier müssen noch Rechnungen mit verschiedenen Plasmabedingungen in bzw. in der Nähe der Bohrung durchgeführt werden. Da die mittlere freie Weglänge größer zu werden scheint, nähert sich die Differenz zwischen gemessenem und tatsächlichem Pitotdruck offensichtlich immer mehr dem gasdynamischen Verhalten.

6.2.1.2. Einfluss des axialen Druckgradienten

Da das Druckprofil einen Gradienten in x-Richtung hat, kann man folgern, dass dieser auch zwischen der Stirnfläche der Sonde und der abgehobenen Kopfwelle besteht. Das bedeutet, dass der gemessene Pitotdruck durch einen Faktor korrigiert werden muss. Insbesondere bei kleinen Abständen vom Austritt der Plasmaquelle, wo der Gradient sehr groß ist.

Daher ist der wahre Pitotdruck an der Stelle der Sonde:

dx dp P

P_kor = _t +δ⋅

Diese Korrektur ist nur möglich, wenn der Abstand δ zwischen Sonde und Kopfwelle bekannt ist. Die Kopfwelle ist aber nicht immer sichtbar, besonders im Fall kleiner Massenströme. In [14] ist für schallnahe Strömung eine empirische Gleichung für den Stoßabstand vor einem stumpfen Körper angegeben:

3 2 099 0 2 _      ⋅ = χ δ . R_eff 1 1 2 + − = ∞ γ χ M

mit dem Krümmungsradius R_eff der für die benutzte Pitot-Sonde mit der Beziehung

N eff . r

R =29 (r_N= Sondenradius) berechnet wird [6].

Aus mehreren vorhergehenden Versuchen, auch mit höheren Machzahlen [7-9], ergibt sich dass dieser Einfluss sehr gering ist.

Infolge dieser Ergebnisse und in Anbetracht des in dieser Arbeit verwendeten Betriebzustands, wird dieser Korrekturfaktor vernachlässigt.

6.2.2. Ergebnisse

Nach der Schätzung des Zähigkeitskorrekturfaktors ergibt sich der tatsächliche Totaldruck zu ca. der Hälfte des gemessenen Pitotdrucks. Der Faktor beträgt nämlich:

das entspricht einem Verhältnis zwischen dem gemessenen Pitotdruck und dem tatsächlichen Totaldruck von: 2 ≅ tat gem p p

Der Einfluss der Messbohrung ist dagegen sehr klein, da sich 1/Re im Bereich von 0.5-1 befindet. Zwar ist im Bild 6.11 dieser Wert nicht mehr abzulesen, die Extrapolation ergibt jedoch einen Korrekturfaktor von ca. 1.0.

Die Werte der Funktionen (6.4) und (6.5) sind nun für jeden Punkt im Strahl bekannt, da das Profil von γ wie im folgenden Bild gezeigt ermittelt wurde.

Bild 6.12. Verlauf des Isentropenkoeffizienten für verschiedene axiale Positionen im Plasmastrahl

Man kann erkennen, das γ in der Strahlmitte immer im Bereich von etwa 1.1 bis 1.2 liegt. Für die mathematische Iteration war es notwendig des Isentropenexponenten in Bereich von 1000 bis 15000 K durch zwei verschiedene Polynome anzunähern. Trotzdem ergaben sich an einigen Stelle Abweichungen von der richtigen Funktion von ca. 2%, was die physikalisch unsinnigen Werte von γ<1 in Bild 6.12 erklärt

Das Ergebnis der Integration (7) der 3 Strahlprofile ist ein Schub von: F = 2.1-2.25 N 0 .8 0 .9 1 1 .1 1 .2 1 .3 1 .4 1 .5 1 .6 1 .7 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 y -P o s itio n , m m isentropenkoeffizient,-Is e n tro p e n k o e ffiz ie n t, x = 1 5 0 m m Is e n tro p e n k o e ffiz ie n t, x = 2 0 0 m m Is e n tro p e n k o e ffiz ie n t, x = 2 5 0 m m

6.3. Vergleich der Methode mit direkten Schubmessungen

Beim gleichen Betriebszustand wurden noch zwei andere Methoden um den Schub zu messen eingesetzt: Die Schubmesswaage und die Prallplatte.

Die Werte des auf diese Weise gemessenen Schubes zeigen jedoch eine signifikante Abweichung von den mit Pitotdruckmessungen erzielten Ergebnisse, wie Tabelle 6.1 zeigt.

Schub

Prallplatte 4-4.5

N

Schubmesswaage 1.3-1.35

N

Pitotsondemessungen 2.1-2.25

N

Tabelle 6.1. Vergleich der Schubwerte von den verschiedenen Methoden

Der Grund dieser verschiedenen Ergebnisse besteht darin, dass diese Methoden unterschiedliche Genauigkeitsgrade haben und den Schub an unterschiedlichen Positionen im Plasmastrahl messen. Die Schubmesswaage könnte vielleicht besser mit der in dieser Arbeit benutzten Methode verglichen werden, wenn die Pitotdruckmessungen direkt am Düsenende des Triebwerks durchgeführt würden.

Das würde vielleicht eine präzisere Bestimmung des Schubes ermöglichen, da die Plasmaszustände für die zwei Verfahren dann ähnlicher sind.

Was die Prallplatte betrifft, ist diese Methode noch im Versuchsstadium und ist vielen Faktoren unterworfen, die die Genauigkeit stark einschränken.

6.4. Enthalpie

Mit Bezug auf der Theorie von Pope et al., wird die lokale spezifische Enthalpie für ein Plasma ,unter der Annahme eine eingefrorenen Grenzschicht auf die folgende Weise berechnet [15-16]: eff tot vk

R

r

p

K

r

q

r

h

)

(

)

(

)

(

=



(6.8) wobei :

)

(r

q



_vk die gemessene Wärmeflussdichte des Plasma auf einem voll katalytischen Material

eff

R

der effektive Sondenradius, d.h. der durch einen Korrekturfaktor modifizierte Radius des Sondenkopfes [14]

Lauf dieser Theorie ist das Verhältnis zwischen der Wärmeflussdichte auf vollkatalytischen Materialien und auf teilkatalytischen Materialien praktisch konstant über einen bestimmten Enthalpiebereich. In dieser Arbeit wurde eine Sonde aus Konstantan eingesetzt um den Wärmefluss zu messen. Die lokale spezifische Enthalpie ist also:

eff tot Cu

R

r

p

K

r

q

r

h

)

(

'

)

(

)

(

=



(6.9)

mit K’, dem Pope-Koeffizient für Wasserstoff, des aber nicht bekannt ist.

Aufgrund der die Definition der gesamten thermischen Leistung des Plasmas ist jedoch möglich diesen Koeffizienten zu ermitteln. Es ist nämlich:

∫

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =h m Rh(r) (r) v(r) r dr Q 0 ρ  

Q

ist aber die Differenz zwischen der elektrische Leistung und den thermischen Verlusten des Triebwerks:

kW

A

T

P

Q

_el 4

19

0

⋅

≅

⋅

⋅

−

=

σ

ε



wobei: el

P

die elektrische Leistung, 20 kW

σ

die Stefan-Boltzmann Konstante

ε

der Emissionsgrad der Düse, d.h. 0.4 für Wolfram

0

T

die Temperatur der Düse, die während der Versuche durch einen Pyrometer bestimmt wurde. Die mittelere Temperatur der Düse ist von ca. 1100 K

A die strahlende Oberfläche, d.h. die äußere Oberfläche der Düse sind. Mit Gleichung (6.9) folgt:

∫

⋅

⋅

⋅

=

R eff tot Cu

_r

_v

_r

_dr

R

r

p

K

r

q

Q

0

)

(

)

(

)

(

'

)

(

2

π



ρ



wobei alle Elemente bekannt sind (es ist nämlich ρ(r) durch das ideale Gasgesetz ermittelt und v(r) die vorher bestimmte Geschwindigkeit des Plasmas) außer K’. Das wird vor das Integral gebracht und die Gleichung nach K’ aufgelöst. Aus dieser Berechnung ergibt man sich ein Wert für den Pope-Koeffizienten für Wasserstoff von

2 1 2 3 2

0

.

01367

'

Pa

m

kg

J

W

K

_H

=

Die mit diesem Wert berechnete lokale spezifische Enthalpie zeigt das folgende Profil.

Bild 6.13 Enthalpieprofil bei x = 150 mm 0 200000 400000 600000 800000 1000000 1200000 1400000 1600000 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 y-Position, mm spezifische Enthalpie, J/kg