Appendice 1: Approssimazioni di Padè
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Appendice 1:
Approssimazioni di Padè
Questo metodo è stato proposto da Bloomer [18] sulla base dell’ approssimazione di Padè di serie di potenze.
Sia G p una funzione analitica della variabile complessa ( ) p , composta da una
sommatoria di potenze convergenti in un circolo limitato sul piano complesso:
0
( )
n n nG p
∞g p
==
∑
(A.1.1)Questa funzione può essere ricostruita grazie all’ approssimazione di Padè, che è una funzione razionale ottenuta dal rapporto questi due polinomi:
2 1 1 0 1 2 1 2 0 1 2
( )
( )
N N N N N NP
p
a
a p a p
a p
Q p
b
b p b p
b p
− −=
+
+
+ ⋅⋅⋅ +
−= +
+
+ ⋅⋅⋅ +
(A.1.2) ovvero 1( )
[
1; ]
( )
N NP
p
Pa N
N
Q p
−−
=
(A.1.3)Appendice 1: Approssimazioni di Padè
166
ricostruibile con una espansione in serie che converge nello stesso circolo del piano della A.1.1: 0
[
1; ]
n n nPa N
N
∞h p
=−
=
∑
(A.1.4) laddove n nh
=
g
, per
n
=
0,1,2,3, ,2
⋅⋅⋅
N
−
1
(A.1.5)Per mezzo di queste uguaglianze, i 2N+1 coefficienti dei polinomi P e Q possono essere determinati assegnando un valore arbitrario ad uno di essi. Per esempio, assumendo 1bN = i restanti coefficienti di Q sono la soluzione del sistema lineare N
1 2 1 0 0 1 3 2 1 1 2 1 2 1 1 1 N N N N N N N N N N
g
g
g
g
b
g
g
g
g
g
b
g
g
g
g
g
b
g
− + + + − −⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⋅
⎥ ⎢
=
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎦
"
"
#
#
"
#
#
#
#
"
(A.1.6)Appendice 1: Approssimazioni di Padè 167 0 0 0 1 1 0 1 1 1 2 3 1 0 1
0
0
0
0
0
0
0
N N N N Na
g
b
a
g
g
b
a
−g
−g
−g
−g
g
b
−⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
=
⎥ ⎢
⋅
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎦
"
"
#
#
#
#
#
#
#
#
"
(A.1.7)In accordo col metodo di Blomer, adesso applicheremo l’approssimazione di Padè alla trasformata di Laplace del transitorio ricavato sperimentalmente F t
( )
, che desideriamo esprimere come somma di esponenziali del tipo:( )
( )
(
)
1exp
N i i iF t
ψ
t
α
β
t
=≅
=
∑
⋅
−
(A.1.8)Per assicurare la convergenza della procedura, imponiamo che λ sia reale e positivo in modo che
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
[
]
0 1 0exp
exp
( )
exp
exp
N i1;
i iL F t
t
F t
s t dt G p
L
t
t
F t
s t dt
Pa N
N
p
λ
λ
α
ψ
λ
λ
β
∞ ∞ =⋅
−
=
⋅
−
+
=
⎡
⎤
⎡
⎤
⎣
⎦
⎣
⎦
⋅
−
=
⋅
−
+
=
=
−
⎡
⎤
⎡
⎤
⎣
⎦
⎣
⎦
+
∫
∑
∫
(A.1.9)dove p s= + , e la trasformata di Laplace del prodotto λ ψ
( )
t ⋅exp(
−λt)
può essere considerata una approssimazione di Padè del primo ordine. In questo modo i polinomiN
Appendice 1: Approssimazioni di Padè
168
L’espansione in serie di potenze della G p è convergente nel piano in un cerchio di ( ) raggio λ e centrato in s=0, ed i suoi coefficienti possono essere calcolati tramite tecniche standard di integrazione:
( )
( )
01
!
n n t ng
F t t e dt
n
λ ∞ −−
=
⋅
∫
⋅ ⋅
(A.1.10)grazie alle quali
E’ abbastanza semplice dimostrare che le radici di
( )
0
*1,2, ,
n iQ p
p
i
N
β
= ⇒ = −
=
"
(A.1.11)sono i poli della trasformata di Laplace del prodotto ψ
