Appendice 1: Approssimazioni di Padè

Appendice 1: Approssimazioni di Padè

165

Appendice 1:

Approssimazioni di Padè

Questo metodo è stato proposto da Bloomer [18] sulla base dell’ approssimazione di Padè di serie di potenze.

Sia G p una funzione analitica della variabile complessa ( ) p , composta da una

sommatoria di potenze convergenti in un circolo limitato sul piano complesso:

0

( )

n n n

G p

∞

g p

=

=

_∑

(A.1.1)

Questa funzione può essere ricostruita grazie all’ approssimazione di Padè, che è una funzione razionale ottenuta dal rapporto questi due polinomi:

2 1 1 0 1 2 1 2 0 1 2

( )

( )

N N N N N N

P

p

a

a p a p

a p

Q p

b

b p b p

b p

− −

=

+

+

+ ⋅⋅⋅ +

−

= +

+

+ ⋅⋅⋅ +

(A.1.2) ovvero 1

( )

[

1; ]

( )

N N

P

p

Pa N

N

Q p

−

−

=

(A.1.3)

Appendice 1: Approssimazioni di Padè

166

ricostruibile con una espansione in serie che converge nello stesso circolo del piano della A.1.1: 0

[

1; ]

n n n

Pa N

N

∞

h p

=

−

=

∑

(A.1.4) laddove n n

h

=

g

, per

n

=

0,1,2,3, ,2

⋅⋅⋅

N

−

1

(A.1.5)

Per mezzo di queste uguaglianze, i 2N+1 coefficienti dei polinomi P e Q possono essere determinati assegnando un valore arbitrario ad uno di essi. Per esempio, assumendo 1b_N = i restanti coefficienti di Q sono la soluzione del sistema lineare _N

1 2 1 0 0 1 3 2 1 1 2 1 2 1 1 1 N N N N N N N N N N

g

g

g

g

b

g

g

g

g

g

b

g

g

g

g

g

b

g

− + + + − −

⎡

⎤ ⎡

⎤ ⎡

⎤

⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢

_⋅

⎥ ⎢

₌

⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎥

⎣

⎦ ⎣

⎦ ⎣

⎦

"

"

#

#

"

#

#

#

#

"

(A.1.6)

Appendice 1: Approssimazioni di Padè 167 0 0 0 1 1 0 1 1 1 2 3 1 0 1

0

0

0

0

0

0

0

N N N N N

a

g

b

a

g

g

b

a

₋

g

₋

g

₋

g

₋

g

g

b

₋

⎡

⎤ ⎡

⎤ ⎡

⎤

⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢

₌

⎥ ⎢

_⋅

⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎥

⎣

⎦ ⎣

⎦ ⎣

⎦

"

"

#

#

#

#

#

#

#

#

"

(A.1.7)

In accordo col metodo di Blomer, adesso applicheremo l’approssimazione di Padè alla trasformata di Laplace del transitorio ricavato sperimentalmente F t

( )

, che desideriamo esprimere come somma di esponenziali del tipo:

( )

( )

(

)

1

exp

N i i i

F t

ψ

t

α

β

t

=

≅

=

∑

⋅

−

(A.1.8)

Per assicurare la convergenza della procedura, imponiamo che λ sia reale e positivo in modo che

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

[

]

0 1 0

exp

exp

( )

exp

exp

N i

1;

i _i

L F t

t

F t

s t dt G p

L

t

t

F t

s t dt

Pa N

N

p

λ

λ

α

ψ

λ

λ

β

∞ ∞ =

⋅

−

=

⋅

−

+

=

⎡

⎤

⎡

⎤

⎣

⎦

⎣

⎦

⋅

−

=

⋅

−

+

=

=

−

⎡

⎤

⎡

⎤

⎣

⎦

⎣

⎦

₊

∫

∑

∫

(A.1.9)

dove p s= + , e la trasformata di Laplace del prodotto λ ψ

( )

t ⋅exp

(

−λt

)

può essere considerata una approssimazione di Padè del primo ordine. In questo modo i polinomi

N

Appendice 1: Approssimazioni di Padè

168

L’espansione in serie di potenze della G p è convergente nel piano in un cerchio di ( ) raggio λ e centrato in s=0, ed i suoi coefficienti possono essere calcolati tramite tecniche standard di integrazione:

( )

_{( )}

0

1

!

n n t n

g

F t t e dt

n

λ ∞ −

−

=

⋅

_∫

⋅ ⋅

(A.1.10)

grazie alle quali

E’ abbastanza semplice dimostrare che le radici di

( )

₀

*

1,2, ,

n i

Q p

p

i

N

β

= ⇒ = −

=

"

(A.1.11)

sono i poli della trasformata di Laplace del prodotto ψ

( )

t ⋅exp

(

−λt

)

, e questo ci permette di determinare i parametri della funzione di fitting come segue:

(

)

_{( )}

( )

* * 1 *

lim

i N i _p i N i i

P

p

p

Q p

β

α

β

β β

λ

− →

⎡

⎤

=

_⎢

+

⋅

_⎥

⎣

⎦

=

−

(A.1.12)