Appendice A
A.1 Introduzione
Nei paragrafi seguenti vengono descritte in maniera concisa le nozioni teoriche alla base di alcuni argomenti discussi nel presente lavoro. Per ulteriori approfondimenti consultare la Bibliografia.
A.2 Teoria elementare applicata ad un tronco di fusoliera
Una tipica struttura aeronautica, come un tronco di fusoliera, è costituita da elementi in parete sottile, “gusci”, ai quali sono collegati molto spesso altri componenti strutturali denominati elementi di irrigidimento (longitudinali e trasversali).
La struttura schematizzata come nelle Figura A.1, è costituita da tre elementi fondamentali, che per la teoria elementare hanno i seguenti comportamenti:
• Gli elementi longitudinali (correnti), reagiscono solo a sforzo normale; l’area di
questi elementi è data dall’area del corrente o flangia corrispondente più un’eventuale area di lamiera collaborante di cui si stabilirà l’entità.
• I pannelli di lamiera sono direttamente vincolati sui quattro bordi a due ordinate
(centine) e due elementi longitudinali contigui; si suppone che il pannello lavori unicamente a taglio, cioè in campo di tensione tangenziale pura1.
• Gli elementi trasversali (ordinate o centine) sono disposti perpendicolarmente
all’asse longitudinale della struttura, infinitamente rigidi per gli sforzi agenti nel proprio piano e completamente deformabili per gli sforzi normali al proprio piano.
1 In certe disposizioni costruttive, per altro poco comuni, la lamiera non è immediatamente vincolata sia
Figura A.1: Cassone alare schematizzato.
Si fa poi l’ipotesi che i carichi esterni normali all’asse della struttura siano applicati solamente alle ordinate (centine); a queste sono ricondotti anche i carichi distribuiti per unità di superficie (pressioni aerodinamiche e carichi di massa).
Si è preso in esame in esame un caso molto semplice, vedi Figura A.2, composto da un’ordinata ed otto correnti, con proprietà costanti lungo l’asse. Ma la teoria si applica invariata anche a strutture con maggior numero di elementi e variazione delle caratteristiche geometriche.
Il tronco di fusoliera viene schematizzato come una trave (anche se le ipotesi di Saint-Venant non sono proprio rispettate), vincolata con un incastro perfetto alla radice. Data la condizione di carico, sono note le caratteristiche delle sollecitazioni (vedi Figura A.3), attraverso le quali possiamo determinare le tensioni nei singoli componenti, ovviamente secondo le ipotesi semplificatrici della teoria elementare.
Si suppone che l’area del corrente sia concentrata nel baricentro della sezione del medesimo.
Figura A.2: Tronco di fusoliera semplificato.
Essendo i correnti gli unici elementi che reagiscono a sforzo normale, il JX si
calcola con la seguente relazione:
∑ ∑ = = ⋅ = 8 1 8 1 i i i i i X A y A J (A.1)
La tensione normale σz nei correnti si calcola mediante la seguente relazione: i X X z J y z M z)= ( )⋅ ( σ (A.2)
Gli unici elementi che reagiscono al taglio sono i pannelli di lamiera e il valore del flusso di taglio si ottiene mediante la seguente relazione:
X X y i i J S T q q+1− =− ⋅ (A.3)
dove SX è il momento statico, calcolato tenendo conto solo delle aree
concentrate dei correnti, che ha come conseguenza la costanza del flusso di taglio nelle baie fra due correnti. Poiché la (B.3) fornisce differenze di flussi di taglio, è necessario procedere all’apertura della sezione; in altri termini si fissa nullo il flusso di taglio in un pannello. A questo punto sono noti tutti i flussi di taglio a meno di una costante additiva (cioè il flusso incognito nel pannello sconnesso). I flussi calcolati finora equilibrano a traslazione i carichi di taglio esterni. La costante additiva si trova mediante l’equilibrio alla rotazione nel piano della sezione. Sono così noti anche i flussi di taglio nei vari pannelli.
Le tensioni normali nei correnti variano linearmente, da un valore massimo alla radice ad uno minimo all’estremità libera. I flussi di taglio sono costanti nei due tratti a valle e a monte dell’ordinata intermedia.
I carichi che agiscono sull’ordinata sono le differenze di taglio nei pannelli a valle e a monte della stessa, ed i carichi concentrati, che in assenza di discontinuità geometriche, sono introdotti dalla presenza della trave di pavimento, la trave di stiva, i montanti passeggeri ed i montanti di stiva. La schematizzazione più semplice è di considerare la trave di pavimento come se fosse una trave circolare ad anello. Ne consegue che per determinare lo stato di tensione bisogna considerarla come una struttura tre volte iperstatica.
sconnessione in un punto per rendere isostatica la struttura, ottenendo le tre incognite iperstatiche: X1, X2, X3. Ora si può scrivere il sistema di Muller-Breslau:
13 3 12 2 11 1 10 1 η η η η η = +X ⋅ +X ⋅ +X ⋅ (A.4)
Figura A.4: Ordinata schematizzata come trave circolare.
Il problema è la determinazione dei coefficienti del sistema. Un possibile metodo per affrontare il problema è quello detto “Del centro elastico”. Si prolunga con delle barre di rigidezza infinita le estremità del taglio e si applicano le Xi alle estremità
delle barre. Si ha quindi per un punto (x,y) sull’ordinata:
β β cos sin 3 2 0 + ⋅ − ⋅ =N X X N (A.5) y X x X M M = 0+ 1⋅ + 3⋅ (A.6)
dove M0 e N0 sono le caratteristiche della sollecitazione quando agisce soltanto
il sistema di carico esterno. Con l’ausilio del principio dei lavori virtuali si determina il valore delle incognite iperstatiche. In particolare, ipotizzando un’ordinata con doppia simmetria (centro elastico≡baricentro), si ottengono i seguenti risultati:
A N X1=− (A.7) Y J M X2 = (A.8)
X X J M X3 = (A.9) con: ∫ = ds EJ M N 0 (A.10) ∫ = EJ ds A (A.11) ∫ ⋅ = ds EJ x M M O X (A.12) JX =∫EJy ds 2 (A.13) ∫ ⋅ = ds EJ x M M O Y (A.14) JY =∫EJx ds 2 (A.15)
Sostituendo nelle equazioni A.5 e A.6 si ottengono quindi le caratteristiche della sollecitazione nell’ordinata. Questa trattazione semplificata può essere ovviamente migliorata, abbandonando le suddette ipotesi semplificatrici ed utilizzando per la soluzione dei metodi più accurati, come il “Load Coefficient Method” (il metodo usato per il dimensionamento dell’ordinata utilizzata nel modello). Per un ulteriore approfondimento consultare [3]. Come d’altronde si possono utilizzare, per lo studio del tronco di fusoliera, teorie di approssimazioni successive.
