Tronco di cono che aderisce al fondo di una bacinella
Figure 1:
Un corpo a forma di tronco di cono avente raggi di base R1 e R2 > R1, altezza h e densit`a ρc< 1kg/dm3, `e appoggiato capovolto sul fondo di una bacinella di altezza l, piena d’acqua, in modo che la superficie di base minore sia perfettamente aderente al fondo.
Si determini il rapporto R2/R1 per il quale il corpo riesce a sollevarsi.
Soluzione 1
Essendo il corpo aderente al fondo, esso non risente della spinta del liq- uido sulla superficie di base, in maniera equivalente ad una ventosa aderente ad un vetro. Pertanto la forza dovuta al liquido `e data dalla spinta di Archimede alla quale va esplicitamente sottratta questa componente, pari alla pressione a profondit`a l moltiplicata per la superficie aderente al suolo:
Fliquido= Farchimede− Fbase= ρV g − ρglπR21 (1) Oltre a questa, sul corpo agiscono la forza peso e la reazione vincolare
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della bacinella sulla base appoggiata. All’equilibrio:
Ftot = Fliquido− mg + R = 0 (2)
Tutte le forze sono dirette lungo l’asse verticale.
La condizione alla quale il corpo si stacca dalla base `e R = 0; il caso limite corrisponde a:
(ρ − ρc)V g − ρglπR21 = 0 (3) Se θ `e l’angolo alla base del tronco di cono, il suo volume si scrive:
V = 1
3π(R32− R31) tan θ = 1
3πhR32− R31 R2− R1 Da cui:
(ρ − ρc)gπh(R22+ R1R2+ R21) − 3ρglπR21 = 0 (4) Semplificando e introducendo la variabile xL = R2/R1, dove L indica il fatto che siamo nel caso limite di eq.3, si ricava la seguente equazione di secondo grado:
x2L+ xL+ 1 − 3lρ
h(ρ − ρc) = x2L+ xL− k0 (5) avendo definito la variabile
k ≡ 3lρ
h(ρ − ρc) − 1 Le soluzioni sono:
xL= −1 ±√ 1 + 4k 2
Il parametro xL`e definito positivo, inoltre, essendo R2> R1, deve essere xL> 1, per cui esiste una soluzione accettabile per xL solamente se:
√
1 + 4k − 1 > 2 (6)
Data la definizione di k, questo vincolo si traduce in:
lρ
h(ρ − ρc) > 1 (7)
Affinch`e questa condizione sia verificata il corpo deve chiaramente avere densit`a minore dell’acqua (ρc < ρ), altrimenti rimane sul fondo. Inoltre il corpo `e completamente immerso (l > h), per cui esiste sempre un valore accettabile di xL, se ρc< ρ.
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Esistono soluzioni anche per il corpo parzialmente sommerso (l < h), ma per trovare queste soluzioni va modificata l’equazione iniziale, eq.1.
In definitiva, il corpo si solleva se:
R2 > R1·−1 +√ 1 + 4k
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Soluzione 2
E possibile risolvere il problema anche integrando esplicitamente la pres-` sione sulla superficie del corpo per ricavare la forza esercitata dal liquido.
Questa forza ha due componenti. Una `e semplice da calcolare ed `e quella esercitata sulla base maggiore:
F~1 = −ρg(l − h)πR22eˆz
L’altra `e quella applicata sulla superficie laterale. Questa si scrive come F~2 =
Z pd ~S
La pressione ad una altezza z rispetto al fondo dalla bacinella `e costante, per cui conviene scegliere la superficie d ~S come una striscia sulla superficie del cono di altezza dz posta ad una quota z. La superficie di tale striscia `e:
dS = 2πr dz sin θ essendo θ l’angolo di base del cono.
Tuttavia `e chiaro che l’unica componente rilevante di ~F2 `e quella diretta lungo z. Infatti la componente radiale in ogni punto `e uguale ed opposta alla corrispondente forza sul punto situato dalla parte opposta rispetto all’asse.
Pertanto:
F2z = Z
ρg(l − z)2πr cotgθ dz
Infine si pu`o esprimere la variabile r in termini di z e di tan θ attraverso le relazioni:
tan θ = h − z
R2− r = h R2− R1
Conviene risolvere l’integrale operando una prima sostituzione: h−z = x.
F2z = 2πρg cotg2θ Z h
0
(l − h + x)(R2tan θ − x)dx (9) Operiamo una seconda sostituzione: R2tan θ − x = y.
F2z = 2πρg cotg2θRR2tan θ
R1tan θ(l − h + R2tan θ − y)ydx
= πρg(l − h + R2tan θ)(R22− R21) −2
3πρg(R32− R31) tan θ
= ρg(l − h)πR22− ρglπR21+ ρg1
3π(R32− R31) tan θ
(10)
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dove abbiamo usato le relazioni R2tan θ−h = R1tan θ e tan θ = h/(R2−R1).
Includendo la forza F1 sulla base superiore (negativa) e sostituendo il volume del tronco di cono:
Fliquido= ρgV − ρglπR21 (11)
Quindi si verifica esplicitamente che la forza del liquido `e uguale alla spinta di Archimede meno la forza esercitata sulla faccia inferiore a contatto con la base della bacinella.
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