A.1 Antenne risonanti ed antirisonanti Appendice A P ’

Appendice A

P

ARAMETRI CARATTERISTICI DI UN

’

ANTENNA RISONANTE

Lo scopo di questa appendice è quello di fornire la definizione dei principali parametri di un’antenna risonante, al fine di rendere omogenea la trattazione dell’elaborato.

Sebbene comunemente sia fatto riferimento alla frequenza di risonanza, alla banda, o al fattore di qualità di un’antenna, spesso si hanno definizioni ambigue, applicabili solo in taluni contesti o che addirittura falliscono in certe situazioni.

Il lavoro che ha reso possibile una comprensione esaustiva del problema è dovuto a Yaghjian e Best [14,28] e fa seguito ad una serie di pubblicazioni [29,30,31,32] nelle quali non si perviene ad una trattazione completa, o dove addirittura lo stesso autore si è trovato costretto a rettificare quanto precedentemente pubblicato.

In riferimento a [28] sarà indicata la condizione caratterizzante la risonanza della struttura, sarà fornita una definizione sempre applicabile di banda di un’antenna espressa in termini dell’impedenza d’ingresso e in ultima analisi si provvederà alla definizione del fattore di qualità Q in termini dell’impedenza d’ingresso prescindendo dalla banda e mostrando la relazione di proporzionalità inversa fra tali grandezze.

A.1 Antenne risonanti ed antirisonanti

Definita con Z(ω) l’impedenza vista alla porta d’ingresso di un’antenna

( )

( )

( )

( ) ( )

Z ω =R ω + jX ω =V ω / I ω , A.1 in corrispondenza della quale il coefficiente di riflessione è pari a

( )

( )

_{( )}

0 0 Z Z , Z Z ω Γ ω ω − = +

A.2 essendo Z0 l’impedenza caratteristica della linea di alimentazione, si rende possibile l’accordo dell’antenna alla frequenza ω0 ponendo in serie alla stessa una reattanza capacitiva (Cs) o induttiva (Ls) pari a Xs(ω0)=-X(ω0).

La reattanza complessiva, al variare della frequenza risulta dunque X0(ω)=Xs(ω)+X(ω), essendo

( )

s 0 s 0 s L X ( ) 0, X ₁ X ( ) 0. C ω ω ω _ω ω < ⎧⎪ = ⎨− _> ⎪⎩ A.3 Definendo con Z0(ω)= R(ω)+jX0(ω) l’impedenza corrispondente, il coefficiente di riflessione per l’antenna accordata diviene:

( )

0

_{( )}

( )

0 0 0 0 Z Z . Z Z ω Γ ω ω − = + A.4 La frequenza ω0 in corrispondenza della quale X0(ω0)=0 è definita frequenza di risonanza dell’antenna se ∂X0(ω0) /∂ω>0 o frequenza di antirisonanza se ∂X0(ω0) /∂ω<0 ed è riferita come frequenza di accordo.

La differenziazione introdotta deriva dal comportamento della reattanza di un gruppo RLC serie o parallelo alla propria frequenza naturale di oscillazione. Alla frequenza di risonanza di un gruppo RLC serie si ha un valore ∂X/∂ω>0, mentre nel caso del gruppo parallelo tale frequenza è detta di antirisonanza ed in corrispondenza di essa si ha ∂X/∂ω<0.

Si osservi che il coefficiente di riflessione di un’antenna alla frequenza di accordo è nullo solo nel caso in cui la linea di alimentazione sia adattata alla R(ω0).

Inoltre se un’antenna non accordata presenta X(ω0)=0, si definisce ω0 frequenza naturale di risonanza se ∂X (ω0)/∂ω>0 o frequenza naturale di antirisonanza se ∂X (ω0)/∂ω<0.

A.2 Definizione di banda di un’antenna

Si ricorre solitamente a due definizioni alternative di banda di un’antenna accordata. La larghezza di banda può essere infatti definita sulla conduttanza (conductanze bandwidth) o alternativamente sul coefficiente di riflessione (matched VSWR bandwidth).

Mentre la seconda definizione (che solitamente trova applicazione nel caso delle antenne) è sempre applicabile per ogni frequenza di accordo ω0, sussistono situazioni in corrispondenza delle quali la prima definizione (comunemente impiegata nel definire le proprietà dei sensori RF per risonanza magnetica) non è applicabile.

A.2.1 Banda definita sulla conduttanza

Tale banda è definita per un’antenna accordata alla frequenza ω0, come la differenza fra le due frequenze in corrispondenza delle quali la potenza assorbita dall’antenna eccitata da una tensione costante V0 risulta essere una specifica frazione della potenza assorbita alla frequenza d’accordo.

La potenza PA assorbita dall’antenna, rappresentata dalla somma di quella radiata PR e di perdita PL, è esprimibile attraverso la parte reale dell’impedenza Z0(ω) o dell’ammettenza Z0-1(ω) attraverso la relazione:

( )

( )

( )

( ) ( )

2

( )

2

( )

A R L 1 0 1 0 0 P P P I R V G , 2 2 ω = ω + ω = ω ω = ω ω A.5

nella quale I0(ω) è la corrente d’ingresso dell’antenna ed R(ω)= RR(ω)+ RL(ω) è la somma della resistenze di radiazione (RR) e di perdita (RL).

In virtù dell’ultima uguaglianza in (A.5), si deduce la possibilità di definire la banda direttamente in termini della conduttanza dell’antenna accordata ad ω0:

( )

{

( )

}

( )

( )

( )

0 0 _{2 2} 0 R G Re 1 / Z . R X ω ω ω ω ω = = + A.6 Come si osserva dalla (A.6), la derivata ∂G0(ω0)/∂ω=-[∂R(ω0)/∂ω]/R2(ω0) si annulla alla frequenza di accordo solamente nel caso in cui ∂R(ω0)/∂ω=0 e dunque solo in tale condizione la conduttanza raggiunge il massimo alla frequenza ω0.

Nel caso in cui l’accordo conduca ad una frequenza di antirisonanza dell’antenna, la conduttanza non possiede un massimo e conseguentemente non può essere definita la banda secondo la definizione di cui sopra.

Se invece vale la condizione di risonanza, la conduttanza possiede un picco molto prossimo ad ω0 rendendo possibile la definizione di banda. In [28] viene infatti mostrato che la frequenza ωcd in corrispondenza della quale la G0(ω) ha un massimo è fornita dalla relazione

( ) ( )

( )

0 0 cd 0 ₂ 0 0 R R / 2 X / ω ω ω ω ω ω ω ∂ ∂ ≈ − ⎡∂ ∂ ⎤ ⎣ ⎦ A.7

e poiché nell’ipotesi di risonanza è verificata la disuguaglianza |∂R(ω0)/∂ω|<<∂X0(ω)/∂ω si conclude quanto asserito. Poichè in corrispondenza di ω0 si ha X0(ω0)=0, si conclude che anche l’ammettenza d’ingresso presenta un massimo alla frequenza ωcd quando ωcd≈ω0. Inoltre se 1-α rappresenta la frazione di potenza considerata nella definizione di banda, viene mostrata la validità della relazione

( )

( )

0 cd 0 0 R 1, X / 1 β ω α ω ω β ω ω α ± ≈ ±_{∂ ∂} = ₋ ≤ A.8

che definisce le frequenze in corrispondenza delle quali la potenza assorbita dall’antenna diviene (1-α) PA(ωcd) pervenendo conseguentemente alla banda frazionaria

( )

_{( )}

( )

0 cd 0 0 0 0 0 2 R FBW 1. 1 X / β ω ω ω α ω β ω ω ω ω α +− − = ≈ = ≤ − ∂ ∂ A.9

Valutando la relazione (A.8) per α=0.5 si ottiene la banda frazionaria a metà potenza B=2R(ω0)/[ω0∂X0(ω0)/∂ω].

A.2.2 Banda definita sul rapporto d’onda stazionaria in condizione di adattamento

La banda definita relativamente al ROS per un’antenna accordata è definita come la differenza fra le due frequenze attorno ad ω0 in corrispondenza delle quali il ROS=s ovvero |Γ0(ω)|2=α=(s-1)2/(s+1)2 assumendo l’ipotesi in cui l’impedenza caratteristica della linea soddisfi la condizione di adattamento (Z0=R(ω0) ovvero |Γ0(ω0)|=0). In termini del coefficiente di riflessione si ha:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 2 0 0 0 _{2 2} 0 0 X R R . X R R ω ω ω Γ ω ω ω ω ⎡ ⎤ +_⎣ − _⎦ = ⎡ ⎤ +_⎣ + _⎦ A.10

Poiché la derivata ∂|Γ0(ω0)|2/∂ω=0 (si veda [28]), il coefficiente di riflessione dell’antenna accordata ad ω0 ed adattata in corrispondenza della stessa frequenza, ha un minimo.

Conseguentemente a differenza della precedente definizione di banda, è sempre possibile definire la banda relativa al ROS (ω+ -ω-) per l’antenna adatta risolvendo la seguente:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 2 0 0 0 _{2 2} X R R , ω ω ω Γ ω α ω ω ω ± ± ± = +⎡⎣ − ⎤⎦ = A.11

pervenendo alla banda frazionaria:

( )

_{( )}

( )

0 v 0 0 0 0 0 4 R s 1 FBW 1. 1 Z / 2 s β ω ω ω α ω β ω ω ω ω α +− − − = ≈ = = ≤ − ∂ ∂ A.12

Nel caso della frequenza di risonanza, dal confronto della (A.9) con la (A.12), si conclude che FBWv(ω0)≈2FBWcd(ω0).

A.3 Definizione del fattore di qualità

Il fattore di qualità di un’antenna accordata alla frequenza

ω

0 è definito dalla seguente

relazione:

( )

0

_{( )}

( )

0 0 A 0 W Q , P ω ω ω ω =

A.13 nella quale

( )

0 m

( )

0 e

( )

0 me

( )

0 W ω =W ω +W ω +W ω ,

A.14 rappresenta la somma dell’energia magnetica, elettrica e magnetoelettrica, valutabili in termini del campo elettrico e magnetico generati dall’antenna [28]. La presenza del valore assoluto è consistente con la possibilità di pervenire a valori negativi per W(

ω

0) nel caso di

specifiche antenne con perdite [28].

La relazione (A.13) può essere ulteriormente sviluppata per ottenere un’espressione del fattore di qualità dipendente esclusivamente dall’impedenza d’ingresso dell’antenna.

Nel caso in cui

ω

0 sia una frequenza di risonanza dell’antenna, caratterizzata dunque dal

soddisfacimento delle condizioni

∂

X0(

ω

0)

/∂ω>0

e |

∂

R(

ω

0)

/∂ω|<<∂

X0(

ω

0)

/∂ω

, si può

mostrare la validità della relazione

( )

0 0

( )

_{( )}

0 0 0 X / Q , 2R ω ω ω ω ω ∂ ∂ ≈ A.15 che si specializza nella (A.16) per contemplare anche il caso della frequenza di antirisonanza:

( )

0 0

( )

_{( )}

0 0 0 Z / Q . 2R ω ω ω ω ω ∂ ∂ ≈ A.16 Confrontando la (A.16) con la (A.12), si deduce la seguente relazione di proporzionalità inversa fra il fattore di qualità dell’antenna e la banda frazionaria riferita al ROS FBWv:

( )

0

( )

_{( )}

0

_{( )}

0 0 v 0 Z / 2 s 1 Q 1. 2R FBW 1 2 s ω ω ω β α ω β ω ω α ∂ ∂ ₋ ≈ ≈ = = ≤ − A.17 Mentre la relazione che coinvolge la banda riferita alla conduttanza risulta essere

( )

0

( )

_{( )}

0

_{( )}

0 0 cd 0 Z / Q 1, 2R FBW 1 ω ω ω _{β α} ω β ω ω α ∂ ∂ ≈ ≈ = ≤ − A.18 che in base a quanto precedentemente affermato, non è applicabile nel caso in cui si abbia una condizione di antirisonanza.