Capitolo 4 Metodi di calcolo

Capitolo 4

Metodi di calcolo

4.1 Introduzione

Per valutare il comportamento a fatica delle strutture integrali sono state effettuate ulteriori analisi con il codice AFGROW. Tale programma include soltanto geometrie semplificate e quindi per modellare strutture con geometrie più complesse è necessario inserire dei fattori correttivi per lastra piana: il β, un fattore geometrico per tener conto della complessa distribuzione di tensione dovuta alla presenza dell’irrigidimento, ed il Kbending per valutare la flessibilità della struttura. I fattori correttivi sono calcolati con analisi agli elementi finiti, mediante i modelli presentati nel presente capitolo. Nel presente lavoro le analisi agli elementi finiti sono state svolte utilizzato il codice di calcolo ABAQUS. Il valore di tali fattori cambia al variare della lunghezza di cricca e quindi è necessario effettuare diverse analisi per varie configurazioni del difetto.

Nel paragrafo 4.3 verrà descritta la simulazione di propagazione in Afgrow e verrà indicato il modo in cui i fattori correttivi vengono inseriti all’interno del codice.

4.2 Modello per il calcolo del fattore di intensità degli sforzi

4.2.1 Introduzione

Nella meccanica della frattura il fattore di intensità degli sforzi svolge un ruolo determinante per la valutazione della velocità di propagazione delle fessure. Il calcolo del fattore di intensità degli sforzi è possibile ottenerlo in forma chiusa solo per particolari geometrie e condizioni di carico per cui è stato necessario avvalersi del metodo agli elementi finiti che permette di valutarlo anche per strutture reali grazie alla sua flessibilità nel rappresentare geometrie e condizioni di carico. Si deve quindi selezionare un criterio, tra quelli oggi disponibili, che permette di calcolare il fattore d’intensità degli sforzi K partendo dalle distribuzioni di tensioni e spostamenti approssimati numericamente. Il calcolo con gli elementi finiti può essere effettuato tramite metodi cosiddetti “diretti” o “indiretti”.

Nei metodi diretti il fattore di intensità degli sforzi è calcolato direttamente dalla soluzione agli elementi finiti, mentre nei metodi indiretti generalmente si utilizzano le informazioni sui nodi, forze e spostamenti per ricavare il fattore G (elastic energy release rate) che viene poi utilizzato per calcolare il fattore K. Esempi dei metodi diretti sono il metodo delle forze e degli spostamenti (COD) mentre esempi di metodi indiretti sono la tecnica di chiusura virtuale della cricca (VCCT), l’integrale J.

Nel presente lavoro si è deciso di utilizzare la “Tecnica di Chiusura Virtuale della Cricca” in tre dimensioni, “3D VCCT”, per ottenere i fattori d’intensità degli sforzi per geometrie e condizioni di carico per cui non esistono soluzioni in forma chiusa. È stato scelto tale modello che può essere facilmente utilizzato con ogni codice di calcolo agli elementi finiti commercialmente disponibile ed inoltre consente una calcolo accurato del fattore d’intensità degli sforzi anche per cricche più complesse senza ricorrere a metodologie complesse ed all’utilizzo di elementi singolari.

L’accuratezza di tale metodo è stata già valutata in lavori precedenti: applicando il metodo “3D VCCT” a configurazioni di difetti per cui sono note le soluzioni in forma chiusa è stato possibile confrontare i risultati ottenuti e riscontrare la validità del modello [18].

4.2.2 Metodologia

Il 3D VCCT, utilizzato per il calcolo del fattore di intensità degli sforzi K, è basato sull’integrale di chiusura della cricca di Irwin secondo cui l’energia rilasciata per aumentare la lunghezza della cricca di una certo valore ∆c è uguale al lavoro richiesto per richiudere la cricca alla sua dimensione originale. L’estensione di tale integrale a corpi tridimensionali per l’applicazione ad analisi agli elementi finiti, elaborata da Shivakumar et al.[ 19], risulta:

i+1 i-1 S 1 G :=_i σ_yy(r,s) ν(∆ - r,s) drds 2 w ∆_{i S 0} ∆ ⎛ ⎞ ⋅ ⎜ _{⋅ ⋅} ⎟ ⎝ ⎠

∫ ∫

¾ Gi = strain energy release rate;

¾ w_i = lunghezza dell’elemento lungo il fronte di cricca;

¾ ∆ = lunghezza dell’elemento su ogni lato normale al fronte di cricca;

¾ σ_{yy = distribuzione delle tensioni davanti al fronte di cricca, ortogonali al piano di frattura;} ¾ ν _{= distribuzione degli spostamenti dietro al fronte di cricca, ortogonali al piano di}

frattura;

¾ r = distanza normale al fronte di cricca; ¾ s = distanza lungo il fronte di cricca;

secondo lo schema dei parametri nel piano di frattura riportato in figura 4.1.

Figura 4.1 - Schema dei parametri nel piano di frattura

Per l’elemento i-esimo l’equazione è equivalente al prodotto tra le forze nodali lungo il fronte di cricca e gli spostamenti nodali dietro il fronte, corretto tramite fattori che tengono conto dei contributi degli elementi su ogni lato del fronte di cricca. Assumendo che le forze siano proporzionali alla lunghezza dell’elemento normale al fronte di cricca, lo “strain energy release rate”, GI, per un elemento ad otto nodi è dato da:

2 I j j=1 1 G := C F ν 2 w ∆_i ⎛ ⎞ j j ⋅ ⋅ ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ _{⋅ ⋅} ⎟ ⎝ ⎠

∑

i 1 i i w C := w + w₊₁ (4.3); i 2 i i+ w C := w + w ₁ (4.4).

Tale equazione è esatta per un campo di tensioni uniforme e approssimata per un campo di tensioni non uniforme.

Lo “strain energy release rate” locale è il lavoro virtuale necessario per chiudere la cricca lungo la superficie che nel calcolo agli elementi finiti è pari all’area dell’elemento sul piano della cricca.

(w ×∆)_i

Il fattore di intensità degli sforzi, KI, può essere calcolato tramite le seguenti relazioni, valide rispettivamente nel caso di stato di tensione e di deformazione piana:

2 (K )_I G :=_I E (4.5); 2 2 (K ) (1- ν )_I G := _I E ⋅ (4.6),

dove E e ν sono il modulo di elasticità normale e il coefficiente di Poisson per il materiale in esame.

4.3 Metodo di calcolo del K

In presenza di eccentricità nella struttura si ottengono dei valori di tensione aggiuntiva flessionale. Il valore del Kbending, dato dal rapporto tra la σflessionale e la σmembranale, permette di

valutare l’entità di questa tensione.

Dall’output del programma è possibile valutare le tensioni longitudinali nei nodi esterni superiori ed inferiori del pannello, indicate rispettivamente con σin e σout, e calcolare la

σflessionale, la σmembranale ed il Kbending tramite le semplici relazioni:

out in membranale σ + σ σ := 2 (3.7); out in flessionale σ - σ σ := 2 (3.8); flessionale bending membranale σ K := σ (3.9).

Tale parametro risulta particolarmente utile per esprimere la severità degli sforzi flessionali quando questi sono accoppiati ad uno sforzo membranale noto.

4.4 Previsioni sulla propagazione del difetto: simulazione in Afgrow

4.4.1 Introduzione

Per valutare la propagazione della cricca nella struttura irrigidita integrale è stato utilizzato il codice di calcolo AFGROW, sviluppato dall’Air Force Research Laboratory. Tale codice consente di effettuare la previsione dell’accrescimento di una cricca sulla base di un’ampia banca dati di materiali disponibile al suo interno e una serie di equazione risolutive che permettono di calcolare il rateo di accrescimento di una data geometria di difetto. Questo programma include soltanto modelli di geometria semplificati, per questo, nel caso di geometrie più complesse, è necessario inserire all’interno del codice dei fattori correttivi per il semplice modello di lastra piana (i valori dei fattori correttivi vengono in genere calcolati con simulazioni agli elementi finiti).

4.4.2 Simulazione di propagazione del difetto

Prima di eseguire un’analisi con Afgrow, è necessario specificare: 1. materiale ed equazione risolutiva;

2. geometria del modello e del difetto; 3. spettro di carico;

4. eventuali modelli di ritardo, fattori di β correttivi e tensioni residue. 4.4.2.1 Materiale ed equazione risolutiva

In Afgrow è possibile caratterizzare il materiale o selezionandolo nel database presente all’interno del codice o specificandone le proprietà.

Se il materiale viene scelto tra quelli disponibili nel database i coefficienti necessari per l’equazione risolutiva scelta sono già tutti disponibili e possono comunque essere modificati dall’utente per meglio adattarli alle esigenze specifiche, mentre se si decide di inserire il materiale manualmente bisogna specificare le caratteristiche e i coefficienti all’interno di tabelle (il tipo ed il numero di coefficienti richiesto dipende dal tipo di equazione risolutiva scelta).

L’equazione risolutiva può essere scelta tra [20]: a) Forman equation;

b) Harter-T method; c) NASGRO equation; d) Tabular Lookup; e) Walker equation.

4.4.2.2 Geometria del modello e del difetto

Le geometrie standard disponibili in Afgrow consistono in una serie di modelli dei difetti che possono esistere nei casi reali di comune applicazione e per cui sono disponibili soluzioni del fattore di intensità degli sforzi o in forma chiusa o tabulata.

Sulla base di tali modelli si inseriscono le dimensioni effettive della geometria e del difetto di cui si vuole valutare il comportamento.

Nella definizione della geometria vengono specificati anche i livelli di sollecitazione suddivisi per tipo: trazione, flessione e torsione. Il codice consente di analizzare contemporaneamente anche carichi combinati tramite l’introduzione di un rapporto per i tre tipi di sollecitazione consentita (“Stress Fraction”).

4.4.2.3 Spettro di carico

All’interno del codice è possibile inserire uno spettro di carico ad ampiezza costante o variabile: nel primo caso viene specificato il carico massimo ed il valore di R, dato dal rapporto tra la tensione minima e massima, nel secondo caso bisogna richiamare da file o realizzare uno spettro di carico specificando il numero di cicli ed il carico ad ogni ciclo.

4.4.2.4 Modelli di ritardo, fattori di beta correttivi e tensioni residue

In Afgrow è possibile introdurre dei modelli di ritardo per tener conto di eventuali picchi di carico presenti nello spettro, analizzare geometrie più complicate introducendo fattori di correzione geometrica e considerare la presenza di tensioni residue inserendo o l’effettivo valore di tensione o dei fattori di concentrazione residui.

4.4.2.5 Analisi

È possibile effettuare l’analisi dopo aver selezionato l’equazione risolutiva, specificato la geometria del modello, imposto le condizioni di carico ed introdotto eventuali modelli di ritardo, fattori di β correttivi e tensioni residue.

4.4.2.6 Risultati

Il codice fornisce le nuove dimensioni della cricca con il numero di cicli corrispondente per una serie di passi intermedi definiti dall’utente.

4.5 Conclusioni

I metodi per la valutazione del coefficiente di concentrazione di tensione e del Kbending

verranno applicati ai diversi modelli analizzati nella presente trattazione e, per ogni caso, verrà effettuata una simulazione di propagazione con il codice Afgrow, inserendo gli opportuni fattori di correzione ricavati dalle analisi numeriche.

L’attenzione verrà focalizzata sugli effetti dell’irrigidimento: i risultati ottenuti verranno infatti confrontati con quelli relativi ad una lastra piana.