ECONOMETRIA: Laboratorio II

(1)

ECONOMETRIA: Laboratorio II

Luca De Angelis

CLASS - Universit`a di Bologna

(2)

Programma Lab II

I

Variabili dummy

I

Vincoli Lineari

I Funzione di produzione (Cobb-Douglas) I

Eteroschedasticit` a errori robusti di White

(3)

Capital Asset Pricing Model (CAPM)

Variabili dummy

I

Esempio (Pag. 157 del libro): il rendimento al tempo t del portafoglio i ` e funzione di una costante α e del rendimento del mercato r

_m,t

:

r

_{i ,t}

= α + βr

_m,t

+

_{i ,t}

I

Come valutare se il rendimento del titolo i ` e diverso nei vari giorni (settimane, mesi, ecc...) dell’anno?

r

_{i ,t}

= α

0

+ α

1

d

t

+ βr

m,t

+

_{i ,t}

(4)

Capital Asset Pricing Model (CAPM)

Variabili dummy

I

Valutiamo se il luned`ı esercita una particolare influenza sull’intercetta:

r

_{i ,t}

= α

_nl

+ (α

_l

− α

_nl

) d

_t

+ βr

_m,t

+

_{i ,t}

dove : d

t

= 0 se il giorno t ` e diverso da luned`ı 1 se il giorno t ` e uguale a luned`ı

I

Su gretl per costruire dummy temporali: Aggiungi - Dummy

periodiche

(5)

Capital Asset Pricing Model (CAPM)

Variabili dummy

I

In questo modo cosa rappresentano i coefficienti α

nl

e (α

l

− α

_nl

)? Se la variabile dummy risultasse significativa che valore assumerebbe l’intercetta per il luned`ı?

I α_nl = intercetta nei giorni diversi da luned`ı

I (α_l− αnl) = differenza dell’intercetta tra luned`ı e gli altri giorni ((α_l− αnl) + α_nl = α_l `e il valore dell’intercetta per il luned`ı)

(6)

Capital Asset Pricing Model (CAPM)

Variabili dummy

I

Valutiamo se il luned`ı esercita una particolare influenza sul coefficiente di regressione β:

r

i ,t

= α + (β

l

− β

_nl

) d

t

r

m,t

+ β

nl

r

m,t

+

i ,t

dove : d

_t

= 0 se il giorno t ` e diverso da luned`ı

1 se il giorno t ` e uguale a luned`ı

(7)

Capital Asset Pricing Model (CAPM)

Variabili dummy

I

In questo modo cosa rappresentano i coefficienti β

nl

e (β

l

− β

_nl

)? Se la variabile dummy risultasse significativa quanto varrebbe il coefficiente di regressione per il luned`ı?

I β_nl = coefficiente di regressione nei giorni diversi da luned`ı I (β_l− βnl) = differenza del coefficiente di regressione tra luned`ı

e gli altri giorni ((β_l− βnl) + β_nl = β_l `e il valore del coefficiente di regressione per il luned`ı)

(8)

Capital Asset Pricing Model (CAMP)

Return - Log-return

I

Considerate le due variabili dummy

d

1,t

= 0 se il giorno t ` e diverso da luned`ı 1 se il giorno t ` e uguale a luned`ı d

_2,t

= 1 se il giorno t ` e diverso da luned`ı

0 se il giorno t ` e uguale a luned`ı

I

Cosa succede se volessi stimare un modello

r

i ,t

= α + α

nl

d

2,t

+ α

l

d

1,t

+ β

1

r

m,t

+

i ,t

I

Problema di perfetta collinearit` a

(9)

Variabili dummy

Per riassumere

I

Le variabili dummy possono essere utilizzate per valutare se uno o pi` u coefficienti (e/o l’intercetta) si modificano al modificarsi di alcune differenti condizioni delle unit` a

considerate (periodo di tempo differenti, posizioni geografiche diverse, altre condizioni...)

I

Una variabile dummy d

_t

` e definita:

I d_t= 1 se vale una determinata condizione I dt= 0 se non vale una determinata condizione

I

Su gretl per costruire dummy temporali: Aggiungi - Dummy

periodiche

(10)

Esercizio 2: Effetto luned`ı

I Esercizio:

valutare se ` e effettivamente presente un’effetto luned`ı (nel libro a pag. 159 ` e riportato un esempio per valutare un effetto gennaio) nei rendimenti delle attiv` a finanziarie.

Provare con un titolo e un indice diversi da quelli gi` a visti.

(11)

Funzione di Produzione: Cobb-Douglas

Teoria Economica

Y

_t

= AL

^α_t

K

_t^β

I

K Capitale e L Lavoro.

I

A: Produttivit` a totale dei fattori (TFP)

I

α e β sono le elasticit` a rispetto al K e L

I

In logaritmi:

y

t

= a + αl

t

+ βk

t

(12)

Cobb-Douglas

Su Gretl...

I

Caricare il dataset labour.xls, che contiene i dati che riguardano 569 imprese americane nell’anno 2010.

I

Importare i dati in “Cross-Section”

I

Aggiungere i logaritmi delle variabili Capital, Labour e Output

I

Stimare i coefficienti della funzione di produzione attraverso

gli OLS

Commento all’output del modello

I

Quale ` e il valore dei coefficienti di regressione?

I

Ci sono variabili non significative?

I

Considerazioni sulla qualit` a dell’adattamento del modello ai

dati.

(13)

Cobb-Douglas

Vincoli lineari

I

Rendimenti di scala costanti: α + β = 1

I

Vincoli Ridondanti: α =

¹₂

, β =

¹₂

, α + β = 1

Vincoli Lineari con Gretl

I

Output del modello: Vincoli Lineari

I

Vincoli Lineari: Specificare i vincoli

I

I parametri vanno indicati con b[i ]

(14)

Eteroschedasticit` a

I

Immaginiamo che il modello corretto sia:

y

n×1

= X

n×k

β

k×1

+ u

n×1

E (u | X )= 0

n×1

, E (uu

⁰

| X ):=Σ=







σ

²₁

0 · · · 0

0 σ

²₂

0 .. . .. . . .. ...

0 0 · · · σ

_n²







I

Assumiamo che l’econometrico stimi il modello utilizzando

OLS, cosa succede?

I

E’ comunque corretto

E ˆ β

_OLS

= β

ma non ` e il pi` u

efficiente, quello con la varianza pi` u bassa.

(15)

Stimatore OLS

In caso di omoschedasticit`a

I

In caso di omoschedasticit` a:

β ˆ

_OLS

= X

⁰

X

−1

X

⁰

y E ˆ β

_OLS

= β

Var ˆ β

_OLS

| X

= Var β + (X

⁰

X )

⁻¹

X

⁰

u | X

= Var (X

⁰

X )

⁻¹

X

⁰

u | X

= (X

⁰

X )

⁻¹

X

⁰

σ

_u²

I

n

X (X

⁰

X )

⁻¹

= σ

_u²

(X

⁰

X )

⁻¹

(16)

Stimatore OLS

In caso di eteroschedasticit`a

I

In caso di eteroschedasticit` a:

β ˆ

_OLS

= X

⁰

X

−1

X

⁰

y E ˆ β

OLS

= β

Var ˆ β

_OLS

| X

= Var β + (X

⁰

X )

⁻¹

X

⁰

u | X

= Var (X

⁰

X )

⁻¹

X

⁰

u | X

= (X

⁰

X )

⁻¹

X

⁰

ΣX (X

⁰

X )

⁻¹

(17)

Errori robusti di White

I

L’econometrico americano White ha definito uno stimatore per tenere in considerazione questo problema:

Var ˆ β

_OLS

| X

= (X

⁰

X )

⁻¹

X

⁰

ΣX (X

⁰

X )

⁻¹

=

n

X

i =1

x

i

x

_i⁰

!

−1 n

X

i =1

ˆ

²_i

x

i

x

_i⁰

!

_n

X

i =1

x

i

x

_i⁰

!

−1

I

Gli errori standard ottenuti utilizzando questa correzione per

la varianza di β

OLS

vengono definiti ‘robusti’

ECONOMETRIA: Laboratorio II