Ricorrenza Il problema dei conigli

Ricorrenza

Il problema dei conigli

Un allevatore compra una coppia di conigli appena nati. Dopo due mesi i conigli sono in grado di riprodursi, dando vita ad un’altra coppia di conigli; questa pu` o riprodursi dopo altri due mesi. Sup- ponendo che nessun coniglio muoia, qual ` e il numero totale delle coppie di conigli dopo N mesi?

Ogni coppia presente in un mese ` e presente anche il mese successivo, mentre quelle pre- senti due mesi prima fanno aumentare di uno il numero di coppie.La successione del numero di coppie ` e

1, 1, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5, . . . e, in generale

u _n+1 = u _n + u _n−1 con u ₀ = 1 e u ₁ = 1

Si pu` o affrontare il problema al calcolatore in due modi

• mettere tutti i numeri in un vettore (se non sono troppi)

• applicare la formula spostando n Esempio 1

u[0]=1 u[1]=1

per n che va da 2 a N u[n]=u[n-1]+u[n-2]

ripeti Esempio 2 unm2=1 unm1=1

per n che va da 2 a N un = unm1 + unm2 unm2 = unm1

unm1 = un

ripeti

Formula di Binet

Cerco una successione come quella di Fibonacci ma fatta a potenza

q ^N = q ^{N −1} + q ^{N −2} che implica

q ² = q + 1 e che ha due soluzioni

q ₁ = 1 + √ 5

2 e q ₂ = 1 − √ 5 2

allora qualunque successione della forma u _N = c ₁ · q 1 ^N + c ₂ · q 2 ^N

avr` a ancora la stessa relazione di ricorrenza.

In particolare con c ₁ =

√ 5 + 1 2 √

5 e c ₂ =

√ 5 − 1 2 √

5 trovo u ₀ = 1 e u ₁ = 1

Poich´ e |q 2 | < 1, per N → ∞ il contributo di q ₂ ^N

scompare e u _N ≈ c 1 · q ₁ ^N

Polinomi ortogonali

Molti polinomi sono importanti per la Fisica.

Spesso li caratterizza una relazione di ricor- renza che permette anche di calcolarli.

1. • Polinomi di Legendre

• P 0 (x) = 1, P 1 (x) = x

• (N + 1)P _{N +1} = (2N + 1)xP _N (x) − NP _{N −1} (x)

• 1

p 1 − 2hx + h ² = P _∞

n=0 P n (x)h ⁿ 2. • Polinomi di Hermite

• H 0 (x) = 1, H 1 (x) = x

• H _{N +1} = 2 · xH N (x) − 2 · N · H _{N −1} (x) 3. • Polinomi di Laguerre

• L ^a ₀ (x) = 1, L ^a ₁ (x) = 1 + a − x

• (N + 1)L ^a _{N +1} = (2N + 1 + a − x) · L ^a _N (x)

− (N + a) · L ^a _{N −1} (x) 4. • Polinomi di Chebychev

• T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x

• T _{N +1} = 2 · x · T ^N (x) − T N −1 (x)

• T n cos(x)

= cos(nx)

Integrali dei polinomi

Z +1

−1

P _n (x)P _m (x)dx = δ _nm 2 2n + 1 Z _+∞

−∞

e ^−x

H n (x)H _m (x) = δ _nm 2 ⁿ n! √ π Z _∞

0

e ^−x L ^a _n (x)L ^a _m (x) = δ _nm Γ(n + a + 1) n!

Z +1

−1

T n (x)T _m (x)

p 1 − x ² = δ nm π

2 o δ nm π se n ` e 0

Funzioni associate di Legendre

Sono importanti nel calcolo delle armoniche sferiche

Y _l ^m (θ, φ) = s

(2l + 1) 4π

(l − m)!

(l + m)! P _l ^m (cos(θ))e ^imφ

P _l ^m sono le funzioni associate di Legendre.Per m = 0 sono i polinomi di Legendre.

Posso calcolarle tramite una relazione di ricorrenza

1. P _m ^m (x) = (−1) ^m (2m − 1)!!(1 − x ² ) ^m/2 2. P _m+1 ^m (x) = (2m + 1)xP m ^m (x)

3. (l − m)P _l ^m (x) = (2l − 1)xP _l−1 ^m (x) − (l + m − 1)P _l−2 ^m (x)

Funzioni di Bessel e ricorsione inversa

Le funzioni di Bessel sferiche possono essere definite da

j 0 (x) = sin(x)/x j 1 (x) = sin(x)/x ² − cos(x)/x j _n+1 (x) = 2n + 1

x j n (x) − j n−1 (x)

Se x ` e piccolo, (2n + 1)/x ` e grande Cosa succede in una ricorrenza in cui

u _n+1 = Ku _n − u n−1

con K molto grande? Cerco la risposta in una ricor- renza della forma

q ⁿ⁺¹ = Kq ⁿ − q ⁿ⁻¹ q ² − Kq + 1 = 0 che ha soluzione

q _± = (K ± p

K ² − 4)/2 che d` a circa

q + = K q ₋ = 1 K e quindi

u n = A + q ₊ ⁿ + A ₋ q ₋ ⁿ

Se A + = 0, basta un piccolo errore numerico perch´ e la

soluzione corrispondente a q ₊ prevalga comunque: dopo

la prima iterazione dovrei avere u 1 = A ₋ q ₋ ⁿ , ma in realt` a

ho introdotto un errore che, per i numeri in doppia pre- cisione, ` e dell’ordine di 10 ⁻¹⁶ . Quello che ho ottenuto

` e quindi

u n = A ₋ q ₋ + εA + q +

dove per semplicit` a posso assumere che A + e A <sub>−</sub> siano entrambi vicini ad uno. Se questo ` e l’unico errore nu- merico che faccio (cosa molto improbabile), dopo n i- terazioni ho

u n = A ₋ q ₋ ⁿ + εA + q ⁿ ₊ Il rapporto tra i due termini ` e

εA + q ₊ ⁿ

A ₋ q ₋ ⁿ ∼ ε

 q +

q ₋

 n

= εK ²ⁿ

Si vede quindi che, per K = 10 e n = 8, i due termini sono confrontabili, mentre per n = 16 il primo termine sparisce e la soluzione non ha pi` u nulla a che fare con quella che cercavo.

Per ovviare a questo inconveniente parto da u _n e faccio la ricorsione all’indietro

u 0 = A + /q ₊ ⁿ + A ₋ /q ₋ ⁿ

che fa prevalere il termine che dipende da q ₋ In pratica considero la formula inversa

j _n−1 (x) = 2n + 1

x j n (x) − j n+1 (x)

con valori iniziali j _N (x) e j _{N −1} (x) casuali e N ≫ n Im-

ponendo il giusto valore di j 0 (x) trover` o anche j n (x).

Esercizio

Considero il potenziale generato da una distribuzione di carica cos`ı fatta:

ρ = ρ 0 cos ⁴ (θ) r < R 0 e ρ = 0 altrimenti attorno alla direzione di un certo asse.

Il potenziale sull’asse ` e allora

V (z) = 1 4πε 0

Z _R

0

r ^′2 dr ^′ Z _π

0 sin(θ)dθ · Z 2π

0

dφ ρ 0 cos ⁴ (θ) z ² p

1 − (r ^′ /z) cos(θ) + (r ^′2 /z ² ) V (z) = ρ 0

2ε 0 z ² X ∞

l=0

R ^l+3 ₀ (l + 3)z ^l

Z +1

−1

dxx ⁴ P _l (x)

Fare un grafico dell’andamento di ε 0 V (z)/ρ 0 al variare

di z includendo i vari termini di multipolo e prendendo

R 0 = 1 cm