EQUAZIONI DI PRIMO GRADO
Obiettivi Prerequisiti
Alla fine di questa unità:
1) saprai riconoscere una equazione di primo grado
2) sarai capace di risolvere equazioni numeriche di primo grado intere e fratte
3) sarai capace di discutere semplici equazioni letterali di primo grado
Prof.ssa G. Messina 2 Prerequisiti
Obiettivi
E' necessario che tu
• sappia operare con i monomi e i polinomi
• sappia operare con le frazioni algebriche
Materia: Matematica
Argomento: Equazioni di 1° grado Istituto: I.I.S. GastaldiAbba
Classe: Seconda
Prof.ssa: G. Messina
Diritti:
PARTIAMO DA UN
PROBLEMA
In una fattoria ci sono polli e conigli. Le teste in tutto sono 51 e le zampe 134.
Quanti sono i conigli e quanti i polli?
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Quali sono i risultati richiesti?
determinare il numero di polli e di conigli
Scegliamo un'incognita
numero di polli
Traduciamo in espressioni le relazioni fornite dal
problema
il numero totale di animali è il numero di conigli è
le zampe dei polli in tutto sono le zampe dei conigli in tutto sono
le zampe in tutto sono
perché non è possibile ottenere un numero di polli negativo
svolgendo la moltiplicazione e sommando i monomi simili
Il modello matematico del problema
equazione di primo grado numerica intera
è una
di primo grado perchè
numerica perchè
intera perchè
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Il grado di un'equazione in forma normale (cioè nella forma più semplice possibile) è:
il più alto fra gli esponenti dell'incognita
TORNA INDIETRO
Un'equazione si dice
numerica: se le uniche lettere presenti sono le incognite
letterale: se vi compaiono altre lettere oltre le incognite
In genere per le incognite si usano le ultime lettere dell'alfabeto
mentre le prime lettere dell'alfabeto indicano le costanti del problema, dette PARAMETRI
torna indietro
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Un'equazione si dice
FRATTA: se le incognite si trovano almeno in un denominatore
INTERA: se le incognite si trovano solo a
numeratore di eventuali frazioni
Classifica le seguenti equazioni in base alle lettere
che vi compaiono
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classifica le seguenti equazioni in base alle frazioni che vi compaiono
INTERA FRATTA
PRIMA CONSEGUENZA SECONDA CONSEGUENZA
PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Sommando o sottraendo una stessa espressione ai due membri di
un'equazione si ottiene un'equazione
equivalente a quella data
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TERZA CONSEGUENZA SECONDA CONSEGUENZA
PRIMA CONSEGUENZA
SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Moltiplicando o dividendo per una stessa espressione (DIVERSA DA ZERO) i due membri di un'equazione si
ottiene un'equazione equivalente a
quella data
Prima conseguenza del primo principio
Consideriamo l'equazione:
e sommiamo ad entrambi i membri l'espressione
Abbiamo ottenuto l'equazione equivalente (riprova!):
la cui soluzione è (Prova!) SOLUZIONE?
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Confrontando le due equazioni si ha
l'impressione che il monomio si sia spostato dal secondo membro al primo
cambiando il suo segno e lo stesso abbia fatto il monomio passando dal primo al secondo
Questa conseguenza del primo principio si chiama TRASPORTO
o, come dice la prof. Messina molto familiarmente, SALTO DELL'UGUALE
TIRA
torna indietro
Seconda conseguenza del primo principio
Consideriamo l'equazione:
e sommiamo ad entrambi i membri l'espressione
Abbiamo ottenuto l'equazione equivalente: (riprova!)
la cui soluzione è (Prova!) SOLUZIONE?
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Confrontando le due equazioni si ha
l'impressione che il monomio sia
scomparso da entrambi i membri come se
l'avessimo semplificato
Questa conseguenza del primo principio si chiama CANCELLAZIONE
TIRA
torna indietro
Prima conseguenza del secondo principio
Consideriamo l'equazione:
e moltiplichiamo entrambi i membri per il m.c.m fra i DENOMINATORI, cioè
Abbiamo ottenuto un vantaggio:
adesso i coefficienti sono tutti numeri interi
svolgiamo le moltiplicazioni
torna indietro
In realtà, di solito calcoliamo prima il denominatore comune a tutte le frazioni presenti sia nel 1° sia nel 2° membro e poi, semplicemente, lo cancelliamo sottintendendo la
moltiplicazione per uno stesso numero
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Seconda conseguenza del secondo principio
Consideriamo l'equazione:
e moltiplichiamo entrambi i membri per
torna indietro
svolgiamo le moltiplicazioni
Abbiamo ottenuto un vantaggio:
i segni sono quasi tutti positivi
Di solito, usiamo questo procedimento nel penultimo passaggio dell'equazione se il coefficiente dell'incognita è negativo
Terza conseguenza del secondo principio
Consideriamo l'equazione:
e dividiamo entrambi i membri per il coefficiente dell'incognita,
torna indietro
semplifichiamo
Abbiamo ottenuto un vantaggio:
abbiamo trovato il valore che soddisfa l'equazione.
Abbiamo, dunque, risolto l'equazione!
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Classificazione in base al numero di soluzioni
Se un'equazione ha:
un numero finito di soluzioni viene detta DETERMINATA
un numero infinito di soluzioni viene detta INDETERMINATA
nessuna soluzione viene detta
IMPOSSIBILE
Supponiamo di aver portato l'equazione in forma normale, cioè di aver eseguito tutti i passaggi fino ad avere:
se possiamo applicare il secondo principio di equivalenza dividendo entrambi i membri per e così arriviamo a trovare l'unica soluzione:
Quindi: se l'equazione è
DETERMINATA
cancella qui
torna indietro
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Ma se , il secondo principio di equivalenza non si può applicare e dobbiamo seguire un altro tipo di ragionamento.
Consideriamo il termine noto, e supponiamo che sia
In altre parole, la nostra equazione si presenta nella forma:
Allora l'eventuale soluzione dovrebbe essere un numero che moltiplicato per dia come risultato un numero e sappiamo bene che ciò è impossibile.
Quindi: se e l'equazione è
IMPOSSIBILE
cancella qui
torna indietro
Se, invece, anche il termine noto è uguale a zero
la nostra equazione si presenta nella forma:
e quindi, l'eventuale soluzione dovrebbe essere un numero che moltiplicato per dia come risultato e sappiamo bene che ciò succede moltiplicando per qualsiasi numero.
Quindi: se e l'equazione è
INDETERMINATA
cancella qui
torna indietro
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RISOLUZIONE DEL PROBLEMA
Allora quanti polli e quanti conigli c'erano in quella fattoria?
Non resta che riprendere l'equazione
modello del nostro problema e risolverla:
applico il principio del trasporto:
sommo i monomi simili:
applico il cambio di segno:
divido per 2 entrambi i membri:
e semplifico:
