Quantizzazione del campo elettromagnetico Campi interagenti

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prof. Francesco Ragusa Università di Milano

Interazioni Elettrodeboli

anno accademico 2020-2021

Lezione n. 10

27.10.2020

Quantizzazione del campo elettromagnetico Campi interagenti. Scattering. Matrice S

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Quantizzazione del campo elettromagnetico

y Ribadiamo che lo sviluppo fatto non è sostanzialmente differente da quello fatto utilizzando il gauge di Coulomb nella diapositiva

y Anche in questo caso la scelta di rendere ε⁰ = 0 non è covariante y Funziona in un sistema di riferimento particolare

y Tuttavia abbiamo messo in evidenza come la riduzione dei due gradi di libertà dipenda:

y Dalla invarianza di gauge

y Dal fatto che il fotone abbia massa nulla

y Utilizzando le onde piane così definite possiamo sviluppare il campo elettromagnetico in integrale di Fourier

y La quantizzazione si potrebbe fare promuovendo le ampiezze ad operatori di creazione e distruzione e imponendo le regole di commutazione y Tuttavia una tale procedura non è soddisfacente

y Non è covariante, vale solo in un dato sistema di riferimento

y Non si riesce a derivare dalla quantizzazione canonica del campo elettromagnetico

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y Vediamo più in dettaglio la natura delle difficoltà (v. Aitchison 3^rd ed. § 7.3.2) y L'equazione può essere derivata dalla lagrangiana

y Infatti, dalle equazioni di Eulero-Lagrange

y Per procedere con la quantizzazione occorre calcolare i momenti coniugati

y Per μ = 0

y Pertanto la componente A⁰ non ha un momento coniugato

y Non si possono imporre regole di commutazione su tutte e 4 le componenti Evidenziamo i termini

contenenti ∂₀A_μ in L

Nel gauge di Lorentz

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y Osserviamo che l'equazione dell'onda si ottiene imponendo il gauge di Lorentz y Pertanto la Lagrangiana utilizzata conduce ad una equazione più generale

y Si può utilizzare una Lagrangiana diversa che conduca direttamente all'equazione dell'onda elettromagnetica

y Ricordiamo la definizione dei momenti coniugati

y Il nuovo pezzo di L non contiene termini ∂₀A_μ per μ = 1,2,3 y I corrispondenti momenti coniugati rimangono invariati

y Per il momento coniugato π⁰ si trova π⁰ = −(∂_μA^μ) y Abbiamo trovato 4 momenti coniugati diversi da zero

y Possiamo promuovere campi e momenti coniugati a operatori e imporre le regole di commutazione canoniche

y Il tensore g^μν appare per la natura 4-vettoriale degli operatori

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y Ricordiamo tuttavia che la condizione di Lorentz era stata un ingrediente essenziale per ridurre a due il numero di gradi di libertà del sistema

y Aspettiamoci pertanto l'apparizione di aspetti non fisici legati ai due gradi di libertà aggiuntivi che sono rimasti nella formulazione

y Sviluppiamo ulteriormente il processo di quantizzazione y Imponiamo le altre regole di commutazione

y Si può dimostrare che le derivate spaziali di A_μ commutano y Pertanto la regola di commutazione canonica si riduce a

y Confrontiamola con quella del campo di Klein-Gordon reale

y Osserviamo che le regole di commutazione per A₀ hanno il segno diverso da quelle di un campo scalare (ad es. il campo di Klein-Gordon)

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y Vedremo fra poco che il segno differente è di fondamentale importanza y Possiamo a questo punto sviluppare il campo elettromagnetico

y A differenza di quanto fatto con il campo classico adesso la somma sugli stati di polarizzazione è adesso estesa a tutti e 4 gli stati

y Costruiremo esplicitamente i 4-vettori per un arbitrario k = (|k|,k)

y Per il momento è sufficiente dire che

y Dalle regole di commutazione dei campi A_μ si derivano le regole per gli operatori di creazione e distruzione

y Ancora una volta notiamo la presenza del segno meno per λ = λ′ = 0

y La sua presenza causa un grave problema di autoconsistenza della teoria y Vedremo infatti che compaiono degli stati con norma negativa privi di

significato fisico

ad esempio

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y Come nel caso dei campi di Klein-Gordon e di Dirac utilizziamo gli operatori di creazione per costruire gli stati a partire dal vuoto

y Calcoliamo la norma dello stato

y Per λ = 0 gli stati hanno norma negativa

y Un tale risultato è inaccettabile; conduce a probabilità negative

y Un'altra conseguenza grave è che l'Hamiltoniana non è più definita positiva y In modo analogo a quanto fatto per il campo scalare reale (vedi slide )

si può calcolare l'Hamiltoniana del campo elettromagnetico

y È evidente che la componente temporale 0 può dare un contributo negativo all'energia

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y Nel caso classico la scelta del gauge di Lorentz aveva lasciato due gradi di libertà eliminando gli stati con polarizzazione time-like e longitudinali

y Abbiamo visto che non possiamo richiedere la relazione operatoriale senza incorrere in problemi di autoconsistenza

y Gupta e Bleuler proposero di imporre una condizione più debole y Definiamo

y La condizione proposta da Gupta e Bleuler è y Ψ è uno stato fisico arbitrario

y Analogamente y E infine

y Per comprendere le implicazioni di questa condizione sviluppiamo la prima relazione

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y Abbiamo visto (diapositiva ) che per λ =1,2 il prodotto scalare è nullo mentre per λ = 0,3

y Vediamo adesso l'effetto di questa condizione sul valore di aspettazione dell'Hamiltoniana in uno stato |Ψ>

y Analizziamo i contributi λ = 0 e λ = 3 dell'integrando

y Pertanto al valore di aspettazione dell'Hamiltoniana contribuiscono solo gli stati con polarizzazione trasversale

y Per semplicità la trattazione è stata intuitiva e parziale

y Tuttavia mostra una via per quantizzare il campo elettromagnetico utilizzando il metodo canonico

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Pertanto avremo

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y Applicheremo questi concetti ad alcuni processi di elettrodinamica quantistica y Utilizzeremo la rappresentazione del campo

y Osserviamo che la somma sulle polarizzazioni è limitata a λ = 1,2 y Gli operatori α creano stati con polarizzazioni λ = 1,2

y Le onde piane dell'onda elettromagnetica sono

y Tuttavia questo metodo si può applicare solo all'elettrodinamica

y Diventa praticamente impossibile quando i campi vettoriali hanno massa y Ad esempio per i quanti dell'interazione debole Z⁰ e W^±

y Si usano tecniche più potenti

y In particolare l'integrale di cammino ( Path Integral) y Non ci addentreremo in questi problemi

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Campi interagenti

y La teoria quantistica dei campi fin qui vista descrive l’evoluzione di particelle libere

y Gli operatori numero commutano con l’Hamiltoniana y Il numero delle particelle presenti in ogni modo rimane costante

y Non risolve il problema di avere una teoria capace di descrivere un numero di particelle variabile nel tempo

y È necessaria una teoria con campi interagenti

y Una trattazione rigorosa di campi interagenti va oltre gli obbiettivi del corso y Tuttavia discutiamo brevemente alcuni aspetti

y Ritorniamo all’oscillatore quantistico unidimensionale y L’energia potenziale ha una forma quadratica

y Di solito risultato di approssimazioni al primo ordine y Essenziale per trovare la soluzione algebrica

y Implica la conservazione del numero di quanti ( N commuta con H ) y Per introdurre la possibilità di variazione del numero dei quanti

occorre andare oltre l’approssimazione armonica

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y Introduciamo un termine anarmonico di terzo grado

y Esprimendo l’Hamiltoniano in funzione degli operatori a e a^†

y Non si può risolvere con i metodi algebrici utilizzati precedentemente y Si può verificare che N = a^†a e H' non commutano

y Gli autovettori di H hanno un numero variabile di quanti y Non esiste una soluzione esatta di questo problema

y Si ricorre al metodo perturbativo

y Si tratta il termine λ H' come perturbazione

y Si espandono gli autovettori (e autovalori) di H in funzione degli autovettori dell’Hamiltoniano imperturbato H₀

y Agli autovettori imperturbati corrispondono gli autovettori perturbati

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y Si trova il seguente risultato

y La correzione al primo ordine è

y Per calcolare la correzione del secondo ordine occorre calcolare elementi di matrice del tipo

y È facile rendersi conto che il secondo elemento di matrice è diverso da zero anche per s ≠ r, in particolare per s = r + 3, r + 1, r − 1, r − 3

y Questa semplice discussione mostra che l’introduzione di un termine

anarmonico porta a considerare processi con numero di particelle non costante y In particolare allo stato |r> (che ha numero definito di quanti)

si sostituisce uno stato sovrapposizione di stati contenenti numeri differenti di quanti di H₀ y Nella derivazione della Lagrangiana del campo

il termine del potenziale era diventato y Prodotto di due campi

y L’interazione è rappresentata dal prodotto di almeno tre campi

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y Abbiamo già visto la forma di alcune interazioni y Klein Gordon

y Dirac

y Come esempio l’interazione di un fermione con il campo elettromagnetico

y Se l’interazione non contiene derivate dei campi i momenti coniugati non cambiano

y L’Hamiltoniana è pertanto il prodotto di

tre campi: ψ, ψ, A_P

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y La Lagrangiana introdotta porta alle seguenti equazioni

y Si tratta di un sistema di equazioni differenziali non lineari y Non si sa risolvere in forma chiusa

y Per un tempo fissato è possibile sviluppare i campi in termini di operatori di creazione e distruzione. Ad esempio per t = 0 (vedi diapositiva )

y Purtroppo l’evoluzione di questo sviluppo non può essere fatta come nel caso del campo libero

y In particolare non è più vero che il campo ad un successivo tempo t possa essere sviluppato negli stessi operatori di creazione e distruzione

y Questo campo non è soluzione delle equazioni di campo con interazione y Un problema molto complesso

y Si risolve solo con metodi perturbativi

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Teoria dello Scattering

y Vogliamo adesso vedere come si può descrivere un processo di scattering y Ad esempio lo scattering di 2 elettroni mediato da interazione

elettromagnetica

y Si comincia assumendo che quando le particelle sono molto distanti l’interazione sia trascurabile e quindi esse possano essere descritte da campi liberi

y In particolare, con a^†(p) è l’operatore di creazione degli elettroni, lo stato iniziale è

y Il punto importante è che lo stato |p₁,q₁> contiene tutta la storia delle due particelle libere incidenti (non interagenti, libere)

y Sia nel passato remoto y Sia nel futuro lontano y Lo stato finale |p₂,q₂> non è

l’evoluzione libera dello stato |p₁,q₁>

non interagiscono

è uno stato differente nel passato e nel futuro

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Teoria dello Scattering: la Matrice S

y Per i motivi appena illustrati lo stato iniziale è chiamato stato asintotico |>_in

y Gli stati |>_in formano una base completa dello spazio di Hilbert y Sono stati di particelle non interagenti

y Sono “etichettati” indicando i momenti delle particelle nel passato remoto y Nel passaggio dal passato al futuro le particelle interagiscono e il futuro dello

stato che interagisce cambia

y Nel futuro l’interazione può portare a stati liberi diversi da quello iniziale y Nel 1943 Heisenberg formulò una teoria dello scattering introducendo un

operatore nello spazio di Hilbert: la Matrice S

y La matrice S trasforma lo stato

asintotico iniziale nello stato asintotico finale

y Questo stato rappresenta la sovrapposizione di tutti i possibili stati finali (liberi) in cui lo stato iniziale si può trasformare per effetto dell’interazione y Lo stato finale, sovrapposizione di tutte le possibilità, deve avere norma 1

La matrice S è unitaria

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Teoria dello Scattering

y Noi siamo interessati al seguente problema y Dato lo stato iniziale |i>_in = |p₁,q₁>_in

y Calcolare la probabilità di avere uno stato finale |f>_in = |p₂,q₂>_in

y Lo stato finale sono particelle libere che nel futuro hanno momenti p₂ e q₂ y Nel passato |p₂,q₂>_in rappresenta particelle libere con i momenti indicati y Lo stato |p₂,q₂>_in nel futuro rappresenterà ancora uno stato di particelle

libere con i momenti indicati (evoluzione di particelle libere) y Osserviamo che:

y Se facciamo variare |i>_in fra tutti gli stati della base allora gli stati S|i>_in costituiscono un’altra base

y Ciò è conseguenza della unitarietà della Matrice S

y Anche gli stati S|i>_insono stati di particelle libere

y La matrice S collega stati asintotici ottenuti per t o −∞ e t o +∞

y Non considera esplicitamente i dettagli dell’interazione posta a t = 0

y In conclusione la probabilità cercata è

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Rappresentazione d’Interazione

y Quando si introducono le interazioni non si può più usare la rappresentazione di Heisenberg perché non si conoscono soluzioni esatte delle equazioni di campo y In particolare non si sa calcolare l’effetto dell’operatore di evoluzione

y Consideriamo di nuovo l’equazione di Schrödinger (H_o è l’Hamiltoniano libero)

y Definiamo, tramite l’operatore di evoluzione libero (t_o = 0) y Sostituendo nell’equazione di Schrödinger

y Moltiplichiamo a sinistra per exp[iH₀t] e poniamo

y Pertanto nella rappresentazione d’interazione l’equazione di evoluzione della funzione d’onda è determinata solo da H'

H è l'Hamiltoniano completo

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Calcolo della Matrice S

y Troviamo una soluzione formale per ψ_I

y Integrando l’equazione

y Lo stato ψ_I(−∞) non è nient’altro che |i>_in introdotto precedentemente

y L’equazione può essere risolta iterativamente y Primo ordine

y Secondo ordine

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Calcolo della Matrice S

y Sommando la serie formalmente

y Ricordiamo che per t → +∞ abbiamo definito ψ_I(∞) = S|i>_in y Per confronto troviamo un’espressione per la matrice S

y Nella formula abbiamo ribadito la natura operatoriale delle grandezze y Osserviamo che i tempi sono ordinati: t₁ > t₂ > … > t_n

y Definiamo l’operatore di ordinamento cronologico T

y Si dimostra che si possono estendere tutti gli integrali a +∞ e si ottiene

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Sviluppo perturbativo

y Isoliamo il contributo n = 0

y Notiamo che la matrice S contiene un termine 1 che tiene conto del fatto che le particelle possono anche non interagire

y Si dimostra che gli operatori H'_I sono esprimibili in funzione dei campi liberi y Per il calcolo delle sezioni d’urto o delle larghezze di decadimento occorre

calcolare elementi di matrice fra stato iniziale e finale

y Abbiamo implicitamente definito l’ampiezza di transizione A_fi y Vedremo che l’ampiezza A_fi contiene a sua volta una

funzione δ(p_i – p_f) 4-dimensionale che esprime la conservazione dell’energia e della quantità di moto

y Si preferisce fattorizzare anche questo aspetto con una ulteriore matrice

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Sezione d’urto e vita media

y Nella Fisica delle Particelle Elementari si studiano sostanzialmente due fenomeni y La diffusione (scattering) di due particelle o sezione d’urto

y Proiettile – Bersaglio o σ y Fasci in collisione o σ

y Il decadimento di una particella o larghezza di decadimento

y Vita media o τ

y Larghezza di decadimento o Γ τ

y Entrambi i processi vengono descritti per mezzo dell’ampiezza invariante di transizione M

Spazio delle Fasi Flusso Incidente