Teoria dello scattering

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Teoria dello scattering

Lezione 7

Teoria dello scattering

•  Abbiamo già usato la regola d’oro di Fermi per calcolare delle sezioni d’urto:

–  L’interazione nell’elemento di matrice |⟨f|V|i⟩| vista come piccola perturbazione sugli stati di particella libera i ed f.

•  Oggi tratteremo un approccio formalmente esatto che permette di mettere in evidenza alcune proprietà generali dei processi di scattering:

–  quali stati di momento angolare contribuiscono alla diffusione –  limiti alle sezioni d’urto

–  processi di risonanza

•  Il processo logico che seguiremo sarà il seguente:

–  Per stati non legati esistono infinite autofunzioni con energia E –  Una qualunque combinazione lineare di queste è autofunzione di E –  Possiamo sceglierne una combinazione che abbia la forma di un’onda

piana incidente ed un’onda diffusa

–  L’ampiezza dell’onda diffusa sarà la sezione d’urto

Autostati di particella libera

•  Coordinate cartesiane

–  Autofunzioni di H e di p

•  Coordinate sferiche

–  Autofunzioni di H e L, L_z

− !² 2m

∂²

∂x² + ∂²

∂y² + ∂²

∂z²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ψ(r) = Eψ(r) − !²

2m

∂²

∂r² u(r) + !²l(l +1)

2mr² u(r) = Eu(r) ψ r

( )

r Y_l,m(θ,ϕ) ψ r

( )

k = 2mE /!

ψ r

( )

Funzioni di Bessel sferiche

j₀(kr) = sin kr kr j₁(kr) = sin kr

(kr)² −coskr kr j₂(kr) = 3sin kr

(kr)³ −3coskr

(kr)² −sin kr kr

j_l(kr) ≈ sin(kr − lπ / 2)

kr per kr → ∞

Autostati di particella libera

•  Possiamo esprimere la funzione d’onda di una base, in termini di dell’altra:

•  Questa costruzione prende il nome di sviluppo in onde parziali

•  Si noti che, avendo scelto k diretto lungo l’asse z, in questo sviluppo ci sono solo componenti con L_z=0

•  mancano i termini exp(imφ)

•  A grande distanza (kr→∞) dalla regione di interazione:

Ae^ikz = A i^l(2l +1) j_l(kr)P_l(cosθ )

l=0

∞

∑

ψ_inc

( )

Onda piana incidente

ψ_inc

( )

i(kr−lπ/2)

− e^{−i(kr−lπ/2)}

2ikr P_l(cosθ )

l=0

∞

∑

sin(kr + lπ ^{/ 2)} kr

= A

2kr i^l+1(2l +1) e⎡⎣ ^{−i(kr−lπ/2)} − e^{i(kr−lπ/2)}⎤⎦P^l(cosθ )

l=0

∞

∑

Onda sferica

entrante Onda sferica uscente

Autostati in presenza di potenziale

•  Indipendentemente dai dettagli del potenziale, per r → ∞, l’equazione radiale si riduce alla forma:

•  che ha soluzioni del tipo:

•  che possiamo scrivere in forma generica

–  valori di B e δ_l determinati dalla continuità con la soluzione esatta dipendente dal potenziale

–  l’effetto del potenziale è introdurre uno sfasamento

•  es.: il puro potenziale centrifugo genera δ_l =lπ/2

–  un’autofunzione rilevante avrà l’espressione (per r→∞)

− !

2m

∂

∂r

u(r) +V (r)u(r) + !

l(l +1)

2mr

u(r) = Eu(r) ⇒ − !

2m

∂

∂r

u(r) = Eu(r) u(r) = C sin kr + D coskr

u(r) = Bsin(kr − l π / 2 + δ

⁾

ψ = A

2kr i^l+1(2l +1) e⎡⎣ ^{−i(kr−lπ/2+δl)} − e^{i(kr−lπ/2+δl)}⎤⎦P^l(cosθ )

∞

∑

Onda incidente e onda diffusa

•  Scegliamo una combinazione lineare leggermente diversa, moltiplicando ogni funzione per il exp(iδ

):

•  Possiamo in tal modo riscrivere la soluzione esatta a grandi distanze dalla regione di interazione:

ψ = A

2kr i

(2l +1) e ⎡ ⎣

− e

⎤ ⎦P

(cos θ ⁾

l=0

∞

∑

ψ = A

2kr i^l+1(2l +1) e⎡⎣ ^{−i(kr−lπ/2)} − e^{i(kr−lπ/2)} + e^{i(kr−lπ/2)} − e^{i(kr−lπ/2+2δl)}⎤⎦P^l(cosθ )

l=0

∞

∑

= A

2kr i^l+1(2l +1) e⎡⎣ ^{−i(kr−lπ/2)} − e^{i(kr−lπ/2)}⎤⎦P^l(cosθ )

l=0

∞

∑

+ A

2kr i^l+1(2l +1)e^{i(kr−lπ/2)}⎡⎣1− e^2iδl⎤⎦P^l(cosθ )

l=0

∞

∑

ψ = ψ

+ Ae

2kr i(2l +1) 1− e ⎡⎣

⎤⎦P

(cos θ )

l=0

∞

∑

Onda piana

incidente Onda sferica diffusa.

-i^l

Sezione d’urto differenziale

•  Funzione d’onda sovrapposizione:

–  dell’onda piana incidente, ψ_inc

–  di un onda sferica uscente dal centro di diffusione ψ_sc

•  Descrive un processo di scattering:

–  la sezione d’urto dipende dalla probabilità di trovare asintoticamente la particella nel cono dΩ:

ψ = ψ_inc + Ae^ikr

2kr i(2l +1) 1− e⎡⎣ ^2iδl⎤⎦P^l(cosθ )

l=0

∞

∑

dσ = φ⁽ψ_sc^)(r2dΩ) φ⁽ψ_inc^{) =}

ψ_sc ²⁽!k / m)(r²dΩ) ψ_inc ²(!k / m)

= 1

4k² i(2l +1) 1− e⎡⎣ ^2iδl⎤⎦P^l(cosθ⁾

l=0

∞

∑

2

dΩ

d σ

dΩ = 1

4k

i(2l +1) 1− e ⎡⎣

⎤⎦P

(cos θ ⁾

l=0

∞

∑

2

Sezione d’urto totale

•  Per calcolare la sezione d’urto totale dobbiamo integrare su tutto l’angolo solido:

–  usando la normalizzazione per i polinomi di Legendre

–  La sezione d’urto risulta scomposta in sezioni d’urto parziali.

–  Ogni sezione d’urto parziale è limitata:

σ = 1

4k²

∫

⎦P^l1(cosθ )

l₁=0

∞

⎛

∑

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

*

i(2l₂ +1) 1− e⎡ ^2iδl2

⎣ ⎤

⎦P^l2(cosθ )

l₂=0

∞

⎛

∑

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

= 1

4k² (2l₁+1)(2l₂ +1) 1− e⎡ ^−2iδl1

⎣ ⎤

⎦ 1− e

2iδ_l2

⎡⎣ ⎤

⎦ dΩP

∫

l₂=0

∞

∑

l₁=0

∞

∑

dΩP_l1(cosθ )

∫

1+1δ_l1,l2 σ = π

k² (2l +1) 1− e^{2iδl 2}

l=0

∞

∑

σ ≤ 4π(2l +1) k²

σ = 4π

k² (2l +1)sin²δ_l

l=0

∞

∑

Parametro di impatto

•  Sembrerebbe che il calcolo delle sezioni d’urto richieda una sommatoria infinita.

•  In realtà alla sezione d’urto reale contribuiscono solo un numero limitato di onde parziali.

•  Una particella con momento p=ħk e momento angolare L

=l(l+1)ħ

, passera tipicamente ad una distanza b.

–  Se il potenziale si estende fino ad un raggio R, influenza gli stati di momento angolare fino a:

–  lħ=pR → l=kR

–  Il numero di onde parziali da considerare aumenta con l’energia –  La sezione d’urto massima è:

p b

σ ≤ 4π

k² (2l +1)

l=0 kR

∑

k² (kR +1)² = 4π R +1 k

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

= 4π R + λ

( )

(2l +1) = (n +1)²

l=0 n

∑

Compton

Buca di potenziale

•  Per fissare le idee torniamo alla buca di potenziale:

–  in onda s, le soluzioni ad energia positiva sono

–  e le condizioni di continuità danno:

–  e dal rapporto, otteniamo l’equazione per lo sfasamento δ₀:

E

-V₀

r R

u r( ) ^{= Asin k1r k1 = 2m(E + V0) /! r < R}

Bsin(k₂r +δ₀) k₂ = 2mE / ! r > R

⎧

⎨⎪

⎩⎪

V r( )^{= −V0 r < R}

0 r > R

⎧

⎨⎪

⎩⎪

Asin k₁R = Bsin(k₂R +δ₀) Ak₁cosk₁R = Bk2cos(k₂R +δ₀)

k₁cot k₁R = k₂cot(k₂R +δ₀)

Buca di potenziale

•  Indicando per comodità:

•  con un po’di trigonometria si ottiene:

•  Da cui la sezione d’urto:

•  La lunghezza di scattering:

•  corrisponde al limite k→0, σ=4πa²

•  ovvero anche al limite k→0, -δ₀/k:

E

-V₀

r cotδ₀ = k sin kR +α^coskR R

k coskR −α^{sin kR} k₁cot k₁R =α k₂ = k

sin²δ₀ = 1

1 + cot²δ₀ ⁼

coskR − (α / k)sin kR

[ ]²

1 +α² / k²

σ = 4πsin²δ₀

k² = 4π [^{coskR − (}α / k)sin kR]²

k² +α²

a = coskR − (α / k)sin kR α

Bsin(kr +δ₀) = Bsin k(r − a)

scelta convenzionale zero della funzione d’onda

Core repulsivo in interazioni tra nucleoni

Risonanze

•  La sezione d’urto è massima per sfasamento δ_l=π/2

•  Sviluppando cotδ_l

•  e definendo

•  in prossimità di tale valore dello sfasamento:

cotδ_l(E) = cotδ_l^(E_R) + (E − E_R)∂cotδ_l

∂E + ...

Γ = ∂cotδ_l

∂E

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

−1

cotδ_l(E) = E − E_R Γ / 2 sin²δ_l = 1

1 + cot²δ_l ⁼

1

1 + (E − ER)² Γ² / 4

= Γ² / 4

Γ² / 4 + (E − E_R)²

•  Si ottiene la sezione d’urto risonante:

σ = π

k² (2l +1) Γ²

Γ² / 4 + (E − E_R)²

Sezione d’urto e

e

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 A. Andreazza - a.a. 2015/16

14

49. Plots of cross sections and related quantities ⁵

σ and R in e⁺e⁻ Collisions

10

-8

10

-7

10

-6

10

-5

10

-4

10

-3

10

-2

1 10 10

2

σ

ω

ρ

φ

ρ^′

J/ψ

ψ(2S)

Υ

Z

10

-1

1 10 10 ² 10 ³

1 10 10 ²

R

ρ

φ

ρ^′

J/ψ ψ(2S)

Υ

Z

√s [GeV]

Figure 49.5: World data on the total cross section of e⁺e⁻ → hadrons and the ratio R(s) = σ(e⁺e⁻ → hadrons, s)/σ(e⁺e⁻ → µ⁺µ⁻, s).

σ(e⁺e⁻ → hadrons, s) is the experimental cross section corrected for initial state radiation and electron-positron vertex loops, σ(e⁺e⁻ → µ⁺µ⁻, s) = 4πα²(s)/3s. Data errors are total below 2 GeV and statistical above 2 GeV. The curves are an educative guide: the broken one (green) is a naive quark-parton model prediction, and the solid one (red) is 3-loop pQCD prediction (see “Quantum Chromodynamics” section of this Review, Eq. (9.7) or, for more details, K. G. Chetyrkin et al., Nucl. Phys. B586, 56 (2000) (Erratum ibid. B634, 413 (2002)). Breit-Wigner parameterizations of J/ψ, ψ(2S), and Υ(nS), n = 1, 2, 3, 4 are also shown. The full list of references to the original data and the details of

√s [GeV]

Generalizzazione a scattering anelastico

•  Nel caso ci sia la possibilità di assorbimento o cambiamento di natura delle particelle, ψ_sc

diventa:

•  con

•  Oltre alla sezione d’urto elastica

•  Sezione d’urto anelastica:

•  e totale:

•  Γ è la larghezza di decadimento totale della risonanza.

•  Se ci sono diversi canali di

decadimento, si introducono le larghezze parziali per I vari canali:

•  La risonanza è prodotta con spin I da particelle con spin s₁ ed s₂, il fattore 2l+1 va modificato:

ψ =ψ_inc + Ae^ikr

2kr i(2l +1) 1−[ η_l]^Pl(cosθ)

l=0

∞

∑

η_l ≤ 1

σ_el = π

k² (2l +1) 1−[ η_l]²

l=0

∞

∑

σ_an = π

k² (2l +1) 1−^⎡_⎣ η_l ^2⎤_⎦

l=0

∞

∑

σ_an = 2π

k² (2l +1) 1− ℜ

[

]

l=0

∞

∑

Γ = Γ_i

canali

∑

σ = π k²

2I +1

(2s₁+ 1)(2s₂ + 1)

Γ_inΓ_out

Γ² / 4 + (E − ER)²

Stato iniziale Stato finale