Teoremi  Sui  Limiti  

Teoremi  sui  Limiti   Analisi  Matematica  I   Natali  Mattia    

  1  

Teoremi  Sui  Limiti  



Definizione  del  limite:

 sia  

f : A ⊂ R → R

 e  sia  

x

⁰

∈

 un  punto  di  accumulazione  di  

A

.   Diciamo  che  il  numero  reale  

l

 è  il  limite  di  

f

 per  

x

 che  tende  a  

x

0,  e  scriviamo:  

x→x

lim

₀

f (x) = l

  se  per  ogni  

ε > 0

 esiste  un  numero  

δ

> 0  tale  che  

f (x) − l < ε

,  

∀x ∈(x

0

− δ, x

0

+ δ) ∩ A

,  

x ≠ x

0.  

 Definizione  topologica:  

∀V(l),∃U(x

0

) : ∀x ∈U(x

0

),(x ≠ x

0

) → f (x) ∈V(l)

.  

 Definizione  metrica:  

∀ε > 0,∃δ

_ε

> 0 : ∀x ∈(x

₀

− δ

_ε

, x

₀

+ δ

_ε

) → f (x) − l < ε

.  

 Teorema  dell’unicità  del  limite:  

 Ipotesi:  



f : A → R

^.  



x

0è  un  punto  di  accumulazione  di  

A

.  



lim

x→x0

f (x) = l

1   e  

lim

x→x0

f (x) = l

2.  

 Tesi:  



l

₁

= l

2.  

 Teorema  delle  operazioni  sui  limiti  finiti  (somma):  

 Ipotesi:  siano  

f ,g : A → R

 e  sia  

x

₀  un  punto  di  accumulazione  di  

A

.  Supponiamo  che  esistano  i   limiti  

lim

x→x₀

f (x) = l

1

∈ R

 ^e  

lim

x→x₀

g(x) = l

2

∈ R

^.  

 Tesi:  allora  esiste  anche  il  limite  di  

f + g

 e  si  ha  

x→x

lim

0

f (x) + g(x)

[ ] ^{= l}

¹

^{+ l}

^2.  

 Dimostrazione:  per  definizione  di  limite  



lim

x→x₀

f (x) = l

1

∈ R

 ^  

∀ε > 0,∃δ

^'_ε

> 0 : ∀x ∈(x

₀

− δ

^'_ε

, x

₀

+ δ

^'_ε

) → f (x) − l

₁

< ε

.  



lim

x→x0

g(x) = l

2

∈ R

 ^  

∀ε > 0,∃δ

^''_ε

> 0 : ∀x ∈(x

₀

− δ

^''_ε

, x

₀

+ δ

^''_ε

) → g(x) − l

₂

< ε

.  

 Poniamo  

δ ∈δ

^'

∩ δ

^''.  

 Allora  per  definizione  di  limite  

lim

x→x₀

[ f (x) + g(x) ] ^{= l}

1

+ l

₂    

∀ε

^'

> 0,∃δ

_ε'

> 0 : ∀x ∈(x

₀

− δ

_ε'

, x

₀

+ δ

_ε'

) → f (x) + g(x) ( ) ^{− l} (

1

+ l

₂

) ^{< ε}

^{'  }  

−ε

^'

< f (x) + g(x) ( ) ^{− l} (

1

+ l

₂

) ^{< ε}

^{'  }  

^−ε

^'

< f (x) − l (

₁

) ^{+ g(x) − l} (

2

) ^{< ε}

^'.  Ma  siccome  

f (x) − l

₁

( ) ^{< ε}

 ^e  

( ^{g(x) − l}

²

) ^{< ε}

,  data  l’arbitrarietà  di  

ε

^'  il  teorema  è  dimostrato  poiché   concorda  con  la  definizione  di  limite.  Infatti  posso  porre  

ε

^'

≥ 2ε

 come  intorno  del  limite   perché  per  definizione  il  limite  vale  

∀ε

^'

> 0

.  

 Teorema  degli  zeri:  

 Ipotesi:  sia  

f :[a,b] → R

 una  funzione  continua  che  cambia  segno  agli  estremi  dell’intervallo  

[a, b]

,  cioè  tale  che  

f (a) ⋅ f (b) < 0

^.  

 Tesi:  allora  

f

 ammette  almeno  uno  zero  in  

(a, b)

,  cioè  esiste  un  punto  

c ∈(a,b)

 tale  che  

f (c) = 0

^.  

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  2  

 Dimostrazione:  sia  

a

₁

+ b

₁

2 = d

,  

f(d)

può  essere  

f(d) > 0 , f(d) < 0

oppure  

f(d) = 0

.  Se  

f(d) = 0

allora  

d

 è  il  punto  

c

 che  stavamo  cercando.  Se  

f(d) < 0

oppure  

f(d) > 0

continuiamo  con  una   nuova  divisione    

a

₂

+ b

₂

2

²

= d

,  

a

 e  

b

 devono  essere  sempre  di  segno  opposto.  Poniamo  

{a

_n

} : f (a

_n

) < 0

 e  

{b

_n

} : f (b

_n

) > 0

.    



{a

_n

}

 è  una  successione  monotona  crescente  limitata  da  

b → a

0

< a

1

< a

2

... < a

n.  

{a

_n

}

  siccome  è  monotona  e  limitata    converge:  lim

n→∞a_n = L.  



{b

_n

}

 è  una  successione  monotona  decrescente  limitata  da  

a → b

0

> b

1

> b

2

... > b

n.  

{b

_n

}

  siccome  è  monotona  e  limitata    converge  lim

n→∞b_n = M.  

b

_n

= a

_n

+ b − a

2

ⁿ ,  quando  tende  a  ∞    M  =  L  +  0    M  =  L.  

 lim

n→∞a_n = c     lim

n→∞f (a_n)= f (c) ≤ 0.  

 lim

n→∞b_n = c     lim

n→∞f (b_n)= f (c) ≥ 0.  

L’unico  numero  in  grado  di  soddisfare  entrambi  i  sunti  è  

f (c) = 0

.