Lezione 11 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 1
Esercizio 1 Dato il sistema:
R k 0
1 2
) 3 (
3
∈
= +
= + +
= +
+ +
k kz ky
z y kx
z y
k x
a) studiare il rango della matrice incompleta del sistema;
b) studiare il rango della matrice completa del sistema;
c) discutere la compatibilità del sistema;
d) per k=0 determinare le soluzioni del sistema S, una base e dimensione della copertura lineare di S: L(S).
a) La matrice del coefficienti delle incognite è
+
=
k k
k k A
0
1 1
2 3 3
e il suo determinante è – k2 (k+1). Per k≠≠≠≠… e k≠≠≠≠ …, il rango è 3.
Per k=…
0 0 0
1 1 0
2 3 3
e k= …
−
−
−
1 1
0
1 1
1
2 2
3
il rango è … . k≠0 ∧ k≠ - 1 ρ(A)=…, k=0 ∨ k= -1 ρ(A)=…
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Risoluzione punto b)
La matrice completa del sistema è:
+
=
k 0 1 0
1 1
2 3 3
k k
k k B
A
Per k≠≠≠≠0 e k≠≠≠≠ - 1, il rango è 3.
Per k=0
0 0 1 0 0 0
1 1 0
2 3 3
ha rango 2.
Per k= - 1
−
−
−
1 -
0 1 1 1
0
1 1
1
2 2
3
ha rango 3.
k≠0 ρ(A B)=3, k=0 ρ(A B)=2 Risoluzione punto c)
Discussione del sistema: per il teorema di Rouchè-Capelli per k≠≠≠≠-1 e k≠≠≠≠0 il sistema dato ha ………;
per k=0 il sistema dato ha ………;
per k= -1 il sistema dato è ………...
Risoluzione punto d) Per k=0
Lezione 11 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 3
=
= +
=
=
= +
= +
+
α α
α α
z - y
) 1
3( x 1 z
ponendo
0 1 2
3 3
z y
z y
x
S={ {{{(………,….,….)||||α α α∈ α ∈ ∈R ∈ R R R}}}}.
Questo è un sottoinsieme proprio di R
3ma non è sottospazio vettoriale.
La sua copertura lineare è:
L(S)={ {{{(……..,….,….)||||α α α α,ββββ∈ ∈ ∈ ∈R R R R}}}}.
Una base è costituita dai vettori ((1/3, -1,1),(1/3,0,0)) e dim L(S)=2.
Esercizio 2 Dato il sistema:
R k
7
8 2
4
0 12
) 1 (
6
3 2
1
3 2
1
∈
= +
+
= +
− +
x x
x
x x
k x
1) discuterne la compatibilità;
2)
risolverlo quando possibile.
Svolgimento:
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−
7 0 8 12 2
1 4
6 k
Il rango della matrice incompleta è 2 se k≠ ≠≠≠….;
1 se k=…..
Il rango della matrice completa è 2 per ogni k.
Il sistema è compatibile se e solo se k≠ ≠≠≠…..
Il sistema ammette in tal caso ∞
3-2=∞
1soluzioni.
Ponendo x
3=α il sistema diventa:
R k
7 8
2 4
12 )
1 (
6
2 1
2 1
∈
+
−
= +
−
=
− +
α
α x
x
x k
x
dove le incognite principali sono x
1e x
2. Risolvendolo con il metodo di Cramer:
42 48
42 7 48
8 4
12 6
7 8
7 8
2 24 7
8
1 12
4 16
2 1
= +
+
− + =
−
= −
+
−
− +
− + =
−
−
= −
−
=
α α α
α
α α
α α α
x x
A
k k k
A
k
A
Lezione 11 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 5
Determiniamo le soluzioni:
per ogni valore di k≠….
∈
−
−
− +
= − R
k k
k
S α k α α α
4 , 16
, 42 4
16
32 7
7 8
Esercizi da risolvere
1) Dato il sistema:
= +
+
= +
+
= +
2 3z y 3x
0 2z y
x
2 kz 2x
, k∈R
discutere la compatibilità e risolverlo, al variare del parametro k, quando possibile.
2) I prova intermedia 2008:
esercizio 1, 2 (solo punto b), 3 e 4.
I prova intermedia 2007:
esercizio 1 (punti a, b, c, d), 2 e 3.
I prova intermedia 2005: esercizi 1, 2 e 3.
Lezione 11 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 6
DIAGONALIZZAZIONE DI UNA MATRICE 1) Autovalori e autovettori
Data una matrice
(R) M
n
, 1
,
, 1 1
, 1
∈
=
n n n
n
a a
a a
A
L
M M
L
diremo che λ∈∈∈R ∈R R R è un autovalore di A se esistono X∈Rn,1, X≠0 tali che
AX= λX.
X rappresenta la matrice delle componenti degli autovettori.
L’insieme degli autovettori con 0 costituisce un sottospazio vettoriale (autospazio): V λ.
Affinché esistano delle soluzioni X tali che AX=λX, il sistema (A-λIn)X=0n (sistema lineare omogeneo) deve ammettere soluzioni non banali. Ciò accade se e solo se
det (A-λIn)=0
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Esercizio 1 Data la matrice
) ( M 2 1
1
0 2
0
0 1
1
3 R
A ∈
−
−
−
=
a) determinare gli autovalori di A con le rispettive molteplicità algebriche;
b) determinare gli autospazi relativi agli autovalori determinati al punto a).
a) AX= λX ha soluzioni non banali se e solo se det(A- λI3)=0
λ) - λ)(-1 -
λ)(2 -
(-2 λ
2 1
1
0 λ
2 0
0 1
λ 1 det )
λI (A
det 3 =
−
−
−
−
−
−
=
−
allora gli autovalori sono:
λ1=… con molteplicità algebrica 1;
λ2=… con molteplicità algebrica 1;
λ3=… con molteplicità algebrica 1.
b) determinare gli autospazi relativi significa trovare i vettori rappresentati da X in generale non nulli tali che
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AX=λX b1) AX= …X ⇔ (A+…I3)X=0
=
−
=
= +
0 0 4
0
y x
y y x
V-2={(0,0,α)|α∈R} e dim V-2=1 b2) AX= …X ⇔ (A- …I3)X=0
=
−
−
=
= +
−
0 4
0 0
0 3
z y
x
y x
V2={(α,3α,-α/2)|α∈R} e dim V2=1 b3) AX= …X ⇔ (A+I3)X=0
=
−
−
=
=
0 0 3
0
z y x
y y
V-1={(α,0,α)|α∈R} e dim V-1=1
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Esercizio 2 Data la matrice
) ( M 1 0
0
1 2 3
1 0 1
3 R
A ∈
−
−
=
a) determinare gli autovalori di A con le rispettive molteplicità algebriche;
b) determinare gli autospazi relativi agli autovalori determinati al punto a).
a) AX= λX ha soluzioni non banali se e solo se det(A- λI3)=0
λ) - λ)(-1 -
λ)(2 -
(-1 λ
1 0
0
1 λ
2 3
1 0
λ 1 det )
λI (A
det 3 =
−
−
−
−
−
=
−
allora gli autovalori sono:
λ1=… con molteplicità algebrica 1;
λ2=… con molteplicità algebrica 2.
b) determinare gli autospazi relativi significa trovare i vettori rappresentati da X non banali tali che
b1) AX= 2X ⇔ (A-2I3)X=0
Lezione 11 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 10
=
−
= +
= +
−
0 3
0 3
0 3
z z x
z x
V2={(0,α,0)|α∈R} e dim V2=1 b2) AX= -1X ⇔ (A+I3)X=0
=
= + +
= 0 0
0 3
3
0 z y x
z
V-1={(α,-α,0)|α∈R} e dim V-1=1 Esercizio 3
Per quali valori del parametro reale h la matrice assegnata ammette un autovalore uguale a 0?
+
2 1 1
1 0 1
2h 2
1 h
0 0 0 con
0
2 1 1
1 0 1
2h 2
1 h
≠
=
+
z y x z
y x z
y x
tali soluzioni esistono se e solo se il determinante della matrice assegnata risulta nullo: …..=0 ⇒ h=…..
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Esercizio 4
In V(R) rispetto alla base B=(e1, e2), per quali valori del parametro reale
a
la matrice assegnata ammette come autovettore v= e1+e2 ?
−1 0
3 a
Svolgimento
Devono esistere
a
, λ∈R tali che:
=
− 1
1 1
1 0 1
3 a λ
Cioè
=
=
=
−
= +
....
....
1 3
λ λ
λ a
a
a=…
Attenzione: se la richiesta fosse stata per quali valori del parametro reale a w= e1 è autovettore, la risposta sarebbe stata mai.
Infatti le componenti del vettore w sono (1,0):
=
− 0
1 0
1 0 1
3 a λ
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e impossibil
=
−
= 0 1 3 λ
2) Diagonalizzazione
Teorema
Una matrice A∈Mn(R) a coefficienti reali è diagonalizzabile se e solo se:
a) det(A- λIn)=0 ammette n soluzioni reali λi (contate con la molteplicità algebrica) e
b) la molteplicità algebrica di ciascun λi uguaglia la dimensione dell’autospazio associato.
Riprendiamo gli esercizi svolti:
Esercizio 1
La matrice è diagonalizzabile: esiste una matrice simile
) ( M 2 0 0
0 2 0
0 0 1
' 3 R
A ∈
−
−
=
molt.alg(-2)= 1= dim V-2; molt.alg(2)= 1= dim V2; molt.alg(-1)= 1= dim V-1.
Lezione 11 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 13
Esercizio 2 La matrice A non è diagonalizzabile.
molt.alg(2)= 1= dim V2;
molt.alg(-1)=2 mentre dim V-1 =1.
Esercizi da svolgere 1) Come esercizio 1 con
) ( M 1 1
0
1 1 3
0 0
3
3 R
A ∈
−
−
−
=
2) Determinare gli autovalori di
) ( M 3 0 0 0
1 1 1 1
0 1 1 2
2 0 0 1
4 R
A ∈
=
3) Per quali valori del parametri reale k la matrice assegnata ammette per autovalore λ=1?
=
1 2
0
1 0
1
1 k - 1 k A
